일차방정식(2) 절대값 일차방정식

절대값 일차방정식

linear absolute value equations

"절대값 방정식은 사고력을 키우는데 도움이 되요"

" absolute equations improve

critical thinking skills "

절대값이 포함된 방정식은 기본적으로, 반드시 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.

특히, 함수 그래프에서 많이 활용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.

절대값이 3 개 이상이거나, 절대값이 다중으로 들어가는 심화유형은, 반드시 함수의 그래프를 이용해서 푸는 것이 바람직 합니다. 이 유형들에 대한 설명은 차후에 심화 단계에서 다룰 예정입니다.

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지난 번에 공부한 내용 중에서, 공식으로 정리하고 외워 두기로 한 내용을 복습하도록 할까요?

[ 1 ] 절대값이 하나만 있는 경우

한 변에 절대값만 있는 식, 그리고 다른 한 변에는 숫자만 있는 기본형 절대값 일차방정식 | x | = a ( > 0) 는 간단하게 x = a 또는 – a 라고 풀면 된다고 했지요?

그러면, 이와 관련된 보기 문제를 풀어 보도록 하지요.

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아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.

| x – 5 | = 3 

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(1) 방정식 | x – 5 | = 3 을 풀 때에도 앞에서 배웠던 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙이지만,

(2) 절대값 하나와 숫자만 있는 경우에는, x – 5 = k 라고 치환한다면, | k | = 3 을 푸는 것이니까, 위에서 복습한 내용대로 풀면 아주 간단하고 쉽습니다.

| x – 5 | = | k | = 3

이 때, k = 3  or  – 3

즉, x – 5 = 3  or  – 3

∴  x = 8  or  2

[ 2 ] 절대값이 여러 개인 경우

그러나, 아래와 같이 ① 절대값이 여러 개이거나, ② 숫자 대신에 식이 있는 경우에는, 위에서 설명한 원칙대로 구간을 나누어 풀어야 합니다.

이와 관련된 예제들을 보도록 할까요?

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아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.

| x – 5 | – | x + 2 | = 3 

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(1) 절대값이 두 개인 식이니까, 원칙대로 세 구간으로 나누어 풀어야 하겠지요? 각각의 구간 내에서는 특정조건 아래에서 답을 구하는 것이니까, 서로 교집합 (∩) 이 되지만, 각각의 세 구간끼리는 서로 다른 경우이므로, 합집합 (∪) 이 된다는 점에 유의해야 합니다.

(2) 이해하기 쉽게 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?

      

i)  A 일 때	ii)  B 일 때	iii)  C 일 때
P	Q	R

따라서, 답은 구하는 논리식을 집합으로 나타내면,

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) ∪ (C ∩ R)

(3) 이제, 실제로 절대값 방정식을 풀어 볼까요?

     나란히 3 단으로 나열해서 푸는 것이 좋습니다.

(A) x < –2일 때	(B) –2≤ x < 5일 때	(C) x ≥ 5일 때
–x+5–(–x–2) = 3 7 = 3 ? 따라서, 모순(Ø)	–x+5–(x+2) = 3 –2x + 3 = 3 따라서, x = 0	x–5–(x+2) = 3 – 7 = 3 따라서,모순(Ø)

(A) 의 경우는 x < – 2 의 조건하에서 (A ∩ P), 모순( Ø ) 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø )

(B) 의 경우는 – 2 ≤ x < 5 의 조건하에서 (B ∩ Q), x = 0 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 x = 0.

(C) 의 경우는 x ≥ 5 의 조건하에서 (C ∩ R), 모순( Ø ) 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø )

(4) 따라서, [(A)의 경우] 또는 [(B)의 경우] 또는 [(C)의 경우] 를 합하면,

    진짜의 최종 답은 x = 0 이 됩니다.

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) ∪ (C ∩ R)

Ø ∪ { 0 } ∪ Ø

∴  x = 0

[ 3 ] 숫자 대신에 식이 있는 경우

이번에도 관련 예제를 풀어 볼까요?

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아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.

| x – 5 | = 3x + 1 

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(1) 이 문제는 절대값은 하나지만, 숫자가 아니라 식이 있는 경우이니까, 간편하게 절대값의 성질을 이용해서, x – 5 = 3x + 1  또는  x – 5 = – 3x – 1 로 풀어서는 안됩니다.

(2) 따라서, 원칙대로 구간을 나누어 풀어야 합니다. 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로 나누면,

(A) x < 5일 때	(B) 5 ≤ x 일 때
– x + 5 = 3 x + 1 4 x = 4 따라서,  x = 1	x – 5 = 3 x + 1 2 x = – 6   ∴ x = – 3 따라서, 해가 없다 ( Ø )

(A) 의 경우는 x < 5 의 조건하에서 (A ∩ P), x = 1 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 x = 1.

(B) 의 경우는 x ≥ 5 의 조건하에서 (B ∩ Q), x = – 3 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø ).

(3) 따라서, [(A)의 경우] 또는 [(B)의 경우] 를 합하면, 진짜의 최종 답은 x = 1 이 됩니다.

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q)

{ 1 } ∪ Ø

∴  x = 1

절대값 그래프(2) 절대값 일차함수의 그래프

절대값 일차함수

linear absolute value functions

"절대값 그래프부터 상위수학의 시작입니다"

" graphing absolute value functions will lead you to

the higher level mathematics "

함수의 그래프는 고등수학 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

이 중에서도, 절대값 함수의 그래프는 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.

중고등 과정의 중급 및 심화문제에서 자주 등장하는 매우 중요한 유형이고, 함수 그래프에서도 많이 응용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.

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함수 y = | x | 의 그래프는 어떻게 그려야 할까요?

절대값이 포함된 일차함수도, 앞에서 배웠던 절대값 방정식과 같이 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 음(–)의 값인지에 따라, 2 가지 경우로 나누어 그래프로 나타내는 것이 원칙입니다.

(A)  x < 0 일 때	(B)  x ≥ 0 일 때
y = – x	y = x

위 내용을 이해하기 쉽게, 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?

(A)  A 일 때	(B)  B 일 때
P	Q

따라서, 답은 (A∩P)∪(B∩Q) 가 되겠지요? 이제 이 내용을 그래프로 나타내도록 합니다.

(1) x < 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 음 (–) 이 되는, II 와 III 사분면을 나타내니까, 아래 그림에서, 빨간색으로 표시된 영역입니다.

(2) 이제, (A∩P) 이니까 이 빨간색 영역에서만 y = – x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 감소하는 파란 직선입니다.

  

(3) x ≥ 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 양 (+) 이 되는, I, IV 사분면과 y 축을 포함하는 영역으로, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역입니다.

(4) 이번에도 (B∩Q) 이니까, 이 파란색 영역에서만 y = x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 증가하는 파란 직선입니다.

  

(5) 마지막으로, (A∩P)∪(B∩Q) 이니까, 위의 (2)∪(4) 인 두 반직선 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 결과는 아래 그림에서 보듯이, 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?

   

이제, y = | x | 의 그래프 그리기가 충분히 이해되었다면, 별도로 구간을 나누어 생각하지 않더라도, 위의 그림이 머리 속에 그대로 떠올라야 합니다. 수학에서도 가장 기초적이고 기본적인 것은 확실하게 이해한 후 기억해 두어야, 한 계단씩 더 어려운 심화단계로 쉽게 나아갈 수 있습니다.

이제, 조금 더 복잡한 y = | x – 3 | – | x + 1 | 의 그래프를 그려볼까요?

이번에도, 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 또는 음(–)의 값인지에 따라, 각각 2 가지씩 이지만, – 1 ≤ x 와 x < 3 의 구간은 하나로 합쳐지니까, 총 세 구간으로 나누면 되겠지요?

y = | x – 3 | – | x + 1 |

(A) x < –1일 때	(B) –1≤ x < 3일 때	(C) x ≥ 3일 때
y = –x+3 – (–x–1) y = 4	y = –x + 3 – (x+1) y = – 2 x + 2	y = x – 3 – (x+1) y = – 4

이것도, 앞에서 설명한 (A∩P)∪(B∩Q)∪(C∩R) 의 개념을 적용하면 되겠지요?

(1)  x < – 1 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = 4 의 그래프를 그려 넣고,

(2)  – 1 ≤ x < 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래의 그림에서 노란색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – 2 x + 2 의 그래프를 그리면 되겠지요?

(3) 마지막으로,  x ≥ 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = – 4 의 그래프를 그리면 됩니다.

(4) 이제, 위의 [(1)∪(2)∪(3)] 이니까, 세 그래프의 합집합(∪)을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 아래 그림에서 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?