이차함수(4) 이차함수와 판별식

이차함수와 판별식

discriminant to describe quadratic function

"판별식만으로도 포물선의 위치가 저절로 떠올라요"

" discriminant formula automatically

reminds me of the position of the parabola "

  

이차함수 그래프의 위치 관계와 판별식은 중등 심화과정과 고등과정의 이차 함수와 포물선, 최대값 및 최소값 등의 단원에서, 연계형 유형으로 다양하게 응용되고 있습니다.

특히, 포물선과 직선, 원과 포물선 또는 원과 직선 등 이차식으로 표현되는 그래프들 간의 위치 관계나 최대값 및  최소값을 구하는 핵심적인 개념이며 원리입니다.

가급적 쉽게 기초부터 설명할 예정이니, 철저하게 원리를 이해하고, 응용력을 키워 두어야 합니다.

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포물선의 모양을 갖는 이차식 y = ax² + bx + c 의 그래프를 x 축과의 위치 관계로 나타내면 어떤 종류들이 있을까요?

만일 a 가 양수 (+) 라고 한다면, 아래의 그림과 같이 (a) 두 점에서 만나는 빨간색 (b) 한 점에서 접하는 검은색 그리고 (c) 만나지 않는 파란색 포물선의 3 가지 경우로 나누어서 생각해 볼 수 있겠지요?

[ A ] x 축과 두 점에서 만난다

먼저, 빨간색 포물선 y = ax² + bx + c (a > 0) 가 x 축과 만나는 점 A 와 B 의 좌표를 구해 보도록 할까요?

(1) x 축의 방정식이 y = 0 이니까, 포물선과 x 축의 두 그래프를 연립으로 하는 이차방정식 ax² + bx + c = 0 를 풀어야 하겠지요?

(2) 앞의 이차방정식에서 배운대로 ax² + bx + c = 0 의 두 근은, 근의 공식을 이용하면,

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

(3) 그런데, 항상 – b – √(b² – 4ac) < – b + √(b² – 4ac) 가 성립하니까, a > 0 일 때, 두 점 A 와 B 의 좌표를 구해보면,

  

A = ( { – b – √(b² – 4ac)} / 2a , 0 )

B = ( { – b + √(b² – 4ac)} / 2a , 0 )

(4) 이 때, 점 A 와 B 는 서로 다른 두 점이니까, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 양 (+) 의 값을 가져야 하겠지요?

[ B ] x 축과 접한다

그러면, 검은색 포물선 y = ax² + bx + c 가 x 축과 만나는 점 C 의 좌표는 어떻게 될까요?

(1) 위에서 구한 두 근, { – b – √(b² – 4ac)} / 2a 와 { – b – √(b² – 4ac)} / 2a 가 점점 모아져서 하나로 합쳐지는 점이겠지요?

(2) 따라서, 두 근의 x 좌표에서, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 0 이 되어야 합니다. 따라서 점 C 의 좌표는 ( – b /2a , 0) 가 됩니다.

[ C ] x 축과 만나지 않는다

마지막으로, 파란색 포물선 y = ax² + bx + c 는 x 축과 만나지 않으니까, 이차방정식 ax² + bx + c = 0 는 실수값의 해를 가지지 않는 것이겠지요?

(1) 즉, 두 근의 x 좌표에서, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 음수 (–) 가  되어, x 좌표는 허수의 값을 갖게 되고,

(2) 따라서, 실수의 좌표 평면에서는 그 값 즉, 두 근의 위치를 나타낼 수 없다는 뜻이 됩니다.

이제 그러면, 지금까지 공부한 내용을 일반화시켜서 정리해 볼까요?

위의 도표는 이차함수로 표시되는 포물선 그래프와 x 축과의 위치 관계와 관련하여 앞으로도 다양하게 응용되니까, 그래프의 모양과 함께 반드시 기억해 두기 바랍니다.

뒤에서 자세히 설명할 예정이지만, 예를 들자면, 이차의 절대 부등식에서도 활용됩니다. 이와 관련된 보기 문제를 하나 보도록 할까요?

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모든 실수 x 에 대하여, 이차 부등식 ax² + 4x + a < 0 가 항상 성립하기 위한 a 값의 범위를 구하여라.

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(1) 위에서 정리해 두었던 도표에서, 가장 아래 칸에 있는 포물선 그래프의 위치에 해당하는 내용을 기억해 내야 되겠지요?

(2) a < 0 그리고 동시에 (∩) D < 0 의 조건을 만족해야 하니까,

a < 0 ⋯ ①

(3) 또, D/4 = 4 – a² < 0 에서,

a < – 2  or  a > 2 ⋯ ②

(4) 따라서, ① ∩ ② 를 연립으로 풀면,

답은 a < – 2

이 뿐만 아니라, 다음에 설명할 포물선과 직선의 위치관계 등에서도, 이번에 배운 똑같은 원리가 그대로 적용됩니다.


확실하게 이해해 두고, 앞으로 배우게 될 다양한 유형에서 활용할 수 있도록 철저하게 복습해 두기 바랍니다.

  

이차방정식(2) 판별식

판별식

discriminant

"판별식만 보면 이차방정식의 해를 알 수 있어요"

" discriminant tells us the nature of the roots

of a quadratic equation "

  

이차 방정식의 근의 공식에서 유도되는 판별식은, 이차 방정식의 실근의 개수를 판단하는 기본공식입니다.

실근의 개수는 그래프에서는 교점의 개수를 나타내므로, 원과 타원의 방정식을 포함하는 이차함수 또는 이차식의 그래프에서도 많이 응용됩니다.

또한, 이 판별식을 응용하면, 완전제곱 꼴의 이차식 뿐만 아니라, 심화 유형의 최대, 최소문제도 해결할 수 있습니다.

중3과 고1에 배우는 중,고등수학의 핵심이 되는 매우 중요한 개념의 하나이니까, 기초적인 개념을 확실하게 이해하고 응용력도 배양해 두기 바랍니다.

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[ A ] 판별식 D

앞에서 배운 [근의 공식]을 기억해 봅시다.

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

위의 공식에서, 루트 안의 b² – 4ac 를 한 번 살펴 볼까요?

(1) 만일, b² – 4ac > 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 서로 다른 2개의 실근이 되겠지요.

x = { – b + √(b² – 4ac)} / 2a  또는  { – b – √(b² – 4ac)} / 2a

(2) 만일, b² – 4ac = 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 ‘중근'을 갖게 됩니다.

x = { – b ± √(0)} / 2a = – b/2a

(3) 만일, b² – 4ac < 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 어떻게 될까요?

      √(b² – 4ac)가 허수이니까, ± √(b² – 4ac) 2개가 모두 허수가 되겠지요?

      즉, x 는 서로 다른 2개의 허근을 갖습니다.

(4) 여기서, D = b² – 4ac 라고 한다면, D의 부호에 따라서 이차방정식의 근의 성질을 알아낼 수 있으니까, D = b² – 4ac 를 판별식이라 부릅니다.

이제, 배운 것을 정리해 볼까요?

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 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해는,

 (1) 판별식 D = b² – 4ac > 0일 때, 서로 다른 2개의 실근

 (2) 판별식 D = b² – 4ac = 0일 때, 1개의 실수인 중근

 (3) 판별식 D = b² – 4ac < 0일 때, 서로 다른 2개의 허근

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참고로, 판별식은 이차식에서만 활용할 수 있다는 점에 유의하기 바랍니다.

가끔 엉뚱하게도, 실근의 개수 문제만 나오면, 다른 형태의 식에서도 판별식을 고민하는 학생들이 있는데, 판별식은 이차 방정식의 근의 공식의 일부이니까, 당연히 2차식 부분에서만 사용할 수 밖에 없겠지요?

[ B ] 판별식 D/4 

똑같은 원리를, 일차항의 계수가 짝수인 이차방정식 ax² + 2b'x + c = 0 에 대입해 볼까요?

x = [–2b' ± √{(2b')² – 4ac}]/2a

x = {–2b' ± √(4b'² – 4ac)}/2a

x = {–2b' ± 2√(b'² – ac)}/2a

x = {–b' ± √(b'² – ac)}/a

붉은 색으로 표시된 이 결과를 짝수공식이라 하고, 이번에는 루트 안의 b'² – ac 가 짝수공식의 판별식이 됩니다.

기호로는 짝수공식일 때의 판별식을 D/4 (= b'² – ac ) 라고 표현합니다.

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 이차방정식 ax² + 2b'x + c = 0 의 해는,

 (1) 판별식 D/4 = b'² – ac > 0 일 때, 서로 다른 2개의 실근

 (2) 판별식 D/4 = b'² – ac = 0 일 때, 1개의 실수인 중근

 (3) 판별식 D/4 = b'² – ac < 0 일 때, 서로 다른 2개의 허근

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 [ C ] 판별식의 응용

우선, 문제부터 볼까요?

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 이차식 ax² – 6ax + 3 이 완전제곱식이 되도록

 상수 a 의 값을 정하여라.

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(1) 완전제곱 이차식이 된다는 것은, a(x – p)²의 꼴

     즉, a(x – p)² = 0 의 해가 중근이 되는 것이므로,

     위 문제에서 주어진 이차식의 판별식 D/4 = (–3a)² – 3a = 0

(2) 따라서, 3a(3a – 1) = 0 이므로, a = 0  또는  1/3

(3) 그런데, 이차식이라 했으니까, a ≠ 0

      따라서,   답은  a = 1/3

마지막으로, 심화유형의 응용문제를 살펴 볼까요?

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 실수 x, y 가 방정식 2x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0 를

 만족할 때, x, y 의 최대값을 구하여라.

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(1) 실수 x, y 라고 했으니까, 뿐만 아니라 최대, 최소에 관한 문제는 당연하게 실수 범위에서 생각하는 것이니까, x, y 는 실수값을 가져야 합니다.

(2) x 의 최대, 최소값을 구하기 위하여는 꺼꾸로, x 의 반대가 되는
      y 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.

       y² + 2y + 2x² – 6x + 3 = 0

(3) y 에 관한 이차식에서 y 가 실수값 즉, 실근을 가져야 하니까,

D/4(y) = b'² – ac ≥ 0

 

1² – (2x² – 6x + 3) ≥ 0

(4) 정리해서 계산하면,

2x² – 6x + 3 – 1 ≤ 0

x² – 3x + 1 ≤ 0

{3 – √(3² – 4*1*1)}/2 ≤  x  ≤ {3 + √(3² – 4*1*1)}/2

(3–√5)/2 ≤  x  ≤ (3+√5)/2

따라서, x 의 최대값은 (3+√5)/2

(5) 이번에는, y 의 최대, 최소값을 구하는 것이니까, 꺼꾸로
       y 의 반대가 되는 x 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.

       2x² – 6x + y² + 2y + 3 = 0

(6) x 에 관한 이차식에서 x 가 실수값 즉, 실근을 가져야 하니까,

D/4(x) = b'² – ac ≥ 0

 

(–3)² – 2(y² + 2y + 3) ≥ 0

(7) 정리해서 계산하면,

2y² + 4y + 6 – 9 ≤ 0

2y² + 4y – 3 ≤ 0

[ – 2 – √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2 ≤  y  ≤ [ – 2 + √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2

(–2–√10)/2 ≤  y  ≤ (–2+√10)/2

따라서, y 의 최대값은 (–2+√10)/2