집합(1) 집합의 정의
definition of a set
"자연과학의 기초언어가 수학이라면
수학의 기초언어는 집합입니다"
" If math is the language of science,
then set theory is the language of math "
최근 중학 교과개정에서 ‘집합 (set theory)’ 단원이 빠졌지만, 수학공부에 기초가 되는 중요한 개념이기 때문에, 표준 교과과정과 관계없이 기본적인 개념과 표현방법 및 기호는 반드시 알아두어야 합니다.
특히, 학생들이 비교적 어려워하는 아래의 단원들에서 합집합 과 교집합 (또는 공통집합) 의 개념이 반드시 필요합니다.
(a) 연립방정식과 연립부등식 (systems of equations and inequalities)
(b) 절대값이 들어간 방정식과 부등식 (equations and inequalities with absolute values)
(c) 그래프를 이용한 최대값과 최소값 (finding minimum & maximum values using graphs)
(d) 경우의 수와 순열, 조합 및 확률 (counting outcomes, permutations, combinations & probabilities)
중 1 처음 시작부터, 최소한의 기본 개념과 집합기호는 벤 다이어그림 (Venn diagram) 등의 시각적 응용력과 함께, 반드시 익혀 두도록 하기 바랍니다.
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아래 그림에서 빨간색의 타원으로 표시된, 점 a, b, c 로 이루어진 A 라는 모음을 가리킬 때, A = { a, b, c } 라 표현하고, a, b, c 들을 각각 원소 (element), 이들의 모음인 A 를 집합 (set) 이라고 합니다.
이 때, '원소 a 는 집합 A 에 속한다' 고 표현하고, 기호로는 a ∈ A 와 같이, '원소 d 는 집합 A 에 속하지 않는다' 라고 표현하고, 기호로는 d ∉ A 와 같이 나타냅니다.
위 그림에서 노란색으로 표시된, 집합 B = { a, b, c, d } 라고 한다면, A 는 B 에 포함되니까, '집합 A 는 집합 B 의 부분집합 (subset)' 또는 '집합 A 는 집합 B 에 포함된다' 라고 표현하고 A ⊂ B 의 기호를 사용합니다.
[ B ] 집합의 원소
앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서, n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.
앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서, n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.
집합 사이의 관계를 시각적으로 잘 보여 주는, 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 사용해서 조금 더 구체적으로 알아 볼까요?
위의 그림과 같이, 파란색으로 표시된 집합 C = { b, c, e, f } 가 있을 때,
(1) 합집합 A∪C 는 집합 A 에 속하거나 또는 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∪C = { a, b, c, e, f } 이고, 수학적 개념으로는 덧셈 ( + ) 의 뜻도 가지고 있습니다.
(2) 교집합 A∩C 는 집합 A 에 속하고 그리고 동시에 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∩C = { b, c } 를 말하며, 수학적 개념으로는 곱셈 ( x ) 의 뜻으로도 사용됩니다.
(3) 전체집합 U 는 위 그림에서 갈색의 직사각형으로 나타낸, 모든 원소를 전부 포함하는 집합을 말합니다.
(4) 여집합 Ac 는 전체집합 U 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 Ac = { d, e, f, g, h } 가 됩니다.
(5) 차집합 A – C 는 집합 A 에는 속하지만 C 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A – C = { a } 를 말합니다. 마치 뺄셈을 한 것과 같지요?
반대로, 차집합 C – A 는 집합 C 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 C – A = { e, f } 를 말합니다.
또, 차집합은 여집합 기호를 사용해서, A – B = A∩Bc 로 정의하기도 합니다.
집합의 기본적인 개념과 정의 및 기호들은, 반드시 복습하면서, 핵심 내용을 깔끔하게 정리해 두기 바랍니다. 배운 것을 스스로 복습하면서 요점을 정리해 나갈 때, 수학실력은 쑥쑥 자라나게 됩니다.
어려운 심화수준의 수학공부도, 기초 단계에서는 정의나 기초공식들 그리고 기본정리들을 반드시 외워 두어야 합니다.
아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.
여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?
아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.
여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?
1000 미만의 자연수 중에서, 13 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하여라.
(1) 13 의 배수가 아닌 것을 그냥 세는 것은 너무 심하지요? 그렇게 세고 있는 학생들에겐 문제에서 '1000 미만' 을 '10억 미만' 으로 바꿉니다. ^^
(2) 경우의 수가 규칙성도 없고, 너무 많으니까…, 앞에서 배운 여집합의 개념을 활용해서, 반대의 방법으로 구하는 건 어떨까요?
(4) 전체에서 13 의 배수의 개수만 빼주면 되겠지요?
999 – (13 의 배수의 개수)
= 999 – 76
= 923
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