집합(4) 부분집합의 개수

부분집합의 개수

number of subsets

"각 원소마다 포함 또는 배제의 경우로 나누어 생각하면 아주 쉬워요"

" count the outcomes whether each element is

included or excluded "

부분집합의 개수를 구하는 유형은, 고 1 에서의 [집합] 단원 뿐만 아니라, 중고등 수학 전반에서 [경우의 수] 등의 응용문제로 다양하게 출제되고 있습니다.

따라서, 기본적인 개념과 '포함과 배제의 원리' 는 철저하게 이해해 두는 것이 필요합니다.

여기에서는 기본원리 위주로 핵심개념만 설명합니다. 선행이나 심화과정이 아니라면, 중학생은 생략해도 됩니다.

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예를 들어, 집합 A = {4, 5} 의 부분집합은 한 개의 원소를 갖는 {4}, {5} 그리고 자기자신 {4, 5} 그리고 추가로 원소가 하나도 없는 공집합 Ø 도 부분집합으로 정의하는 경우, 총 4 개의 부분집합을 갖게 됩니다. 공집합 Ø 는 {  } 로도 표시하지요.

위 예의 집합 A = {4, 5} 에서 자기자신 {4, 5} 를 제외하고, {4}, {5} 와 공집합 Ø 을 집합A 의 진부분집합이라고 따로 명시합니다.

그러면, 집합 A 의 부분집합의 개수는 어떻게 계산되는 것일까요?

	4  ∉	4 ∈
5  ∉	Ø	{4}
5 ∈	{5}	{4, 5}

위의 표에서 보는 것과 같이, 특정 원소 하나가 '포함(∈) 되거나' 또는 '배제(∉) 되거나' 를 구분하는 데에 따르는, 경우의 수를 구하는 방법과 같습니다.

따라서, 만일 원소의 개수가 4 개 라면, 각각의 원소마다 '포함(∈) 되거나' 또는 '배제(∉) 되거나' 의 2 가지 경우의 수를 가지므로, 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴ = 16 개가 됩니다.

위에서 설명한 원리를 가지고, 문자로 일반화시킨 공식을 만들어 볼까요?

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원소가n 개인 집합의 부분집합의 개수는, 각각의 원소마다 '포함(∈) 되거나' 또는 '배제(∉) 되거나' 의 2 가지 경우를 갖게 된다. 따라서, 2 가 n 번 곱해지는 것과 같으니까, 2ⁿ 개.

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이제 약간 응용된 예를 한번 볼까요?

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집합 X 가 {3, 4, 5, 6, 7} 의 부분집합이고 {2, 3, 4, 5} ∩ X = {3, 4} 를 만족할 때, 서로 다른 집합 X 의 개수를 구하여라.

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(1) 우선, 집합 기호로 주어진 문제의 조건을 잘 이해해야 합니다. 집합 X 가 {3, 4, 5, 6, 7} 의 부분집합이면서, 원소 3, 4 는 포함하고, 원소 5 는 포함하지 않는다는 뜻이지요?

(2) 이제, 각각의 원소마다 경우의 수를 따져보면, 원소 6, 7 은 각각 '포함(∈) 되거나' 또는 '배제(∉) 되거나' 의 경우의 선택이 가능하지만

(3) 원소 3, 4 는 포함되는 경우만 가능하므로 이미 한가지 경우로만 정해져 버렸다는 뜻이 되는 것이고

(4) 원소 5 도 포함하지 않는 경우만 가능하므로 이미 한가지 경우로만 정해져 버렸다는 뜻이 됩니다.

(5) 즉, 원소 6, 7 은 각각 2가지 선택이 가능하지만, 원소 3, 4, 5 의 경우는 이미 한가지 경우로만 정해져 버렸으므로, 부분집합 X 의 개수는 2^5-3 = 2² = 4 개

다음은 조금 어려운 개념이지만, 상위의 심화수학으로 갈수록 복층식 개념구조를 익혀 둘 필요가 있다는 점에서, 멱집합 (power set) 을 알아 보도록 하지요.

예를 들어, 집합 A = {4, 5} 에 대하여, 집합 A 의 멱집합은 A 의 부분집합들을 원소로 갖는 집합으로, P(A) 또는 2^A 으로 표시합니다. 즉, P(A) = {Ø, {4}, {5}, {4, 5}} 또는 {{ }, {4}, {5}, {4, 5}} 라고 나타낼 수 있지요.

위의 집합 A 의 멱집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16 개가 됩니다. 연습 삼아서, 모두 순서대로 나열해 보도록 할까요? 조금 어렵게 느껴진다면, 멱집합의 원소가 되는 {4, 5} = b 와 같이 치환하면 쉬워집니다.

Ø = {  }

{Ø},   {{4}},   {{5}},   {{4, 5}}

{Ø, {4}},   {Ø, {5}},   {Ø, {4, 5}},   {{4}, {5}},

{{4}, {4, 5}},   {{5}, {4, 5}}

{Ø, {4}, {5}},   {Ø, {4}, {4, 5}},   {Ø, {5}, {4, 5}}, {{4}, {5}, {4, 5}}

{{Ø, {4}, {5}, {4, 5}}}

일반화시켜서, 원소가 n 개인 집합의 멱집합의 부분집합의 개수를 알아 볼까요?

원소가 n 개인 집합 B = { b₁, b₂, … b_n} 의 부분집합의 개수는 2ⁿ 개 이니까, 멱집합의 원소의 개수도 2ⁿ 개 이겠지요?

여기서, 더 쉽게 이해할 수 있도록 2ⁿ = k 라고 치환하도록 할까요?

이제, 멱집합의 원소의 개수가 k 개 이니까, 위에서 배웠던 대로, 멱집합의 부분집합의 개수는 2^k 개가 됩니다.

따라서, 멱집합의 부분집합의 개수는 2^k = (2)^(2ⁿ) 개가 됩니다.

집합(3) 부분집합의 개수

부분집합의 개수

number of subsets

"그냥 부분집합이라고 하면 자기자신도 포함이 되요"

" A proper subset of a set B is a subset of B that is not equal to B "

진부분집합은 부분집합들 중에서 자기자신을 제외한 부분집합을 말합니다. 따라서 일반적으로 부분집합이라고 말하면 자기자신을 포함하게 되지요.

부분집합의 개수를 구하는 유형은, 각각의 원소들이 포함되느냐 배제되느냐 하는 논리를 기초로 하기 때문에, 고등수학 과정에서 [경우의 수] 등의 응용문제로 다양하게 출제되고 있습니다.

여기에서는 기본원리 위주로 핵심개념만 설명합니다. 심화과정이 아니라면, 중학생은 생략해도 됩니다.

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예를 들어, 집합 A = {4, 5} 의 부분집합은 원소가 1개인 {4}, {5} 그리고 자기자신 {4, 5} 와 원소가 하나도 없는 공집합 Ø 의 4개가 있습니다. 공집합 Ø 는 { }로도 표시합니다.

위 예의 집합 A 에서 자기자신 {4, 5}를 제외한 공집합 Ø 과 {4}, {5} 를 집합 A 의 진부분집합이라고 따로 명시합니다.

그러면, 집합 A 의 부분집합의 개수는 어떻게 계산되는 것일까요?

	4  ∉	4 ∈
5  ∉	Ø	{4}
5 ∈	{5}	{4, 5}

즉, 특정원소 하나가 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 에 따르는 경우의 수를 구하는 것과 같지요.

따라서, 만일 원소의 개수가 4개라면, 각각의 원소마다 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나]의 2가지 경우의 수를 가지므로, 2 Χ 2 Χ 2 Χ 2 = 16개가 됩니다.

위에서 설명한 원리를 가지고, 문자로 일반화시킨 공식을 만들어 볼까요?

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원소가 n 개인 집합의 부분집합의 개수는

[포함 또는 배제]라는 2가지 경우의 수로 n 번 곱해지는 것이니까,

2ⁿ 개

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이제 약간 응용된 예를 한번 볼까요?

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 집합 X 가 {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이고

 {2, 3, 4, 5} ∩ X = {3, 4}를 만족할 때

 서로 다른 집합 X 의 개수를 구하여라.

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(1) {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이면서 원소 3, 4는 포함하고

     원소 5 는 포함하지 않는다는 얘기구나…

(2) 그러면 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 의 경우의 수에서

     원소 3, 4, 5는 한가지 경우만 가능하고,

     원소 6, 7은 둘 다 가능하다는 얘기네…

(3) 따라서, 부분집합 X 의 개수는 2^{(5 - 3)} =  2² = 4 개

다음은 조금 어렵지만, 상위의 심화수학으로 갈수록 복층식 개념구조를 익혀 둘 필요가 있다는 점에서, 멱집합(power set)을 알아 보도록 하지요.

예를 들어, 집합 A = {4, 5} 에 대하여, 집합 A 의 멱집합은 A 의 부분집합들을 원소로 갖는 집합으로, P(A) 또는 2^A 으로 표시합니다.

즉, P(A) = {Ø, {4}, {5}, {4, 5}} 또는 {{ }, {4}, {5}, {4, 5}} 라고 나타낼 수 있지요.

따라서, 집합 A 의 멱집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16 개가 됩니다.

일반화시켜서, 원소가 n 개인 집합의 멱집합의 부분집합의 개수를 알아 볼까요?

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 (1) 원소가 n 개인 집합 { b₁, b₂, b₃, … ,b_n } 의 부분집합의 개수는 2ⁿ 개.

 (2) 즉, 멱집합의 원소의 개수가 2ⁿ 이니까, 멱집합의 부분집합의 개수는

        2^(2ⁿ) 개가 됩니다.

 (3) 이해가 조금 힘들면, 2ⁿ = K 라고 치환하면 이해하기가 쉬워집니다.

       치환을 능숙하게 이용하면, 수학실력도 크게 늘고, 계산능력도 아주 좋아지지요.

 (4) 이제, 멱집합의 원소의 개수 = 2ⁿ = K 라 놓으면, 멱집합의 부분집합의 개수는

         2^k  즉, 2^(2ⁿ) 개가 되지요.

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이제, 확인문제를 하나 풀어 볼까요?

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 집합 A = {4, 5} 의 멱집합의 부분집합을

 순서대로 모두 나열하여라.

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집합(1) 집합의 정의

집합의 정의

definition of a set

"자연과학의 기초언어가 수학이라면

수학의 기초언어는 집합입니다"

" If math is the language of science,

then set theory is the language of math "

최근 중학 교과개정에서 ‘집합 (set theory)’ 단원이 빠졌지만, 수학공부에 기초가 되는 중요한 개념이기 때문에, 표준 교과과정과 관계없이 기본적인 개념과 표현방법 및 기호는 반드시 알아두어야 합니다.

특히, 학생들이 비교적 어려워하는 아래의 단원들에서 합집합 과 교집합 (또는 공통집합) 의 개념이 반드시 필요합니다.

(a) 연립방정식과 연립부등식 (systems of equations and inequalities)

(b) 절대값이 들어간 방정식과 부등식 (equations and inequalities with absolute values)

(c) 그래프를 이용한 최대값과 최소값 (finding minimum & maximum values using graphs)

(d) 경우의 수와 순열, 조합 및 확률 (counting outcomes, permutations, combinations & probabilities)

중 1 처음 시작부터, 최소한의 기본 개념과 집합기호는 벤 다이어그림 (Venn diagram) 등의 시각적 응용력과 함께, 반드시 익혀 두도록 하기 바랍니다.

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[ A ] 기본 용어

아래 그림에서 빨간색의 타원으로 표시된, 점 a, b, c 로 이루어진 A 라는 모음을 가리킬 때, A = { a, b, c } 라 표현하고, a, b, c 들을 각각 원소 (element), 이들의 모음인 A 를 집합 (set) 이라고 합니다.


이 때, '원소 a 는 집합 A 에 속한다' 고 표현하고, 기호로는 a ∈ A 와 같이, '원소 d 는 집합 A 에 속하지 않는다' 라고 표현하고, 기호로는 d ∉ A 와 같이 나타냅니다.

위 그림에서 노란색으로 표시된, 집합 B = { a, b, c, d } 라고 한다면, A 는 B 에 포함되니까, '집합 A 는 집합 B 의 부분집합 (subset)' 또는 '집합 A 는 집합 B 에 포함된다' 라고 표현하고 A ⊂ B 의 기호를 사용합니다.

일반적으로, 부분집합이라는 표현은 B ⊂ B 와 같이 같은 집합일 때도 적용됩니다. 위의 예에서 집합 A 는 B 에 포함되는 작은 집합이니까, 특별히 집합 B 의 진부분집합이라고 부르고 A ⊊ B 라는 기호를 사용합니다.

[ B ] 집합의 원소


앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서,  n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.

집합 사이의 관계를 시각적으로 잘 보여 주는, 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 사용해서 조금 더 구체적으로 알아 볼까요?

위의 그림과 같이, 파란색으로 표시된 집합 C = { b, c, e, f } 가 있을 때,

(1) 합집합 A∪C 는 집합 A 에 속하거나 또는 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∪C = { a, b, c, e, f } 이고, 수학적 개념으로는 덧셈 ( + ) 의 뜻도 가지고 있습니다.

(2) 교집합 A∩C 는 집합 A 에 속하고 그리고 동시에 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∩C = { b, c } 를 말하며, 수학적 개념으로는 곱셈 ( x ) 의 뜻으로도 사용됩니다.

(3) 전체집합 U 는 위 그림에서 갈색의 직사각형으로 나타낸, 모든 원소를 전부 포함하는 집합을 말합니다.

(4) 여집합 A^c 는 전체집합 U 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A^c = { d, e, f, g, h } 가 됩니다.


(5) 차집합 A – C 는 집합 A 에는 속하지만 C 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A – C = { a } 를 말합니다. 마치 뺄셈을 한 것과 같지요?

반대로, 차집합 C – A 는  집합 C 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 C – A = { e, f } 를 말합니다.

또, 차집합은 여집합 기호를 사용해서, A – B = A∩B^c 로 정의하기도 합니다.

집합의 기본적인 개념과 정의 및 기호들은, 반드시 복습하면서, 핵심 내용을 깔끔하게 정리해 두기 바랍니다. 배운 것을 스스로 복습하면서 요점을 정리해 나갈 때, 수학실력은 쑥쑥 자라나게 됩니다.

어려운 심화수준의 수학공부도, 기초 단계에서는 정의나 기초공식들 그리고 기본정리들을 반드시 외워 두어야 합니다.

아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.





여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?

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1000 미만의 자연수 중에서, 13 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하여라.

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(1) 13 의 배수가 아닌 것을 그냥 세는 것은 너무 심하지요? 그렇게 세고 있는 학생들에겐 문제에서 '1000 미만' 을 '10억 미만' 으로 바꿉니다. ^^

(2) 경우의 수가 규칙성도 없고, 너무 많으니까…, 앞에서 배운 여집합의 개념을 활용해서, 반대의 방법으로 구하는 건 어떨까요?

(3) 어떤 경우들이 있는지를 따져 보다가, 그 경우의 수가 너무 많거나 규칙이 보이지 않을 때, 반대로 생각해서 해결하는 것이 여사건 또는 여집합의 방법입니다.

(4) 전체에서 13 의 배수의 개수만 빼주면 되겠지요?

999 – (13 의 배수의 개수)

= 999 – 76

= 923

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