삼각형의 합동 Geometry Quiz 2034

Geometry Quiz 2034

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Hint 1 " 회전시켜서 평행이 되도록 한 이유를 잘 생각해 보세요 "

Hint 2 " 평행선이 주어졌다면, 각의 크기들을 한번 알아볼까요?"

Hint 3 " 이등변삼각형은 어디에 숨어 있을까요? "

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Solution & Answer 2034

삼각형의 닮음(16) 삼각형 외각의 이등분선 정리

삼각형 외각의 이등분선 정리

exterior angle bisector theorem

"평행선과 닮음이 이렇게도 활용되네요!"

" we can apply parallel lines & similarity to prove this! "

삼각형 내각의 이등분선 그리고 외각의 이등분선 정리들과 그 증명 과정들은 중학과정의 도형기하 단원뿐만 아니라, 고등학교 및 대입수능 시험에서 복합유형의 응용문제 형태로 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.

단순히 그 결과를 기억해 두고 사용하는 것도 중요하지만, 평행선의 성질과 닮음을 활용하는 그 증명과정들도 매우 중요하니, 확실하게 공부해 두기 바랍니다.

내각의 이등분선과 외각의 이등분선 정리를 별도로 꼼꼼하고 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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아래 그림과 같이 삼각형의 외각의 하나인 꼭지각 ∠A 의 외각을 이등분한 선이 밑변 BC 의 연장선과 만난 교점을 D 라 할 때, 다음 변들의 길이의 비가 서로 같다는 정리입니다.

AB : AC = BD : DC

왜 그럴까요?

다음 그림과 같이, 점 C 를 지나 외각의 이등분선인 AD 와 평행한 직선을 그어, 변 AB 와 만나는 점을 F 라고 해 볼까요?

위 그림에 빨간색 점들로 표시된 것과 같이 여러 각들의 크기가 서로 같네요?

초록색으로 표시된 두 평행선의 동위각이니까,

∠EAD = ∠AFC

또, 초록색으로 표시된 두 평행선의 엇각이니까,

∠DAC = ∠ACF

이제, 숨어 있던 이등변삼각형이 잘 보이시나요?

바로 ΔACF 가, 변 AC = 변 AF 인 등변을 갖는 이등변삼각형이지요.

즉, 내각의 이등분선 정리의 좌변인 AB : AC = AB : AF 와 같은 비례값이라는 것이지요.

이번에는, 초록색 평행선으로 이루어진 서로 닮은 두 삼각형을 살펴 볼까요?

ΔBDA 와  ΔBCF 는 ∠B 는 공통이고, 평행선의 동위각으로 ∠BAD = ∠AFC 이니까, 두 삼각형은 서로 AA 닮음이 됩니다.

여기서, BA : BE = BD : BC = 1 : k  라 놓으면, 선분 AE  = BE  – BA  = (k – 1) * BA

그리고 선분 DC = BC – BD  = (k – 1) * BD  이므로

BA : AE = 1 : (k – 1) = BD : DC

그런데, 위에서 이등변삼각형의 등변 AC = AE 인 것을 찾아 냈었지요?

따라서, BA : AE = BA : AC = BD : DC

삼각형의 합동 Solution 2034

Solution 2034

1. 평행선과 동위각, 엇각

     위의 소제목에 링크된 페이지에서 설명하는 동위각과 엇각을 잘 이해하셨나요?

     서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때, 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로

     같고, 엇각의 크기도 서로 같아요.

     역으로, 동위각의 크기가 서로 같거나 또는 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은

     평행하다고 말할 수 있습니다.

     주어진 문제의 그림에서 ∠ABE 와 ∠B'DE 는 평행선의 엇각으로 서로 같습니다.

     또, ∠BAE 와 ∠DB'E 도 평행선의 엇각으로 서로 같아요.

     이제, 갑자기 머릿속에 어떤 도형이 떠오르시나요?

2. 이등변삼각형

     삼각형 ABC 를 회전시켰으니까, 당연히 ∠ABC 와 ∠AB'C' 는 서로 같아요.

     따라서, 주어진 문제의 그림에서 다음 각들의 크기는 서로 같습니다.

                ∠ABE = ∠B'DE = ∠BAE = ∠DB'E 

     이등변삼각형이라는 명칭대로, 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고

     정의합니다. 이 때, 길이가 같은 두 등변이 이루는 각을 꼭지각이라 하고, 나머지

     두 각을 밑각이라고 말합니다.

     소제목 2번에 링크된 설명과 증명의 내용대로, 이 두 밑각은 서로 크기가 같아요.

     따라서 두 각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이라고 말해도 무방합니다.

     위 2번의 소제목에 링크된 설명의 내용대로, ΔABE 는 두 밑각이 같으니까

     이등변삼각형이 되지요.

     따라서, 두 변 EA 와 변 EB 는 서로 길이가 같은 등변이 됩니다.

  

     마찬가지로, ΔEB'D 도 두 밑각이 같은 이등변삼각형이 되니까, 두 변 EB' 와

     변 ED 는 서로 길이가 같은 등변이 됩니다.

3. 삼각형의 합동

    두 도형의 크기와 모양이 모두 같아 완전히 포개지는 경우를 합동이라고 합니다.

     이 때, 서로 포개지는 꼭지점이나 각 또는 변들을 대응한다고 하고, 각각 대응점,

     대응각, 대응변이라 하지요.

     대응변 S(side)와 대응각 A(angle)의 줄임 표현으로, 두 삼각형의 합동조건은

     ① SSS, ② SAS, ③ ASA의 세 가지가 있습니다.

     위의 2번 소제목에 링크된 설명을 읽을 필요도 없이, 삼각형 ABC 와 이를 회전시킨

     삼각형 AB'C' 는 서로 합동입니다.

     따라서, 변 AB = 변 AB' = 8cm.

    이제, 문제에서 구하려는 선분 BD 의 길이 = (선분 BE + 선분 ED) 의 길이인데

    선분 BE 의 길이 = 선분 AE 의 길이가 되고

    또한, 선분 ED 의 길이 = 선분 EB' 의 길이가 되므로,

    (선분 BE + 선분 ED)의 길이 = (선분 AE + 선분 EB' )의 길이 = 선분 AB' 의 길이

    따라서, 선분 BD 의 길이 = 선분 AB' 의 길이 = 선분 AB 의 길이 = 8cm.

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Answer  2034

  8 cm

삼각형의 닮음(15) 삼각형 내각의 이등분선 정리

삼각형 내각의 이등분선 정리

interior angle bisector theorem

"평행선과 닮음이 이렇게도 활용되네요!"

" we can apply parallel lines & similarity to prove this! "

삼각형 내각의 이등분선 그리고 외각의 이등분선 정리들과 그 증명 과정들은 중학과정의 도형기하 단원뿐만 아니라, 고등학교 및 대입수능 시험에서 복합유형의 응용문제 형태로 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.

단순히 그 결과를 기억해 두고 사용하는 것도 중요하지만, 평행선의 성질과 닮음을 활용하는 그 증명과정들도 매우 중요하니, 확실하게 공부해 두기 바랍니다.

내각의 이등분선과 외각의 이등분선 정리를 별도로 꼼꼼하고 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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삼각형 내각의 이등분선 정리는 아래 그림과 같이 삼각형의 내각의 하나인 꼭지각 ∠A 를 이등분한 선이 밑변 BC 와 만난 교점을 D 라 할 때, 다음 변들의 길이의 비가 서로 같다는 정리입니다.

AB : AC = BD : DC

왜 그럴까요?

다음 그림과 같이, 점 C 를 지나 내각의 이등분선인 AD 와 평행한 직선을 그어, 변 AB 의 연장선과 만나는 점을 E 라고 해 볼까요?

위 그림에 빨간색 점들로 표시된 것과 같이 여러 각들의 크기가 서로 같네요?

초록색으로 표시된 두 평행선의 동위각이니까,

∠BAD = ∠AEC

또, 초록색으로 표시된 두 평행선의 엇각이니까,

∠DAC = ∠ACE

이제, 숨어 있던 이등변삼각형이 잘 보이시나요?

바로 ΔACE 가, 변 AC = 변 AE 인 등변을 갖는 이등변삼각형이지요.

즉, 내각의 이등분선 정리의 좌변인 AB : AC = AB : AE 와 같은 비례값이라는 것이지요.

이번에는, 초록색 평행선으로 이루어진 서로 닮은 두 삼각형을 살펴 볼까요?

ΔBDA 와  ΔBCE 는 ∠B 는 공통이고, 평행선의 동위각으로 ∠BAD = ∠AEC 이니까, 두 삼각형은 서로 AA 닮음이 됩니다.

여기서, BA : BE = BD : BC = 1 : k  라 놓으면, 선분 AE  = BE  – BA  = (k – 1) * BA

그리고, 선분 DC = BC – BD  = (k – 1) * BD  이므로

BA : AE = 1 : (k – 1) = BD : DC

그런데, 위에서 이등변삼각형의 등변 AC = AE 인 것을 찾아 냈었지요?

따라서, BA : AE = BA : AC = BD : DC

즉, BA : AC = BD : DC