연립일차방정식(2) 특별한 해를 갖는 연립일차방정식

특별한 해를 갖는 연립일차방정식

special solution sets of linear systems

"답이 없거나 혹은 무수히 많은 연립방정식을 미리 알아낼 수 있나요?"

" Can we identify whether a linear system

has no solution or infinitely many? "

초등과정까지 자연수만으로 답을 구하는 문제들을 풀던 학생들은, 연립방정식에서도 숫자 대신에 문자가 들어간 경우에는 크게 당황하거나 어려움을 겪습니다.

중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 공부해 나갈 수 있습니다.

특히, 계수가 문자로 된 연립일차방정식은 직선의 위치 관계라는 그래프의 개념과 함께 이해하고 응용력을 키워 두어야, 고등수학에서 나타나는 다양한 유형들을 쉽게 해결할 수 있습니다.

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[ A ] 계수가 문자인 일차 연립방정식

우선,  쉬운 예를 하나 볼까요?

(1)       ↱ 6x + 3y  =  3

           ↳ 4x + 2y  =  2

두 식은 실제로는 똑 같은 식이기 때문에, 미지수 2 개에 식은 1 개인 꼴이라, 해가 무수히 많게 됩니다.

이 경우는 계수들의 관계가 6 / 4 = 3 / 2 = 3 / 2 인 것을 확인해 보세요.

또, 하나를 볼까요?

(2)       ↱ 2x + 3y  =  3

           ↳ 2x + 3y  =  1

이번에는 2x + 3y 가 3 도 되고, 1 도 된다는 것은 모순이지요? 따라서, 이 경우에는 해가 없습니다.

이 경우는 계수들의 관계가 2 / 2 = 3 / 3 

≠

 3 / 1 인 것을 확인해 보세요.

그러면, 계수가 문자로 된 연립 일차방정식은 어떻게 풀어야 할까요?

(3)       ↱ ax + by  =  c

           ↳ dx + ey  =  f

여기서, 만일 a / d 

≠

 b / e 라면?

위의 (1), (2)의 경우가 될 수는 도저히 없겠지요?



따라서, 일반적인 문자로 나타낸 연립 일차방정식은, 위에서 살펴본 바와 같이

3가지 경우로 나누어서 풀어야 합니다.

배운 내용을 문자로 일반화시켜 볼까요?

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 연립 일차방정식  ↱ ax + by  =  c   은

                        ↳ dx + ey  =  f

 (1) a/d 

=

 b/e 

=

 c/f 이면, 무수히 많은 해를 갖는다.

 (2) a/d 

=

 b/e 

≠

 c/f 이면, 해가 없다.

 (3) a/d 

≠

 b/e 이면, 오직 한 쌍의 해를 갖는다.

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[ B ] 일차 연립방정식과 직선의 위치 관계

이번에는, 연립방정식 ↱ ax + by  =  c 을  두 직선방정식이라 생각해 볼까요?

                            ↳ dx + ey  =  f

(1) 우선, 두 직선에서 a/d = b/e 는 무슨 뜻일까요?

     분수식의 성질을 이용하면,

a*e = d*b = b*d

∴  a/b = d/e

   따라서, 두 직선의 기울기가 같다는 뜻이 되는군요.

(2) 그러면, 두 직선에서 b/e = c/f 는 무슨 뜻일까요?

     분수식의 성질을 이용하면,

b*f = e*c = c*e

∴  c/b = f/e

   따라서, 두 직선의 y 절편이 같다는 뜻이 되지요.

     

이와 같이, 연립 일차방정식을 직선의 그래프로 나타내면, 일반적으로 다음의 3가지 경우로 나누어 볼 수가 있습니다.

(1) a/d 

=

 b/e 

=

 c/f 이면, 두 직선은 일치하므로, 무수히 많은 교점을 갖는다. 교점의 x 좌표가 방정식의 해가 되니까, 연립방정식으로는 ‘무수히 많은 해를 갖는다’ 와 같은 뜻이지요?

아래 그림에서 보면 빨간색과 파란색의 두 직선이 일치하니까, 보라색의 직선 그래프로 나타나지요? 

(2) a/d 

=

 b/e 

≠

 c/f 이면, 두 직선은 평행하므로, 서로 만나지 않는다. 즉, 교점의 x 좌표가 방정식의 해가 되니까, 연립방정식으로는 ‘해가 없다’ 와 같은 뜻이지요?

아래 그림에서 빨간색과 파란색의 두 평행한 직선으로 나타납니다.

 

(3) a/d 

≠

 b/e 이면, 두 직선은 서로 기울기가 다르므로, 한 점에서 만난다. 교점의 x 좌표가 방정식의 해가 되니까, 연립방정식으로는 ‘오직 한 쌍의 해를 갖는다’ 와 같은 뜻이지요?

아래 그림에서, 서로 기울기가 다른 빨간색과 파란색의 두 직선이 한 점에서 만나고 있지요? 

위에서 그래프로 나타낸 [직선의 위치관계] 는, 일차함수와 그래프에서 자주 응용되는 개념이니까, 3 가지의 각 경우별로, 계수가 문자인 연립 일차방정식과 함께, 반드시 이미지로 기억해 두기 바랍니다.

또한, 일반 학생들은 배우지 않겠지만, 심화과정을 배우는 상위권 학생들은 개정된 [고급수학 I] 의 [행렬과 연립일차방정식] 단원에서 다시 다루게 됩니다.

그러면 이제, 확인문제를 한번 풀어 볼까요?

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 다음 연립방정식의 해가 존재하지 않고,

       ↱ 2x + 8y = 10

       ↳ ax  – y  = 2b

 (x, y) = (5, –4) 가 두 번째 식을 만족한다고 할 때,

 상수 a, b 의 값을 구하여라.

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연립일차방정식(3) 연립일차방정식의 응용(강물)

연립일차방정식의 응용(강물)

systems of linear equations word problem

- going upstream or downstream

"강을 올라갈 때와 내려갈 때 속력이 달라져요"

" boat's speed changes when going upstream & downstream in the river "

강에서 배를 타고 상류와 하류 방향으로 왕복하는 문제는 2개의 미지수를 연립방정식으로 풀어야 하는 대표적인 유형입니다.

강물과 배의 속력을 미지수로 놓게 되는 특징 때문에, 대부분의 학생들이 별 생각 없이 그냥 분수식으로 식을 세우다 보니,

연립방정식의 처리가 힘들 뿐만 아니라, 분수식 계산에서의 잦은 실수 때문에, 많은 학생들이 어려워하고 있습니다.

이렇게 가장 전형적인 유형들은 각각의 표준적인 해결 방법으로, 그림의 이미지나 시각화된 다이어그램과 함께 이해해 둔다면,

이를 기초로 하여, 조금씩 변형되는 새로운 유형들에 보다 쉽게 응용함으로써, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 비슷한 문제들을 해결해 나갈 수 있습니다.

고등수학에서도 응용문제에서 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 복습하고 기억해 두어야 합니다.

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우선, 강물을 따라 배가 내려갈 때와 강을 거슬러 올라갈 때의 속력은 서로 달라진다는 것을 알아 두어야 하겠지요? 아래의 그림을 보도록 할까요?

위의 그림에서, 노란색의 큰 화살표로 표시된 강물의 속력을 x km/h, 파란색과 빨강색으로 표시된 배의 속력을 y km/h 라 한다면,

(1) 배가 강을 거슬러 올라갈 때는, 파란색인 원래의 배의 속력보다

     노란색 큰 화살표인 강물의 흐름만큼 늦어질 테니까,

     속력이 (y – x) km/h 가 되고,

(2) 배가 강물을 따라 내려갈 때는, 빨강색인 원래의 배의 속력보다

     노란색 큰 화살표인 강물의 흐름만큼 더 빨라질 테니까,

     속력이 (y + x) km/h 가 되겠지요?

이제 그러면, 전형적인 문제를 한 번 풀어 보도록 하지요.

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 강을 따라 12 km의 거리를 보트로 왕복하는데,

 하류로 내려갈 때는 40분, 강을 거슬러 상류로

 거슬러 올라갈 때는 1시간 20분이 걸렸다.

 이 때, 강물이 흐르는 속력을 구하여라.

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(1) 제일 먼저, 강물위의 보트가 움직이는 그림을 그리거나 이미지를 머리 속에 떠올리는

     것이 중요하다고 했지요?

                     

(2) 다음은 시간과 분이 섞여 있으니, 시간 단위를 통일해야지요?

     또 가급적이면, 문제에서 묻고 있는 강물의 속력을 x (km/h) 라고

     놓는 것이 좋다고 했지요?

(3) 위의 그림에서 보트의 속력을 y km/h 라고 놓고, 실제의 속력을 생각해 봅시다.

     * 강을 거슬러 올라갈 때는 속력이 (y – x) km/h

     * 강을 따라 내려갈 때는 속력이 (y + x) km/h

(4) 자, 이제는 거리가 같다는 기준으로 식을 세워 볼까요?

     [시간 = 거리 ÷ 속력] 이나 [속력 = 거리 ÷ 시간] 등의 분수식 보다는,

     [거리 = 속력 × 시간] 의 곱셈 형태로 식을 세워야 실수도 방지하고 쉽게 풀 수

     있다고 했지요?

(5) 강을 거슬러 올라갈 때는 (y – x)*(1 + 20/60) = 12

     강을 따라 내려갈 때는 (y + x)*(40/60) = 12

(6) 위의 두 식을 정리한 다음에 연립으로 풀면,

             ↱ y – x = 9    ⋯ ①

       ↳ y + x = 18  ⋯ ②

[가감법]  ① + ② : 

2y = 27

따라서, y = 13.5, x = 4.5 

답 : 강물의 속도는 4.5 km/h

다시 한번, 푸는 방법과 요령을 정리해 보도록 할까요?

[1] 문제를 보면서, 어떤 유형의 질문인지를 파악하고 제일 먼저 그 유형에 맞는 그림이나 다이어그램을 생각하여야 합니다.

최소한 몇 가지의 표준적인 유형들에 대하여는 문제를 보는 즉시 머리 속에 이미지가 떠 오르도록 공부해 두어야 합니다.

[2] 무엇을 x 로 놓을 것인가? 가급적이면 문제에서 묻는 것을 x 로 하는 것이 좋습니다.

익숙하게 문제를 풀 수 있는 수준에 오를 때 까지는, 맨 첫 줄에 내가 무엇을 x 로 정의(define) 했는지를, 단위까지 포함에서 서술형으로 써 놓기 바랍니다.

[3] x 를 포함한 다른 미지수들의 단위(unit)를 확인하고 반드시 통일시켜야 합니다.

시간이나 거리 등의 단위가 서로 다르면 방정식의 등호가 성립하지 않기 때문이지요.

[4] 미지수는 가급적 적게 세우는 것이, 쉽고 간단하게 계산할 수 있어서 좋습니다만, 필요한 경우에는 2개 이상의 미지수를 놓고 연립 방정식으로 해결하면 됩니다.

이 때, 내가 세운 미지수의 개수와 서로 다른 식의 개수가 같아야 문제가 풀리는 것이니까, 혹시 식의 개수가 부족하다면, 문제지를 다시 꼼꼼하게 읽고 숨어 있는 조건식을 찾아내야 하겠지요?

[5] 가능하다면, 나눗셈의 분수식보다는 곱셈 형태의 정방정식을 세워야 계산이 쉬워지고 실수가 줄어든다고 강조했지요?

[6] 심화문제나 증가율이나 할인율 등의 문제에서는, 묻는 것을 직접 x 로 놓기가 어려운 경우가 있으므로, 계산을 끝낸 후에는 반드시 문제에서 묻는 것을 재확인하고 진짜 답을 다시 구해야 합니다.

예를 들어 넓이를 구하는 데 음수도 구해졌다면, 문제의 뜻에 맞지 않는 답은 버려야 하겠지요?