1. 그래프의 평행이동

그래프의 평행이동

shifting function graphs

"그래프를 갖고 노는게

너무 재미있어요"

" shifting function graphs

is really fun "

함수의 그래프는 고등수학의 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

중고등 학생들의 수학실력의 차이는, 함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니, 철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.

방정식과 부등식도, 함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면, 어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.

이차함수나 그 밖의 어려운 함수의 그래프는 나중에 다루도록 하고, 오늘은 이해하기 쉽도록 간단한 절대값 일차함수를 가지고 그래프의 평행이동을 알아보도록 합니다.

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 [ A ] 좌우 평행이동 (horizontal shifts)

y = | x – 2 | 의 그래프를 그려 볼까요?

x = 2 를 기준으로, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 2 가지 경우로 나누어 그래프를 그려야 되겠지요?

그리고, 앞에서 공부했던 (A∩P)∪(B∩Q) 의 논리 다이어그램을 적용하면 되겠지요?

(A)  x < 2 일 때	(B)  x ≥ 2 일 때
y = – x + 2	y = x – 2

(1)  x < 2 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – x + 2 의 그래프를 그려 넣고,

(2)  x ≥ 2 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = x – 2 의 그래프를 그리면 되겠지요?

(3) 그리고 나서, 위의 [(1)∪(2)] 이니까 두 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 아래 그림에서 파란색의 꺽은선 그래프가 되지요?

   

[ B ] 상하 평행이동 (vertical shifts)

이번에는 y = | x | + 3 의 그래프를 그려 볼까요?

x = 0 을 기준으로, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라 2 가지 경우로 나눈 다음, 앞에서 공부했던 (A∩P)∪(B∩Q) 의 논리 다이어그램을 적용해서 그래프를 그리면 되겠지요?

(A) x < 0 일 때	(B) x ≥ 0 일 때
y = – x + 3	y = x + 3

(1)  x < 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – x + 3 의 그래프를 그려 넣고,

(2) x ≥ 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = x + 3 의 그래프를 그리면 되겠지요?

(3) 그리고 나서, 위의 [(1)∪(2)] 이니까 두 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면, 아래 그림과 같이 파란색 꺽은선 그래프가 됩니다.

[ C ] 그래프의 평행이동 (shifting graphs)

이번에는 위에서 그려본 y = | x – 2 | 와 y = | x | + 3 그리고 앞서 배웠던 y = | x | 의 그래프를 한 좌표평면에 함께 다같이 나타내 볼까요?

똑같이 합동인 그래프들이 상하좌우로 평행이동 되어 있는 것이 잘 보이나요? 그 결과를 정리, 분석해 보면 아주 흥미롭습니다.

(1) y = | x | 의 그래프를 기준으로 볼 때, x 대신에 x – 2 를 대입한, 빨간색 y = | x – 2 | 의 그래프는 오른쪽으로 2 만큼 평행이동

(2) y = | x | 를 기준으로 할 때, y 대신에 y – 3 을 대입한 y – 3 = | x | 즉, 파란색  y = | x | + 3 의 그래프는 위쪽으로 3 만큼 평행이동

(3) 이번에는, y = | x – 2 | 를 기준으로 본다면, x 대신에 x + 2를 대입한  y = | x + 2 – 2 | = | x | 의 그래프는 왼쪽으로 2 만큼 평행이동

(4) 또,  y = | x | + 3 을 기준으로 본다면, y 대신에 y + 3 을 대입한 y + 3 = | x | + 3. 즉, y = | x | 의 그래프는 아래쪽으로 3 만큼 평행이동

마치 청개구리 심보인 것 같이, 반대로 움직이지요?

나중에, [함수와 그래프의 변환] 이라는 과목에서 설명하겠지만, x, y 축의 상대적인 이동이라는 그래프 변환의 개념까지 터득한 상위수준의 학생이 아니라면, 중학수준까지는 그냥 외워서 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

이 청개구리 성질은 뒤에서 배우게 될 대칭이동과 확대 및 축소 변환에서도 그대로 적용이 되니 잘 기억해 두기 바랍니다.

위에서 배운 평행이동의 원리를 식으로 정리해 볼까요?

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y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때, 양수(+) α, β 에 대하여,

(1) x 대신에 x – α 를 대입한 y = f (x – α) 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동

(2) x 대신에 x + α 를 대입한 y = f (x + α) 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 왼쪽으로 α 만큼 평행이동

(3) y 대신에 y – β 를 대입한 y – β = f (x) 즉, y = f (x) + β 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 위쪽으로 β 만큼 평행이동

(4) y 대신에 y + β 를 대입한 y + β = f (x) 즉, y = f (x) – β 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 아래쪽으로 β 만큼 평행이동 

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