연립일차부등식(5) 연립일차부등식의 활용

연립일차부등식의 활용

systems of linear inequalities word problem - catch up

"부등식을 세운 다음에는 그래프나 다이어그램으로 해결해 보세요"

" try to visualize your strategy after translating into inequalities "

  

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선 (number line) 이나 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하고 해결하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프나 수직선 다이어그램을 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀 두어야 합니다.

부등식 해의 정확한 구간이라는 것이 다른 표현으로는 바로 최대값 및 최소값 문제이므로, 부등식의 영역과 함수 그래프의 개념으로 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

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먼저, 정수해의 개수를 구하는 문제 유형을 보도록 할까요?

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  아래의 연립 일차부등식의 해가 2 개의 정수만을 포함하도록 상수 a 의 값의 범위를

  구하여라.

            ↱   – 2x + 1 > – x – 3

            ↳   2x + a – 1 ≤ 3x + 1

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(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 서로 다른 두 부등식을 구분할 수 있도록 각각 번호를 붙입니다.

x < 4       ⋯ ①

x ≥ a – 2  ⋯ ②

(2) 두 부등식 중에서, 미지수가 없는 x < 4 의 구간을 먼저 수직선 (number line) 에 나타냅니다. 아래 그림에서 파란색 구간으로 표시한 것과 같이, 등호가 없으니까 큼직하게 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시한다고 했지요?

(3) 그 다음에, 미지수가 포함된 x ≥ a – 2 의 구간을, 문제의 조건에 맞게 2 개의 정수만 포함되도록, 높이를 다르게 해서 그려 넣습니다.

위 그림의 빨간색 구간은 등호가 있으니까, 속이 채워진 동그라미로 표시해야 하겠지요? 만일, 조금 어렵게 느껴진다면, (a – 2) = k 로 치환해도 좋습니다.

(4) 문제에서 정수의 개수가 2 개라고 했으니까, 위 그림에서 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 좌우로 움직여 보면서, 자연수 2 와 3 이 보라색의 공통구간 내에 들어올 수 있도록 범위를 구해내면 됩니다.

(5) 만일 정확한 판단이 어렵게 느껴진다면, 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 정답 구간으로 추정되는 자연수 1 또는 2 위에 아예 올려 놓고 고민해 보면, 보다 쉽게 알아낼 수 있습니다.

1 < (a – 2) = k ≤ 2

∴  3 < a ≤ 4

이번에는 그래프를 이용하는, 조금 다른 유형의 따라잡기 문제를 풀어 보도록 할까요?

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   30 분 전에 시속 50 km/h 의 오토바이를 타고 도망간 범인을, 경찰이 순찰차로

   그 뒤를 쫓기 시작하였다. 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 최소한 얼마 이상의

   속력으로 달려야 하는가?

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(1) 우선, 문제에서 묻고 있는 경찰차의 속력을 x km/h 라고 놓고, 시간 단위를 통일

     시켜야 합니다. 또한, 가급적 분수식 보다는 [속력 × 시간 = 거리] 의 곱셈 형태가

     좋다고 지난번에 배웠지요?

(2) 이제, 경찰차가 달린 시간을 1 시간 이라고 놓고, 부등식을 세워 보도록 할까요?

경찰차가 달린 거리 = x km/h × 1 시간

범인이 달린 거리 = 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

(3) 따라서, 경찰이 범인을 검거할 수 있으려면, 아래의 계산 결과와 같이

     경찰차의 최소 속력은 75 km/h.

x km/h × 1시간 ≥ 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

∴  x ≥ 75

이번에는 같은 문제를 직선의 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 일반적인 그래프로 나타내기 위해서는, 경찰차가 달린 시간을 t 라고 놓은 다음,

     정의역인 가로축으로 정하고, 경찰차와 범인이 달린 거리를 함수인 y 축으로

     놓는 것이 좋습니다.

(2) 범인이 달린 거리는 y = f (t) = 50 × (t + 0.5) 이고, 경찰차가 달린 거리는

     y = g (t) = x × t 가 되니까,

f (t) = 50 × (t + 0.5) ≤ x × t = g (t)

(3) 위 부등식의 좌변과 우변을, 한 좌표평면에 직선의 그래프로 나타내 볼까요?

(4) 범인은 30분 전에 50 km/h의 속력으로 도주하였으니까 위 그래프에서 빨간색의 직선으로, 경찰차는 추격하는 속력을 구하는 것이니까 파란색의 실선 또는 점선으로 나타낼 수 있겠지요?

(5) 이제, 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 위 그래프의 노란색 으로 표시된 영역 안에서 경찰차인 파란색의 실선 혹은 점선이 범인인 빨간색 실선과 만나거나 그 위에 있어야 하겠지요?

(6) 따라서, 경찰차가 달려야 하는 최소한의 속력은, 그래프에서 파란색의 실선인 경우가 됩니다. 즉, 함수식에 (1, 75) 를 대입하면 경찰차의 최소한의 속력이 구해집니다.

y = g (t) = x × t

75 = 1 × t

∴  x = 75 km/h

기초 단계에서는, 좌표평면에서 그래프나 부등식의 영역으로 푸는 방법이 더 까다롭고 어렵다고 느껴질 지도 모르겠지만, 상위권의 심화수준으로 갈수록 더욱 쉽고 강력한 해결 방법이니까, 반드시 기본 원리와 해결 과정을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.

일차방정식(5) 일차방정식의 응용 (시계)

일차방정식의 응용(시계)

linear equation word problem - clock hands

"어려운 분침, 시침문제도 결국 [거리 속력 시간]의 문제예요"

" difficult clock hands problem is

also a kind of [distance speed time] formula "

초등학교부터 중학 및 고등학교에 이르기까지, 시계의 분침과 시침과 관련된 문제만 보면, 온 몸이 굳어지는 트라우마를 겪는 학생이 상당히 많을 겁니다.

(1) 10진법이 아니라 60분과 360° 단위를 쓰는 것도 어렵지만,

(2) 시간을 알아내기 위해, 거리를 속도로 나누는 분수식의 계산 구조가 계산을 아주 어렵게 만들기 때문이지요.

그러나, 기본적인 표준형문제 하나 정도를, 시각화된 다이어그램이나 그림의 이미지와 함께 이해하고 기억해 두면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

중고등과정에서 수학 공부를 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 그림이나 다이어그램으로 시각화하는 것을, 쉽고 영리하게 잘한다는 점입니다.

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두도록 하세요.

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(1) 우선, 시계 문제에서는 제일 먼저, 밑의 그림을 그리거나, 이미지를 머리 속에 떠올리는 것이 좋습니다.

(2) 초록색 분침은 1시간(=60분)에, 초록색 점선이 움직인 거리만큼인 1 바퀴(=360°)를 돕니다. 따라서, 1분에는 ( 360° / 60분 ) = 6°를 움직이구요,

(3) 위 그림에서 보면, 빨간색 시침은 1시간(=60분)에, 빨간색 점선이 움직인 거리만큼인 1/12 바퀴(=(360°/12) = 30°)를 돌지요? 즉, 1분에는 30° / 60분 = 0.5°를 움직입니다.

(4) 따라서 시계 문제를 해결하기 전에, 시침과 분침의 속력을 기억해 내거나 미리 확인해 두고 시작하는 것이 좋습니다. 시계 문제에서, 거리=360°라고 간주한다면, (a) 분침의 속력은 1시간당 360°/h 또는 1분당 6°/m, (b) 시침의 속력은 1시간당 30°/h 또는 1분당 0.5°/m가 되겠지요?

(5) 이제 이러한 유형의 문제에서, 주어진 조건에 따라 식을 세울 때는 <시간=거리÷속력> 또는 <속력=거리÷시간>와 같은 분수형태 즉, 나눗셈의 방정식보다는 정방정식 곱셈의 형태인 [거리 = 속력 * 시간]으로 식을 세워야 계산이 쉬워집니다.

자, 이제 문제를 해결해 볼까요?

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 3시와 4시 사이에 시침과 분침이 일치하는 시각을 구하여라.

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(1) 우선, 시계 이미지를 떠올려야 하겠지요?

(2) 그리고, 구하는 것을 x 로 놓는 것이 좋겠지요?
시침과 분침이 일치하는 시각을 3시 x 분이라고 놓고, [거리 = 속력 Χ 시간]의 식을 세웁니다.

(3) 시침이 움직인 거리(각도)는 얼마일까요?
시침은 숫자 3 부터 출발해서, 빨간색 점선만큼 움직였으니까, 3시 x 분까지, 시침이 x 분 동안 움직인 거리 = 0.5° * x

(4) 그럼, 분침이 움직인 거리(각도)는 얼마일까요?
분침은 숫자 12 부터 출발해서 파란색 점선만큼 움직였으니까, 3시 x 분까지는 분침이 x 분 동안 움직인 거리 = 6° * x

(5) 이제, [3시에 해당하는 거리 + 시침이 x 분 동안 움직인 거리]와 [분침이 x 분 동안 움직인 거리]가 서로 같으니까, 식을 세워 풀면

90° + 0.5° * x = 6° * x

90° = 5.5° * x

x = 90 / 5.5 = 180 / 11

따라서, 답은 3시 (180/11)분