제곱근(1) 제곱근

제곱근

square roots

"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"

" square root is a gateway to

solving quadratic equations "

√3 과 같은 제곱근은 이차방정식의 해를 구하는 데 가장 기초적인 개념입니다.

제곱의 계산과 반대되는 역의 연산으로, 앞으로 고등과정에서 배우는 무리함수 또는 역함수나 지수 및 로그와도 관련되므로, 처음부터 기초개념을 확실하게 배워 두기 바랍니다.

중 3 에서는 실수 범위 내에서의 제곱근을 공부하고, 고 1 과정에서는 음수의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 확대됩니다.

특히, 문자로 표시되는 제곱근의 성질은, 심화 수준의 고등수학에서도 자주 등장하는 유형이므로, 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두어야 합니다.

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[ 1 ]  어떤 수 x 를 제곱하여 3 이 될 때 그 x 를 3 의 제곱근이라고 하고, 이 제곱근은 루트기호를 사용해서 √3 이라고 나타내고 ‘제곱근 3’ 또는 ‘루트 3’ 이라고 읽습니다.

그런데 음수(–) 를 제곱해도 양수(+) 가 되니까, 자신을 제곱해서 3 이 되는 수를 말하는 ‘3 의 제곱근’ 에는 √3 만이 아니라 – √3 도 있지요.

x² = 3

∴  x = √3  or  – √3

예를 들어, 5의 제곱근은 위에서 설명한 대로 제곱해서 5가 되는 수를 말하는 것이니까, 양수 √5 와 음수인 – √5 의 두 개가 있겠지요?

[ 2 ]  제곱수인 9 의 제곱근도 x² = 9 의 해가 되는 수이니까, 양수인 √9 (= 3) 뿐 만이 아니라, 음수인  – √9 (= – 3) 의 두 수   즉,  ± 3 을 9 의 제곱근이라 합니다.

⇦     제곱근 (square root)     ⇦

± 3                                                        9

⇨          제곱 (square)          ⇨

이 때 √9 와 같은 제곱수의 제곱근은, 실제 계산의 결과나 답으로 쓸 때에는 루트기호로는 나타내지 않는 것이 원칙입니다. 즉, √9 또는 √25 는 각각 루트기호를 쓰지 않고, 그냥 자연수 3 또는 5 라고 표현합니다.

√9 = √3² = 3

√25 = √5² = 5

* 참고로, 영어권 국가에서는 특별히, 루트기호를 없앨 수가 없는 (완전 제곱수가 아닌) 수들의 제곱근 즉, √2 나 √3 과 같은 수들을 따로 ‘surds’ 라고 부릅니다.

[ 3 ]  제곱근을 계산할 때는 루트기호 없이도 자연수로 나타낼 수 있는 (완전) 제곱수들을 기억해 두는 것이 제곱근 식을 계산하는 데 아주 편리합니다. 11의 제곱수부터 곱셈공식의 전개를 이용해서 구해 본 다음, 한 번 외워 보도록 할까요?

11² = (10+1)² = 10² + 2x10x1 + 1²= 121

12² = (10+2)² = 10² + 2x10x2 + 2²= 144

13² = (10+3)² = 10² + 2x10x3 + 3²= 169

14² = (10+4)² = 10² + 2x10x4 + 4²= 196

15² = (10+5)² = 10² + 2x10x5 + 5²= 225

16² = (10+6)² = 10² + 2x10x6 + 6²= 256

17² = (10+7)² = 10² + 2x10x7 + 7²= 289

︙

[ 4 ]  이번에는 제곱수가 자연수가 아니라, 분수나 특히 소수로 표현되는 경우를 살펴 보도록 할까요? 앞에서 살펴본 제곱수들을 기억해 두면 아주 편리하지요.

이런 유형의 문제를 만나면 당황하거나 실수하는 학생들이 꽤 많으니, 많은 연습을 통해 기초적인 계산실력을 단단하게 갖추어 두기 바랍니다.

√ 0.01  = √(0.1²) = 0.1

√ 1.69  = √(1.3²) = 1.3

√ 1.96  = √(1.4²) = 1.4

√ 2.89  = √(1.7²) = 1.7

︙

[ 5 ]  마지막으로 영어의 '루트'를 번역하는 과정에서 발생되는 독특한(?), 한국학생들이 당하는 진위유형의 함정 문제도 잘 알아 둘 필요가 있습니다.

첫째로 ‘제곱근 3’ 이라는 표현은 단순히 ‘루트 3’ 을 번역한 √3 을 말하는 것이고, 둘째로 ‘3의 제곱근’ 이라는 용어는 자신을 제곱해서 3 이 되는 값들인 √3 과  – √3 의 두 개를 모두 말하는 표현입니다.

제곱근 또는 거듭제곱근 진위문제에서 자주 등장하니까, 시험볼 때 실수하지 않도록 유의하기 바랍니다.^^

그러면, 제곱수와 관련된 약간은 어려운 응용 문제를 풀어 보도록 합시다.

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√ 300 – N  의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 N 의 개수를 구하여라.

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(1) 우선, 300 – N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 그런데, N 이 자연수이니까, 300 – N 의 값이 되는 범위를 살펴보면,

N ≥ 1

1 ≤ 300 – N ≤ 299

∴  1 ≤ √ 300 – N  ≤ √ 299 

(3) 여기서, 근사값을 계산해 보면, 300 – N 이 완전제곱수가 되는 경우는

√ 299  ≈ √ 300 

= √ 3  x 10

= 17.32⋯

∴  300 – N = 1², 2², ⋯ , 17²

* 참고로, 한국의 중고등 학생이라면 √2 = 1.414 그리고 √3 = 1.732 정도는 반드시 외워 두는 것이 좋습니다.^^



(4) 따라서, 답은 17 개이고, 참고로 자연수 N 의 값들을 살펴 보면,

N₁ = 300 – 1² = 299

N₂ = 300 – 2² = 296

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N₁₇ = 300 – 17² = 11

한 문제 더 풀어 보도록 할까요?

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√ 150 x N  의 값이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 N 의 값을 구하여라.

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(1) 150 x N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 150 을 소인수로 분해해 보면,

150 = 2 x 3 x 5²

(3) 따라서, 150 x N 을 (완전) 제곱수로 만들 수 있는 가장 작은 값 N 은,

∴  N = 2 x 3 = 6

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제곱근(6) 분모의 유리화 (1)

분모의 유리화

rationalizing the denominator

"분모를 유리화해야만 정답이예요"

 " if the denominator contains radicals,

then it’s not a final answer yet "

제곱근 식의 계산에서 최종적인 답은 반드시 분모를 유리화 한 후에, 같은 제곱근을 가진 동류항들을 정리해야만 정답으로 처리됩니다.

분모의 제곱근 식은 간단히 제곱하는 방법으로는 쉽게 유리화가 되지 않으므로, [곱셈공식] 단원에서 배웠던 합차공식 등을 이용해야 합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는, 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실인 바, 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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우선, 아래의 제곱근 식을 계산하는 과정을 한 번 살펴 보도록 합시다.

√6 – √3 / √2 + √24

= √6 – √3 / √2 + 2√6

= 3√6 – √3 / √2

이 결과를 최종의 정답이라고 채점할 수 있을까요?

자세히 살펴보면, 동류항끼리 정리되지 않았기 때문에 옳은 정답이라 볼 수 없습니다.

왜냐하면 ?

√3 / √2

= (√3 * √2) / (√2 * √2)

= √6 / 2

따라서, 동류항인 √6 을 포함하는 항들을 모두 정리해 주어야 합니다.

= 3√6 – √3 / √2

= 3√6 – √6 / 2

= 5√6 / 2

이와 같이 분모에 무리수가 있는 경우에, 분모의 루트기호를 없애 유리수로 만드는 것을 ‘분모의 유리화’ 라고 합니다.

  

[ 1 ] 단(일)항의 제곱근으로 이루어진 분모

아래의 예와 같이, 단항만으로 이루어진 분모를 가지는 가장 간단한 유형은, 분모와 동일한 제곱근을 분자와 분모에 곱해 주는 방법으로 유리화를 할 수 있습니다.

(1)   √3 / √2

= (√3 * √2) / (√2 * √2)

= √6 / 2

(2)   √5 / (√2 * √3)

= {√5 * (√2 * √3)} / {(√2 * √3) * (√2 * √3)}

= √(5 * 2 * 3) / (2 * 3)

= √30 / 6

또는 (or)

√5 / (√2 * √3)

= √5 / √6

= (√5 * √6) / (√6 * √6)

= √30 / 6

[ 2 ] 이항 또는 다항의 제곱근으로 되어 있는 분모

이와는 달리, 분모가 제곱근을 포함하는 이항 또는 다항의 형태로 되어 있는 경우에는, [1]의 방법과 같이 간단히 같은 제곱근을 곱해주거나 분모를 제곱하는 방법만으로는 유리화가 되지 않습니다.

(3)   3 / (√2 + 1)

= {3 * (√2 + 1)} / {(√2 + 1) * (√2 + 1)}

= (3√2 + 3) / (2 + 2√2 + 1)

???

이런 경우, 우리는 [곱셈공식] 단원에서 배웠던 합차공식을 이용해서 분모를 유리화 해낼 수 있습니다.

(A + B)(A – B) = A² – B²

아래와 같이 분모의 제곱근(식) 에 대한 켤레근(식) 을 분모와 분자에 똑같이 곱해주면,

(3)   3 / (√2 + 1)

= {3 * (√2 – 1)} / {(√2 + 1) * (√2 – 1)}

= (3√2 – 3) / (2 – 1)

= 3√2 – 3

이번에는, 똑같은 합차공식을 이용해서 제곱근이 2 개가 있는 분모를 유리화 해 보도록 할까요?

(A – B)(A + B) = A² – B²

(4)   1 / (√3 – √2)

= (√3 + √2) / {(√3 – √2) * (√3 + √2)}

= (√3 + √2) / (3 – 2)

= √3 + √2

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