행렬(8) A^3 = O 이고 A ≠ O 인 행렬

A³ = O 이고 A ≠ O인 행렬

a matrix A ≠ O such that A³ = O

"특수한 행렬의 성질은

그 유도과정까지 아예 외워두는게 좋아요"

" it’s better to memorize the specific properties

to be prepared for exams "

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고3의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

특히, A³ = O 인 행렬의 성질에 관한 응용 문제들은 [행렬] 단원의 심화 유형에서 자주 출제되고 있습니다. 실전 응용력을 키우기 위하여는, 그 결과만이 아니라 유도 및 증명과정을 완벽하게 이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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우선 행렬의 판별식 (또는 ‘행렬식’ 이라고 함) 에 대해서 복습해 보도록 할까요?

정사각행렬 A = [ a  b ] 에 대하여, 실수값인 ad – bc 를 판별식 (또는 행렬식) 이라 합니다.

                     [ c  d ]

D = det(A) = | A | = ad – bc

(1) 여기서, D = ad – bc = 0 이 되는 행렬 A 는 그 역행렬이 존재하지 않고,

  

(2) D = ad – bc ≠ 0 일 때, 그 역행렬 A^-1 은 아래와 같습니다.

A^-1 =  1/D [ d  –b ]

               [ –b  a ]

또한, 정사각행렬의 곱에 대한 판별식은 각각의 행렬에 대한 판별식의 곱과 같습니다.

det(AB) = det(A) × det(B)

그러면 이제, (1) A³ = O 이고 (2) A ≠ O 인 두 조건을 동시에 만족하는 행렬 A 의 성질에 관해서 공부하도록 합니다.

[ 1 ] A³ = O 이고 A ≠ O 인 행렬 A 는 역행렬이 존재하지 않는다. 왜냐하면 :

(1) 두 행렬이 같으면 그 판별식도 서로 같으므로, 주어진 조건식에서,

A³ = O

∴   det(A³) = det(O)

(2) 위 식의 좌변에서, 행렬의 곱에 대한 판별식의 성질을 이용하면,

det(A³) = {det(A)}³

∴   det(A³) = {det(A)}³ = det(O) = 0

(3) 그런데, det(A) 는 실수 값이므로, det(A) = 0. 즉, 행렬 A 의 역행렬은 존재하지 않는다.

이번에는 다른 방법인 [귀류법] 혹은 [명제의 대우] 를 이용한 증명을 살펴 볼까요?

(1) 만일, 행렬 A 의 역행렬이 존재한다고 가정하고, 조건식 A³ = O 의 양변에 역행렬을

     곱해 주면,

  

A³ × (A^-1)³ = O × (A^-1)³

∴   E = O

(2) 이는 모순이므로, 원래의 명제인 [A³ = O 인 행렬 A 는 역행렬이 존재하지 않는다] 는

     참이 됩니다.

[ 2 ] 역행렬이 존재하지 않는다면, A³ = (a + d)²A 가 성립한다.

(1) 역행렬이 존재하지 않으면, 판별식 D = det(A) = ad – bc = 0 가 된다는 것을 앞에서

     복습했지요?

(2) 따라서, 앞에서 배운 [케일리-헤밀턴 정리] 에서,

  

A² – (a + d)A + (ad – bc)E

= A² – (a + d)A = O

∴   A³ = A² x A                 

= (a + d)A x A

= (a + d)A²     

= (a + d)²A    

[ 3 ] 따라서, A² = A³ = ⋯ = Aⁿ = O 이 된다.

(1) 위의 식에 대입하면, 주어진 조건에서,

  

A³ = (a + d)²A = O

∴   a + d = 0   or   A = O    

(2) 따라서, A ≠ O 이라 하더라도 a + d = 0 이 되므로,

  

A² = (a + d)A = 0 x A = O

(3) 뿐만 아니라, A ≠ O 이라 하더라도 Aⁿ = O (n ≥ 2).

Aⁿ = A^n-2 x A²

Aⁿ = A^n-2 x (a + d)A

Aⁿ = A^n-3 x (a + d)A²

Aⁿ = A^n-3 x (a + d)²A

⋮

Aⁿ = (a + d) ^n-1A

∴   Aⁿ = 0 x A = O

그러면 하나의 공식으로 정리해 둘까요?

실전 응용력을 키우기 위하여는 이 결과만이 아니라 유도 및 증명 과정까지를 완벽하게

이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

---

Aⁿ = O (n ≥ 2) 이고 A ≠ O 인 행렬 A 에 대하여,

(1) A 의 역행렬은 존재하지 않는다

(2) Aⁿ = (a + d)^n-1A                   

  

 (3) a + d = 0                              

  

(4)  ∴  Aⁿ = O (n ≥ 2)                

---

이와 관련된 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

---

 A⁵ = O 이고 A ≠ O 인 2 x 2 정사각행렬 A 에 대하여, A² = O 의 진위 여부를 주관식

 서술형으로 판별하여라. 

---

(1) 위에서 공부했던 대로, 행렬 A 의 역행렬이 존재하지 않으므로,

     [케일리-헤밀턴 정리] 를 이용하면,

ad – bc = 0

∴   A² = (a + d)A

(2) 이 결과를 주어진 식에 대입하여 정리하면,

A⁵ = (a + d)⁴A = O

∴   a + d = 0

∴   A² = (a + d)A = 0 x A = O

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행렬(7) AB+A+B=O 인 행렬

AB+A+B=O인 행렬

matrices such that AB+A+B=O

"심화문제에서는 약방에 감초같이 등장해요"

" a ubiquitous equation in advanced level exams "

방정식 AB + A + B = O 는 심화수준의 중고등수학 전 과정에서 약방의 감초같이 자주 등장하는 매우 중요한 조건식입니다.

[부정방정식], [근과 계수의 관계] 단원뿐만이 아니라, [분수식] 과 [분수함수] 등 모든 단원의 심화수준 연계유형으로 출제되고 있으니, 기본개념과 원리를 철저하게 이해하고, 응용력을 키워두기 바랍니다.

[행렬] 단원에서도 심화수준의 진위문제 유형에서, 출제의도를 숨기는 조건 제시방법으로 자주 나타납니다. 반드시 기억해 두기 바랍니다.

1등급의 상위권 학생이라 하더라도, 행렬의 진위문제는 실수범위 내에서의 연산과는 다르기 때문에 많은 유형들을 암기해 두어야만, 쉽고 빠르게 문제를 해결해 나갈 수 있습니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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정수 또는 자연수 조건의 [부정방정식] 에서 배운 내용을 복습해 볼까요?

예를 들어, x, y 가 정수 조건일 때 xy + 2x – 3y = 8 인 부정방정식은 어떻게 해결했었지요?

(1) 우선, 조건 식의 좌변을 x 와 y 항의 곱의 형태로 바꾼 다음, 일차항의 계수를 맞추어 주어야 하겠지요?

xy + 2x – 3y

= (x – 3)(y + 2) + 6

(2) 조건 식을 [정수 × 정수 = 0 이 아닌 정수] 형태로 바꾸면,

(x – 3)(y + 2) + 6 = 8

(x – 3)(y + 2) = 2

(3) 이제, 아래와 같이 정수의 곱이 2 가 되는 곱셈표를 만들어, 해를 구하면 됩니다.

x – 3	y + 2	x	y
2	1	5	– 1
1	2	4	0
– 2	– 1	1	– 3
– 1	– 2	– 2	– 4

(4) 따라서, 아래의 4 정수 쌍이 구하는 해가 됩니다.

(x, y) = (5, – 1)  or  (4, 0)

or  (1, – 3)  or  (– 2, – 4)

단위행렬인 E 가 실수에서 곱셈의 항등원인 1 의 역할을 한다는 것만 알고 있다면, 위에서 공부한 정수형태의 부정방정식 해법을 이차 정사각행렬에서도 그대로 적용할 수 있습니다.

그러면, 행렬의 조건식 AB + A + B = O 을 풀어 보도록 할까요?

(1) 우선, 조건 식의 좌변을 A 와 B 항의 곱의 형태로 바꾼 다음, 일차항의 계수를 맞추어 주어야 하겠지요?

AB + A + B

= AB + EA + EB

= (A + E)(B + E) – E

(2) 이제, [일차식 × 일차식 = 단위행렬의 배수] 형태로 바꾸면,

(A + E)(B + E) – E = O

∴  (A + E)(B + E) = E

(3) 두 개의 행렬이 서로 곱해서 단위행렬 E 가 된다면, 두 행렬은 서로 역행렬이 된다는 것을 알고 있지요?

(A + E)^-1 = (B + E)

(B + E)^-1 = (A + E)

∴  (A + E)(B + E) = (B + E)(A + E) = E

(4) 정사각행렬과 그 역행렬은 서로 순서를 바꾸어서 곱해도 항상 단위행렬이니까, 두 식을 전개해서 간단하게 정리해 보면,

(A + E)(B + E) = (B + E)(A + E)

AB + A + B + E = BA + B + A + E

∴  AB = BA

행렬의 진위 문제에서 'AB + A + B = O' 또는 'AB – A – B = O 를 만족한다' 라는 조건이 주어지면, 숨어 있는 실제 조건의 내용은 AB = BA 라는 것을 영리하게 알아채야 합니다.

수능형 모의고사 등에서 자주 등장하는 다소 야비한(?) 유형이긴 합니다만, 수험생의 입장에서도 몇 가지 유형을 간단하게 외워서 대응하면 됩니다. 공식으로 정리해 둘까요?

---

행렬의 진위 문제에서 AB + A + B = O 또는 AB – A – B = O 를 만족한다는 조건이 주어지면, 실제의 숨은 조건은,

AB = BA

---

예제 문제를 하나 풀어 볼까요?

---

이차 정사각행렬 A, B 에 대하여, AB = A + B 일 때, 아래에 주어진 식의 참 또는 거짓을 판별하여라.

(AB)² = A²B²

---

(1) 우선 조건식을 [행렬 x 행렬 = O 이 아닌 행렬] 형태로 바꾸면,

AB – A – B = O

AB – A – B + E – E = O

(A – E)(B – E) – E = O

∴   (A – E)(B – E) = E

(2) 두 행렬을 서로 곱해서 단위행렬 E 가 되므로, 두 행렬은 서로 역행렬의 관계이지요.

(A – E)^-1 = (B – E)

(B – E)^-1 = (A – E)

(3) 정사각행렬과 그 역행렬은 서로 순서를 바꾸어서 곱해도 항상 단위행렬이니까, 두 식을 전개한 후에, 서로 같다고 놓으면 AB = BA.

(A – E)(B – E) = (B – E)(A – E) = E

∴   (A – E)(B – E) = (B – E)(A – E)

AB – A – B + E = BA – B – A + E

∴  AB = BA

(4) 따라서, AB = BA 를 주어진 식에 아래와 같이 적용하면 참이 된다는 것을 알 수 있습니다.

(AB)²

= AB x AB

= ABAB = AABB

= A²B²

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