삼각형의 닮음(15) 삼각형 내각의 이등분선 정리

삼각형 내각의 이등분선 정리

interior angle bisector theorem

"평행선과 닮음이 이렇게도 활용되네요!"

" we can apply parallel lines & similarity to prove this! "

삼각형 내각의 이등분선 그리고 외각의 이등분선 정리들과 그 증명 과정들은 중학과정의 도형기하 단원뿐만 아니라, 고등학교 및 대입수능 시험에서 복합유형의 응용문제 형태로 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.

단순히 그 결과를 기억해 두고 사용하는 것도 중요하지만, 평행선의 성질과 닮음을 활용하는 그 증명과정들도 매우 중요하니, 확실하게 공부해 두기 바랍니다.

내각의 이등분선과 외각의 이등분선 정리를 별도로 꼼꼼하고 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

삼각형 내각의 이등분선 정리는 아래 그림과 같이 삼각형의 내각의 하나인 꼭지각 ∠A 를 이등분한 선이 밑변 BC 와 만난 교점을 D 라 할 때, 다음 변들의 길이의 비가 서로 같다는 정리입니다.

AB : AC = BD : DC

왜 그럴까요?

다음 그림과 같이, 점 C 를 지나 내각의 이등분선인 AD 와 평행한 직선을 그어, 변 AB 의 연장선과 만나는 점을 E 라고 해 볼까요?

위 그림에 빨간색 점들로 표시된 것과 같이 여러 각들의 크기가 서로 같네요?

초록색으로 표시된 두 평행선의 동위각이니까,

∠BAD = ∠AEC

또, 초록색으로 표시된 두 평행선의 엇각이니까,

∠DAC = ∠ACE

이제, 숨어 있던 이등변삼각형이 잘 보이시나요?

바로 ΔACE 가, 변 AC = 변 AE 인 등변을 갖는 이등변삼각형이지요.

즉, 내각의 이등분선 정리의 좌변인 AB : AC = AB : AE 와 같은 비례값이라는 것이지요.

이번에는, 초록색 평행선으로 이루어진 서로 닮은 두 삼각형을 살펴 볼까요?

ΔBDA 와  ΔBCE 는 ∠B 는 공통이고, 평행선의 동위각으로 ∠BAD = ∠AEC 이니까, 두 삼각형은 서로 AA 닮음이 됩니다.

여기서, BA : BE = BD : BC = 1 : k  라 놓으면, 선분 AE  = BE  – BA  = (k – 1) * BA

그리고, 선분 DC = BC – BD  = (k – 1) * BD  이므로

BA : AE = 1 : (k – 1) = BD : DC

그런데, 위에서 이등변삼각형의 등변 AC = AE 인 것을 찾아 냈었지요?

따라서, BA : AE = BA : AC = BD : DC

즉, BA : AC = BD : DC