문자계수 일차방정식
"문자로 정리하면 공식이 되지요"
" general solution with letter constants makes a formula "
대부분의 학생들이, 숫자 대신에 문자가 들어간 방정식을 풀 때에는, 0 인 경우와 아닌 경우로 나누어야 하는 데에도, 미처 이를 생각해 내지 못하는 경우가 많습니다.
또한 실생활 응용 문제에서, 구하는 것을 x 로 놓고 식을 세우는 데에도 꽤 어려움을 겪고 있는 학생들도 많습니다.
중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 스스로 공부해 나갈 수 있습니다.
♧ ♧ ♧ ♧ ♧ ♧
앞에서 풀었던 문제에서 계수들을, 문자로 바꾸어서 다시 풀어 보도록 할까요?
아래의 일차방정식을 풀어라.
5ax – 2a = 2ax + 7a
(1) 한 변에는 x 항들을, 다른 변에는 숫자인 상수항들을 모은다는 것은, 등식의 성질
(properties of equality) 을 이용해서, 양변에서 똑같이 2ax 를 빼주고, 2a 를 더해
준다는 뜻이니까,
5ax – 2a – 2ax + 2a
= 2ax + 7a – 2ax + 2a
= 2ax + 7a – 2ax + 2a
∴ 3ax = 9a
맞는 답일까요?
등식의 성질에서 나눗셈을 다시 한번 꼼꼼히 살펴 볼까요?
(3) 따라서, 문자 a 가 0 일 때와 아닐 때로 나누어 풀어 주어야 합니다.
a ÷ c = b ÷ c if c ≠ 0 ☞ (division property)
(3) 따라서, 문자 a 가 0 일 때와 아닐 때로 나누어 풀어 주어야 합니다.
x = 3 if a ≠ 0
x = 모든 실수 if a = 0
참고로, 만일 양변을 0 으로 나눌 수도 있다고 가정한다면 어떤 문제가 생기는 것일까요?
(1) 3/0 = k 라고 놓아 볼까요? 등식 3/0 = k 양변에 0 을 곱해 주면,
3 = 0 x k ?
이런 k 는 존재하지 않으므로 모순!
(2) 이번에는, 0/0 = p 라고 놓아 볼까요? 등식 0/0 = p 의 양변에 0 을 곱해 주면,
0 = 0 x p ?
어떤 수라도 모두 다 p 가 될 수 있네?
그러니까 모순!
따라서, 수학의 계산에서는 0 으로 나누는 것을 생각하지 않습니다.
이제, 문자로 된 일차방정식 ax = b 를 풀어 볼까요?
이번에도 문자이니까, 아래와 같이 경우를 나누어 답을 구해야 합니다. 정리하고 반드시 기억해 두기 바랍니다.
일반적으로, 문자로 된 일차방정식 ax = b 는
(1) a ≠ 0 일 때는, x = b/a
(2) a = 0 이지만 b ≠ 0 일 때는, x 의 해는 없다
[불능] (none)
(3) a = b = 0 일 때는, x 의 해가 무수히 많다
[부정] (any real number)
그러면, 문제를 하나 풀어 볼까요?
x 에 관한 방정식 ax + 1 = 2bx – 2 의 해가 존재하지 않을 때, a – 2b 의 값을 구하여라.
(1) 우선, 식을 ax = b 꼴로 정리해야 하겠지요?
(a – 2b) x = – 3
(2) 해가 존재하지 않는다고 했으니까, 위에서 정리했던 (2)번의 불능에 해당하는 것이지요?
(3) 그럼, 우변은 이미 – 3 ≠ 0 이니까, 좌변의 a – 2b 가 0 이 되어야 하겠지요?
(3) 그럼, 우변은 이미 – 3 ≠ 0 이니까, 좌변의 a – 2b 가 0 이 되어야 하겠지요?
∴ 답은 a – 2b = 0
연습문제를 하나 더, 풀어 보도록 할까요?
x 에 관한 방정식 a(x – 1) = 3b – 6 의 해가 2 개 이상일 때, a, b 의 값을 구하여라.
(1) 우선, 식을 ax = b 꼴로 정리해야 하겠지요?
ax = a + 3b – 6
(2) 해가 2 개 이상이라고 했으니까, 위에서 정리했던 (3)번의 부정에 해당하는 것이지요?
(3) 그럼, 좌변의 a 도 0 이고, 우변의 a + 3b – 6 도 0 이 되어야 하겠지요?
(3) 그럼, 좌변의 a 도 0 이고, 우변의 a + 3b – 6 도 0 이 되어야 하겠지요?
a = 0 & a + 3b – 6 = 0
∴ a = 0, b = 2
