제곱근
square roots
"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"
" square root is a gateway to
solving quadratic equations "
√3 과 같은 제곱근은 이차방정식의 해를 구하는 데 가장 기초적인 개념입니다.
제곱의 계산과 반대되는 역의 연산으로, 앞으로 고등과정에서 배우는 무리함수 또는 역함수나 지수 및 로그와도 관련되므로, 처음부터 기초개념을 확실하게 배워 두기 바랍니다.
중 3 에서는 실수 범위 내에서의 제곱근을 공부하고, 고 1 과정에서는 음수의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 확대됩니다.
특히, 문자로 표시되는 제곱근의 성질은, 심화 수준의 고등수학에서도 자주 등장하는 유형이므로, 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두어야 합니다.
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[ 1 ] 어떤 수 x 를 제곱하여 3 이 될 때 그 x 를 3 의 제곱근이라고 하고, 이 제곱근은 루트기호를 사용해서 √3 이라고 나타내고 ‘제곱근 3’ 또는 ‘루트 3’ 이라고 읽습니다.
그런데 음수(–) 를 제곱해도 양수(+) 가 되니까, 자신을 제곱해서 3 이 되는 수를 말하는 ‘3 의 제곱근’ 에는 √3 만이 아니라 – √3 도 있지요.
x2 = 3
∴ x = √3 or – √3
예를 들어, 5의 제곱근은 위에서 설명한 대로 제곱해서 5가 되는 수를 말하는 것이니까, 양수 √5 와 음수인 – √5 의 두 개가 있겠지요?
[ 2 ] 제곱수인 9 의 제곱근도 x2 = 9 의 해가 되는 수이니까, 양수인 √9 (= 3) 뿐 만이 아니라, 음수인 – √9 (= – 3) 의 두 수 즉, ± 3 을 9 의 제곱근이라 합니다.
⇦ 제곱근 (square root)
± 3 9
⇨ 제곱 (square)
이 때 √9 와 같은 제곱수의 제곱근은, 실제 계산의 결과나 답으로 쓸 때에는 루트기호로는 나타내지 않는 것이 원칙입니다. 즉, √9 또는 √25 는 각각 루트기호를 쓰지 않고, 그냥 자연수 3 또는 5 라고 표현합니다.
√9 = √32 = 3
√25 = √52 = 5
* 참고로, 영어권 국가에서는 특별히, 루트기호를 없앨 수가 없는 (완전 제곱수가 아닌) 수들의 제곱근 즉, √2 나 √3 과 같은 수들을 따로 ‘surds’ 라고 부릅니다.
[ 3 ] 제곱근을 계산할 때는 루트기호 없이도 자연수로 나타낼 수 있는 (완전) 제곱수들을 기억해 두는 것이 제곱근 식을 계산하는 데 아주 편리합니다. 11의 제곱수부터 곱셈공식의 전개를 이용해서 구해 본 다음, 한 번 외워 보도록 할까요?
112 = (10+1)2 = 102 + 2x10x1 + 12= 121
122 = (10+2)2 = 102 + 2x10x2 + 2 2= 144
132 = (10+3)2 = 102 + 2x10x3 + 3 2= 169
142 = (10+4)2 = 102 + 2x10x4 + 4 2= 196
152 = (10+5)2 = 102 + 2x10x5 + 5 2= 225
162 = (10+6)2 = 102 + 2x10x6 + 6 2= 256
172 = (10+7)2 = 102 + 2x10x7 + 7 2= 289
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[ 4 ] 이번에는 제곱수가 자연수가 아니라, 분수나 특히 소수로 표현되는 경우를 살펴 보도록 할까요? 앞에서 살펴본 제곱수들을 기억해 두면 아주 편리하지요.
이런 유형의 문제를 만나면 당황하거나 실수하는 학생들이 꽤 많으니, 많은 연습을 통해 기초적인 계산실력을 단단하게 갖추어 두기 바랍니다.
이런 유형의 문제를 만나면 당황하거나 실수하는 학생들이 꽤 많으니, 많은 연습을 통해 기초적인 계산실력을 단단하게 갖추어 두기 바랍니다.
√ 0.01 = √(0.12) = 0.1
√ 1.69 = √(1.32) = 1.3
√ 1.96 = √(1.42) = 1.4
√ 2.89 = √(1.72) = 1.7
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[ 5 ] 마지막으로 영어의 '루트'를 번역하는 과정에서 발생되는 독특한(?), 한국학생들이 당하는 진위유형의 함정 문제도 잘 알아 둘 필요가 있습니다.
첫째로 ‘제곱근 3’ 이라는 표현은 단순히 ‘루트 3’ 을 번역한 √3 을 말하는 것이고, 둘째로 ‘3의 제곱근’ 이라는 용어는 자신을 제곱해서 3 이 되는 값들인 √3 과 – √3 의 두 개를 모두 말하는 표현입니다.
제곱근 또는 거듭제곱근 진위문제에서 자주 등장하니까, 시험볼 때 실수하지 않도록 유의하기 바랍니다.^^
그러면, 제곱수와 관련된 약간은 어려운 응용 문제를 풀어 보도록 합시다.
√ 300 – N 의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 N 의 개수를 구하여라.
(1) 우선, 300 – N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?
(2) 그런데, N 이 자연수이니까, 300 – N 의 값이 되는 범위를 살펴보면,
N ≥ 1
1 ≤ 300 – N ≤ 299
∴ 1 ≤ √ 300 – N ≤
(3) 여기서, 근사값을 계산해 보면, 300 – N 이 완전제곱수가 되는 경우는
√ 299 ≈
= √ 3 x 10
= 17.32⋯
∴ 300 – N = 12, 22, ⋯ , 172
* 참고로, 한국의 중고등 학생이라면 √2 = 1.414 그리고 √3 = 1.732 정도는 반드시 외워 두는 것이 좋습니다.^^
(4) 따라서, 답은 17 개이고, 참고로 자연수 N 의 값들을 살펴 보면,
(4) 따라서, 답은 17 개이고, 참고로 자연수 N 의 값들을 살펴 보면,
N1 = 300 – 12 = 299
N2 = 300 – 22 = 296
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N17 = 300 – 172 = 11
한 문제 더 풀어 보도록 할까요?
√ 150 x N 의 값이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 N 의 값을 구하여라.
(1) 150 x N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?
(2) 150 을 소인수로 분해해 보면,
150 = 2 x 3 x 52
(3) 따라서, 150 x N 을 (완전) 제곱수로 만들 수 있는 가장 작은 값 N 은,
∴ N = 2 x 3 = 6
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