일차부등식
linear inequalities
"그래프를 이용하니까 부등식 문제를 정확하게 풀어낼 수 있어요"
" using graphs help solve inequality problems accurately "
미지수 개수만큼의 특정한 해만을 갖는 등식에 비해, 부등식은 일정한 범위를 해로 갖기 때문에, 논리적인 계산을 통해서 정확하게 정답의 구간을 구해야 하는 단원입니다.
특히, 중학수학부터는 정수나 음수(–)인 실수를 포함하는 범위에서 부등식을 풀어야 하기 때문에, 잘못된 풀이를 하거나 계산 실수도 잦아, 많은 학생들이 어려워합니다.
기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선(number line) 다이어그램이나, 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.
다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프를 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두어야 합니다.
큰 어려움 없이, 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내거나, 부등식의 범위와 동의어가 되는 최대/최소값 문제를 그래프로 나타내고 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.
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부등식의 모든 항을 좌변으로 옮겨서 정리했을 때, 2x + 1 > 0 등과 같이 일차식만 남는 경우에 일차 부등식이라고 합니다.
그러면, 보기 문제를 풀어 보도록 할까요?
––––––––––––––––
3x + 1 > x + 5
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(1) 숫자로 계수가 주어진 x 항들은 x 의 계수가 양(+)이 되도록 한 변에, 상수항들은
다른 변에 정리합니다.
그래야 음수이면 부등호의 방향이 바뀌는 것을 아예 방지함으로써, 실수를
최소화
할 수 있습니다.
3x
– x > 5 – 1
(2) 좌변에 x 항이 위치하도록,
필요한 경우 부등호의 방향을 바꾸어 양변을 간단하게 정리
합니다. 이 경우에는 부등호의 방향을
바꿀 필요가 없지요?
2x
> 4
(3) 양변을 x 의 계수로 나눕니다. 미리 앞에서, x 의
계수가 양(+)이 되도록 정리했으니까,
음수로 부등호의 방향이 바뀌는 일은 없겠지만,
일반적으로 문자 계수가 주어진 경우에는, 음수(–)이면 부등호의 방향이 바뀌는 것에
주의해야 하겠지요?
따라서, 답은 x > 2
이번에는 같은 문제를 직선의 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?
(1) 좌변과 우변을 직선의 그래프로 나타내 봅시다.
y
= f (x) = 3x + 1 그리고 y
= g (x) = x + 5
(2) 위의 그래프를 보고, 빨간색의
직선인 y
= f (x) = 3x + 1 가 파란색의 직선인
y
= g (x) = x + 5 보다 크다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾는다.
(3) x 에 관한 부등식이니까, 찾은
노란색의 영역을 x 축을 기준으로 x 값으로만 읽는다.
x
= 2 인 경계선이 포함되지 않으니까,
답은 x
> 2
하나 더, 풀어 보도록 할까요?
––––––––––––––––
x
+ 1 ≤
5x – 7
––––––––––––––––
(1) 숫자로 계수가 주어진 x 항들은 x 의 계수가 양(+)이 되도록 한 변에, 상수항들은
다른 변에 정리합니다.
그래야 음수이면 부등호의 방향이 바뀌는 것을 아예 방지함으로써, 실수를 최소화
할 수 있습니다.
+ 1 + 7 ≤ 5x – x
(2) 좌변에 x 항이 위치하도록, 필요한 경우 부등호의 방향을 바꾸어 양변을 간단하게
정리합니다.
4x ≥ 8
(3) 양변을 x 의 계수로 나눕니다. 미리 앞에서, x 의 계수가 양(+)이 되도록 정리했으니까,
음수로 부등호의 방향이 바뀌는 일은 없습니다만,
일반적으로 문자 계수가 주어진 경우에는, 음수(–)이면 부등호의 방향이 바뀌는 것에
주의해야 하겠지요?
따라서, 답은 x ≥ 2
이번에도 같은 문제를 그래프를 이용해서 다시 풀어 보도록 할까요?
(1) 좌변과 우변을 직선의 그래프로 나타낸다.
y
= f (x) = x + 1 그리고 y
= g (x) = 5x – 7
(2) 위의 그래프를 보고, 빨간색의
직선인 y
= f (x) = x + 1 이 파란색의 직선인
y
= g (x) = 5x – 7보다 작거나 같다고 했으니까,
같거나 아래에 있는 노란색의 영역을 찾는다.
(3) x 에 관한 부등식이니까, 찾은
노란색의 영역을 x 축을 기준으로 x 값으로만 읽는다.
x
= 2 인 경계선이 포함되니까,
답은 x
≥
2
이 때에도, 주어진 부등식을 내가 편리한 방법으로 정리한 다음, 새로운 좌변과 우변을 각각 직선의 함수식으로 잡아서, 그래프로 푸는 경우에도 똑 같은 답을 구할 수 있습니다.
한 번 보도록 할까요?
(1) 좌변과 우변을 쉽게 직선을 그릴 수 있도록 정리한다.
4x
≥
8
(2) 새로 정리한 좌변과 우변을 직선의 그래프로 나타낸다.
y
= f (x) = 4 x 그리고 y
= g (x) = 8
(3) 위의 그래프를 보고, 빨간색의
직선인 y
= f (x) = 4x 가 파란색의 직선인
y
= g (x) = 8 보다 크거나 같다고 했으니까, 같거나
위에 있는 노란색의 영역을 찾는다.
(4) x 에 관한 부등식이니까, 찾은
노란색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽는다.
x
= 2 인 경계선이 포함되니까,
답은 x
≥
2
이번에는, 일반적인 문자로 표시된 일차부등식의 표준 해법에 대하여 공부해 보도록 할까요?
문자로 표시된 부등식 ax
< b 가 주어졌을 때, 문자 a, b 는 어떤 실수 값도 가질 수 있으니까, 여러 가지 경우를 모두 생각해 보아야 합니다.
(1) 만일, a
= 0 이고 b
= 0 이라면, 0
< 0은 성립하지
않으니까,
어떠한 x 값에 대하여도 해는 존재하지 않겠지요?
(2) 또, a
= 0 이고 b
> 0
이라면, 0 < (+) 는 항상 성립하니까,
모든 x 값에 대하여 부등식은 항상 참이 되겠지요?
이제, 위에서 살펴 본 모든 내용들을 종합해서 하나의 표준 답안으로
정리해 둘까요?
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부등식 ax
< b 의
해는,
(1) a >
0 일 때 x < b/a
(2) a <
0 일 때 x > b/a
(3) a
= 0, b > 0 일 때 x 는 모든
실수
(4) a
= 0, b ≤
0 일 때 해가 없다
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마지막 문제를 하나 더 풀어 볼까요?
위의 표준 답안과 비교해 보면서, 문자로 표현된 부등식 ax
≥
b 를 풀어 보세요.
스스로 궁리해 보면서, 각각의 경우에 따른 표준 답안을 만들어 보기 바랍니다.
