행렬(8) A^3 = O 이고 A ≠ O 인 행렬

A³ = O 이고 A ≠ O인 행렬

a matrix A ≠ O such that A³ = O

"특수한 행렬의 성질은

그 유도과정까지 아예 외워두는게 좋아요"

" it’s better to memorize the specific properties

to be prepared for exams "

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고3의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

특히, A³ = O 인 행렬의 성질에 관한 응용 문제들은 [행렬] 단원의 심화 유형에서 자주 출제되고 있습니다. 실전 응용력을 키우기 위하여는, 그 결과만이 아니라 유도 및 증명과정을 완벽하게 이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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우선 행렬의 판별식 (또는 ‘행렬식’ 이라고 함) 에 대해서 복습해 보도록 할까요?

정사각행렬 A = [ a  b ] 에 대하여, 실수값인 ad – bc 를 판별식 (또는 행렬식) 이라 합니다.

                     [ c  d ]

D = det(A) = | A | = ad – bc

(1) 여기서, D = ad – bc = 0 이 되는 행렬 A 는 그 역행렬이 존재하지 않고,

  

(2) D = ad – bc ≠ 0 일 때, 그 역행렬 A^-1 은 아래와 같습니다.

A^-1 =  1/D [ d  –b ]

               [ –b  a ]

또한, 정사각행렬의 곱에 대한 판별식은 각각의 행렬에 대한 판별식의 곱과 같습니다.

det(AB) = det(A) × det(B)

그러면 이제, (1) A³ = O 이고 (2) A ≠ O 인 두 조건을 동시에 만족하는 행렬 A 의 성질에 관해서 공부하도록 합니다.

[ 1 ] A³ = O 이고 A ≠ O 인 행렬 A 는 역행렬이 존재하지 않는다. 왜냐하면 :

(1) 두 행렬이 같으면 그 판별식도 서로 같으므로, 주어진 조건식에서,

A³ = O

∴   det(A³) = det(O)

(2) 위 식의 좌변에서, 행렬의 곱에 대한 판별식의 성질을 이용하면,

det(A³) = {det(A)}³

∴   det(A³) = {det(A)}³ = det(O) = 0

(3) 그런데, det(A) 는 실수 값이므로, det(A) = 0. 즉, 행렬 A 의 역행렬은 존재하지 않는다.

이번에는 다른 방법인 [귀류법] 혹은 [명제의 대우] 를 이용한 증명을 살펴 볼까요?

(1) 만일, 행렬 A 의 역행렬이 존재한다고 가정하고, 조건식 A³ = O 의 양변에 역행렬을

     곱해 주면,

  

A³ × (A^-1)³ = O × (A^-1)³

∴   E = O

(2) 이는 모순이므로, 원래의 명제인 [A³ = O 인 행렬 A 는 역행렬이 존재하지 않는다] 는

     참이 됩니다.

[ 2 ] 역행렬이 존재하지 않는다면, A³ = (a + d)²A 가 성립한다.

(1) 역행렬이 존재하지 않으면, 판별식 D = det(A) = ad – bc = 0 가 된다는 것을 앞에서

     복습했지요?

(2) 따라서, 앞에서 배운 [케일리-헤밀턴 정리] 에서,

  

A² – (a + d)A + (ad – bc)E

= A² – (a + d)A = O

∴   A³ = A² x A                 

= (a + d)A x A

= (a + d)A²     

= (a + d)²A    

[ 3 ] 따라서, A² = A³ = ⋯ = Aⁿ = O 이 된다.

(1) 위의 식에 대입하면, 주어진 조건에서,

  

A³ = (a + d)²A = O

∴   a + d = 0   or   A = O    

(2) 따라서, A ≠ O 이라 하더라도 a + d = 0 이 되므로,

  

A² = (a + d)A = 0 x A = O

(3) 뿐만 아니라, A ≠ O 이라 하더라도 Aⁿ = O (n ≥ 2).

Aⁿ = A^n-2 x A²

Aⁿ = A^n-2 x (a + d)A

Aⁿ = A^n-3 x (a + d)A²

Aⁿ = A^n-3 x (a + d)²A

⋮

Aⁿ = (a + d) ^n-1A

∴   Aⁿ = 0 x A = O

그러면 하나의 공식으로 정리해 둘까요?

실전 응용력을 키우기 위하여는 이 결과만이 아니라 유도 및 증명 과정까지를 완벽하게

이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

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Aⁿ = O (n ≥ 2) 이고 A ≠ O 인 행렬 A 에 대하여,

(1) A 의 역행렬은 존재하지 않는다

(2) Aⁿ = (a + d)^n-1A                   

  

 (3) a + d = 0                              

  

(4)  ∴  Aⁿ = O (n ≥ 2)                

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이와 관련된 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 A⁵ = O 이고 A ≠ O 인 2 x 2 정사각행렬 A 에 대하여, A² = O 의 진위 여부를 주관식

 서술형으로 판별하여라. 

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(1) 위에서 공부했던 대로, 행렬 A 의 역행렬이 존재하지 않으므로,

     [케일리-헤밀턴 정리] 를 이용하면,

ad – bc = 0

∴   A² = (a + d)A

(2) 이 결과를 주어진 식에 대입하여 정리하면,

A⁵ = (a + d)⁴A = O

∴   a + d = 0

∴   A² = (a + d)A = 0 x A = O

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