함수그래프(3) 함수그래프의 대칭이동(1)

함수그래프의 대칭이동(1)

reflecting function graphs(1)

"그래프를 뒤집어보고 그려보면서 대칭이동 원리를 생각해 보세요"

" Try flipping & drawing the graph to find out

the principle of symmetric movement "

함수의 그래프는 고등수학의 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

중고등 학생들의 수학실력의 차이는, 함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니, 철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.

방정식과 부등식도, 함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면, 어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.

이번에는 이차함수의 포물선 그래프를 이용해서, 대칭이동에 대해서 쉽고 자세하게 설명하고자 합니다.

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앞에서 배웠던 이차함수 포물선의 그래프를 기억하고 있겠지요?

우선, y = (x – 3)² 의 그래프를 가지고, 여러 가지 종류의 대칭이동 그래프들과 함수식을 구하는 방법을 공부해 보도록 합시다.

[ 1 ] x 축 대칭이동

지난번에, [점의 대칭이동]에서 배웠던 것들 중에서, 우선 x 축에 대칭인 함수의 그래프는 청개구리의 성질과 같이, y 대신에 – y 를 대입한다고 했었지요?

대입하면, 포물선의 식이 – y = (x – 3)² 이 될 테니까, 이를 정리하면

y = – (x – 3)² 이 됩니다.

아래의 그림에서 파란색의 포물선인 y = (x – 3)² 과 빨간색의 포물선인

y = – (x – 3)² 의 두 그래프를 보니까, 진짜로 x 축에 대칭이지요?

[ 2 ] y 축 대칭이동

또, [점의 대칭이동]에서 배웠던 것과 같이, y 축에 대칭인 함수의 그래프는 청개구리의 성질에 따라, x 대신에 – x 를 대입한다고 했었지요?

따라서, 포물선의 식이 y = (– x – 3)² 이 될 테니까, 이를 다시 정리하면, y = (x + 3)² 이 됩니다.

이번에도 두 그래프를 그려보면, 아래 그림에서 파란색인 y = (x – 3)² 과

빨간색인 y = (x + 3)² 의 두 포물선은, 진짜로 y 축에 대칭이지요?

[ 3 ] 원점에 대칭이동

또, 원점인 (0, 0) 에 대칭이라는 것은, x 축에 대칭 그리고 동시에 (∩)

y 축에 대칭인 것과 동일하다고 했었지요?

따라서, x 대신에 – x 그리고 동시에 (∩) y 대신에 – y 를 대입하면

포물선의 식이 – y = (– x – 3)² 이므로, 이를 다시 정리하면

y = – (x + 3)² 이 됩니다.

이번에도 두 그래프를 그려보면, 아래 그림에서 파란색인 y = (x – 3)² 과

빨간색인 y = – (x + 3)² 의 두 포물선은, 진짜로 원점에 대칭이지요?

[ 4 ] y = x 직선에 대칭이동

앞의 [점의 대칭이동]에서 배웠던 것과 같이, y = x 라는 직선에 대칭인 함수의 그래프는, x 대신에 y 그리고 동시에 (∩) y 대신에 x 를 대입한다고 했었지요?

따라서, 포물선의 식이 x = (y – 3)² 이 될 테니까, 이를 y 에 관하여 다시 정리하면,

y – 3 =  ± √x 

y =  ± √x + 3

이번에도, 아래 그림에서 빨간색인 반쪽의 포물선 y = + √x + 3 과

초록색인 반쪽의 포물선 y = – √x + 3 을 합치면,

파란색인 y = (x – 3)² 과 진짜로 y = x 라는 직선에 대하여 대칭이지요?

뿐만 아니라, x 대신에 y 그리고 y 대신에 x 를 대입한 함수의 방정식은, 바로 역함수가 되기 때문에 매우 중요합니다.

즉, 함수와 역함수의 그래프는 항상 y = x 라는 직선에 대하여 대칭된다는 것을 반드시 기억해 두기 바랍니다.

심화 유형에서 자주 등장하는 함수와 역함수의 교점을 구하는 문제들은, 일반적인 방정식으로는 풀어 내기가 매우 어렵기 때문에, (i) 함수와 y = x 라는 직선과의 교점 또는 (ii) 역함수와 y = x 라는 직선과의 교점으로 구하는 것이 쉽고 편리합니다.

[ 4 ] y = – x 직선에 대칭이동

y = – x 라는 직선에 대칭인 함수의 그래프는, x 대신에 – y 그리고 동시에 (∩) y 대신에 – x 를 대입하면 됩니다.

대입하면, 포물선의 식이 – x = (– y – 3)² 이 될 테니까, 이를 y 에 관하여 다시 정리하면,

– x = (y + 3)² 

y + 3 =  ± √(– x )

y =  ± √(– x ) – 3

루트기호 안에 음수( – )로 표시되어서 어렵게 느껴지지요?

고등수학의 [무리함수의 그래프]에서 배우게 되니, 이 내용을 아직 배우지 않은 학생들은 우선, 그래프가 그려진 결과만 보아도 됩니다.

이번에도, 아래 그림에서 빨간색인 반쪽의 포물선 y = + √(– x ) – 3 과

초록색인 반쪽의 포물선 y = – √(– x ) – 3 을 합치면,

파란색인 y = (x – 3)² 과 진짜로 y = – x 라는 직선에 대하여 대칭이지요?

이제, 더 어려운 심화 수준의, 일반적인 점에 대한 점대칭과 직선에 대한 선대칭은, 다음 시간에 공부하도록 합니다.