다항식(1) 다항식의 정의

다항식의 정의

definition of polynomials

"상급수학 과정에서는 다항식이 자주 활용되요"

" polynomials are often used in higher level math "

다항식의 개념은 이차 이상의 방정식이나 함수를 다루는 기초입니다. 특히 고등수학이나 심화 중학수학에서는 다항식을 잘 다룰 줄 알아야 상위권을 유지할 수 있습니다.

다항식에서는 어떤 문자를 변수로 보느냐에 따라, 식의 성격이 달라지는 데에도, 이를 제대로 이해하지 못해 어려움을 겪는 고등학생들도 상당히 많습니다.

수학은 정의로부터 시작되는 정교한 논리적인 학문이므로, 기본적인 용어와 정의부터 정확하게 익혀두기 바랍니다.

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[ 1 ] 단항식과 다항식

2xy 와 같이 숫자와 문자들의 곱셈만으로 이루어진 식을 단항식이라 하고,

3xy – 2x + y – 1 과 같이 단항식들의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 식을 다항식이라 합니다.

이 때, 각각의 단항식을 다항식에서 항이라 부릅니다.

따라서, 3xy – 2x + y – 1 은 4개의 항으로 이루어진 다항식입니다.

이번에는 단항식 3abxy 를 볼까요?

이 식을 x 에 관한 식으로 본다는 것은, 3aby * x 로 해석한다는 것이지요.

따라서, x 의 계수는 3aby 가 되고, x 의 최고차가 1차이니까, x 에 관한 일차 단항식이라고 말합니다.

만일, y 에 관한 식으로 본다면, 3abx * y 

따라서, y 의 계수는 3abx 가 되고, y 에 관한 일차 단항식이지요.

또한, a 에 관한 식으로 본다면, 계수는 3bxy 가 되고, a 에 관한 일차 단항식이라고 합니다.

위의 식을 x, y 에 관한 식으로 본다는 것은, 3ab * xy 로 해석한다는 것이므로,

계수는 3ab 가 되고, x 도 1차이고 y 도 1차인데 서로 곱해졌으니까,

최고차가 2차가 됩니다.

따라서, x, y 에 관한 이차 단항식이라고 말합니다.

참고로, x ² + x – √x  와 같이, x 에 관한 식에 √x 가 포함된 항이 있으면 무리식,

3aby / x 와 같이 x 로 나누어진 항이 있다면 분수식이라 부르고,

무리식이나 분수식은 다항식이라 하지 않습니다.

예를 들어, 다항식 3abx² + a³x – 3 을 볼까요?

(1) 위 식을 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 다항식이고

(2)  a 에 관한 식으로 본다면, 3차 다항식이고

(3)  b 에 관한 식으로 본다면, 1차 다항식이고

(4)  a, x 에 관한 식으로 본다면, a 의 3차와 x 의 1차가 곱해져서 최고차항이

      a³x 인 4차 다항식이 되지요.

이번에는 다항식 3abx² + a³x – 3 을 내림차순으로 정리하는 것을 알아볼까요?

이 식은 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 ⇒ 1차 ⇒ x 가 없는 상수항 순으로 잘 정리되어

있으니까, 내림차순으로 정리했다고 할 수 있습니다.

만일, a 에 관한 내림차순으로 정리한다면, xa³ + 3bx²a – 3 가 되겠지요?

[ 2 ] 다항식의 연산

다항식을 내림차순으로 정리하는 것은, 동류항 등을 찾아서, 다항식의 4칙 연산을 편리하게 하기 위한 것입니다.

우선, 다항식의 덧셈의 예를 한 번 볼까요?

(1) (3ax² + a²x – 3) + (2bx³ – 2ax + b)

      = 2bx³ + 3ax² + (a²– 2a)x + (b – 3)

위와 같이 x 에 관한 내림차순으로 잘 정리하면, 다항식의 덧셈이나 뺄셈은 동류항을 빨리 찾아 내서, 아주 쉽게 계산해 낼 수가 있습니다. 이 때, 결과인 답도 내림차순으로 정리해서 표현하면 아주 좋지요.

이번에는, 다들 조금 어려워 하는 다항식의 나눗셈을 한 번 볼까요?

  

(2) (2x³ – 3x² + 1) ÷ (x – 2)

               2x²  + x  + 2           

  x – 2   )  2x³ – 3x²        + 1

               2x³ – 4x²           

                        x²         + 1

                        x² – 2x       

                               2x + 1

                               2x – 4 

                                      0

특히, 나눗셈에서는 중간에 비어 있는 항들 까지도 수직으로 열을 맞추고, 차수에 맞도록 내림차순으로 정리하지 않으면 다항식의 나눗셈을 할 수가 없습니다. 내림차순으로 정리하는 것이 얼마나 중요한지 알겠지요?

마지막으로, 다항식의 곱셈을 공부해 볼까요?

곱셈공식이나 인수분해와 연관되는, 가장 간단한 다항식인 이항식 곱셈의 예 하나를 풀어 봅시다. 분배법칙을 한 단계씩 적용해 나간 후에, 내림차순으로 정리하면 됩니다.

(3) (a + b)² = (a + b) * (a + b)

                 = (a + b) * a + (a + b) * b

                 = a² + ba + ab + b²

                 = a² + 2ab + b²

그러면 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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 다음 다항식의 나눗셈을 계산하고, 몫과 나머지를 구하여라

 (x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5) ÷ (x² – 2)

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                x²  + 3x   – 1               

  x² – 2   )  x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5

                x⁴          – 2x²             

                       3x³ – x²  – 4x – 5

                       3x³        – 6x       

                            – x²  + 2x

                            – x²        + 2  

                                      2x – 2

곱셈공식(1) 곱셈공식

곱셈공식

expanding polynomials

"기본적인 곱셈공식은 외워두어야 해요"

" You should memorize basic polynomial expansions "

다항식의 전개는 다항식끼리의 곱셈을 주로 분배법칙을 이용하여 계산한 후, 한 문자에 관한 내림차순으로 정리하는 것입니다.

이 결과들을 곱셈공식이라 하고 다항식을 인수 분해하는 원리 및 그 과정과 역의 관계가 됩니다.

초등수준에서 구구단을 외워 두어야 산수계산을 잘 할 수 있는 것과 마찬가지로, 중고등수학에서 방정식 등을 해결하기 위하여는 반드시 기초적인 곱셈 공식들을 외워 두어야만 합니다.

상위수준의 어려운 심화수학도 기본적인 원리나 공식에 대한 암기에서 출발한다는 점을 명심하고, 철저히 복습하고 기억해 두기 바랍니다.

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[ 1 ] 기초 공식

지난 번에 배웠던 곱셈 공식을 복습해 볼까요?

(1) (a – b)² = (a – b) * (a – b)

= (a – b) * a – (a – b) * b

= a² – ba – ab + b²

= a² – 2ab + b²

이렇게 항이 2개인 다항식을 여러 번 거듭해서 곱하는 것을 특별히 [이항정리]라고 합니다. 이와 관련된 [파스칼의 삼각형]이나 [조합을 이용한 전개식] 등은 뒤에서 다루도록 합니다.

우선, 기초적인 곱셈 공식들을 보도록 할까요? 반드시 직접 식들을 전개하고 정리한 후, 그 결과를 공식으로 암기해 두기 바랍니다.

(2) (a + b) (a – b) = (a + b) * (a – b)

= (a + b) * a – (a + b) * b

= a² + ba – ab + b²

= a² – b²

위 식은 워낙 유명하고 자주 활용되어, [합차공식] 이라고도 불립니다.

(3) (x + a) (x + b) = (x + a) * (x + b)

= (x + a) * x + (x + a) * b

= x² + ax + xb + ab

= x² + (a + b)x + ab

이 식은 (x + a) 대신에 ( x – α ), 그리고 (x + b) 대신에 ( x – β ) 를 대입하면,

( x – α ) ( x – β ) = 0 이라는 형태가 되고, 이차방정식의 두 근 α, β 와 계수와의 관계의 단원에서 자주 나오는 중요한 공식입니다.

(4) (ax + b) (cx + d) = (ax + b) * (cx + d)

= (ax + b) * cx + (ax + b) * d

= acx² + bcx + adx + bd

= acx² + (ad + bc)x + bd

위 식은 일반적으로 이차항의 계수가 1이 아닌 이차방정식을 인수분해할 때 많이 쓰입니다.

(5) (a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c)

= (a + b + c) * a + (a + b + c) * b + (a + b + c) * c

= a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac+ bc+ c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

[ 2 ] 심화 공식

이제, 고등수학 수준에서 자주 등장하는 조금 더 심화된 공식들을 살펴 볼까요?

(6) (a + b)³ = (a + b)² * (a + b)

= (a + b)² * a + (a + b)² * b

여기서, 앞의 결과를 이용하면,

= (a² + 2ab + b²) * a + (a² + 2ab + b²) * b

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

참고로, 음수의 경우는 (a – b)³ = { a + (– b) }³라고 생각하는 것이 쉽고, 외우기도 아주 편리하지요.

(6-1)  (a – b)³ = { a + (– b) }³

= a³ + 3a²(– b) + 3a(– b)² + (– b)³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(7) (x + a) (x + b) (x + c) = (x + a) (x + b) * (x + c)

이것도 앞의 (3)의 결과를 이용하면,

= { x² + (a + b)x + ab } * (x + c)

= { x² + (a + b)x + ab } * x + { x² + (a + b)x + ab } * c

= x³ + (a + b)x² + abx + cx² + (a + b)cx + abc

= x³ + (a + b)x² + abx + cx² + acx + bcx + abc

= x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

이 경우도, ( x – α ) ( x – β ) ( x – γ ) = 0의 형태로 바꾸면, 삼차방정식의 세 근 α, β, γ 와 계수와의 관계 단원에서 나오는 중요한 공식이 됩니다.

(8) (a + b) (a² – ab + b²)

= a * (a² – ab + b²) + b * (a² – ab + b²)

= a³ – a²b + ab² + ba² – ab² + b³

= a³ + b³

음수의 경우는 위에서 설명한 것과 마찬가지로, (8)번 식에서 b 대신에 (– b)를 대입한다고 생각하면, 

(8-1) (a – b) (a² + ab + b²) = {a + (– b)}{a² – a * (– b) + (– b)²}

= a * (a² + ab + b²) – b * (a² + ab + b²)

= a³ + a²b + ab² – ba² – ab² – b³

= a³ – b³

이 식도 하나의 쌍으로 외우기도 아주 편리하지요. 자주 활용되는 중요한 공식이니, 원리와 함께 꼭 기억해 두기 바랍니다.

(9) (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

      = a * (a² + b² + c² – ab – bc – ca) + b * (a² + ⋯ ) + c * (a² + ⋯ )

= a³ + ab² + ac² – a²b – abc – ca² + ba² + ⋯

...

= a³ + b³ + c³ – 3abc

위 식은 고등수학의 심화문제에서 단골로 등장하는 매우 중요한 공식입니다. 전개 과정을 일부러 생략했으니, 스스로 전개해서 결과를 정리해 본 후, 반드시 외워서 활용할 수 있도록 공부해 두어야 합니다.

이 공식은 특히 다음과 같은 변형공식으로 훨씬 더 많이 활용됩니다. 원리를 이해한 후, 외워 두세요.

   a² + b² + c² – ab – bc – ca

= (1/2) * (2a² + 2b² + 2c² – 2ab –2bc – 2ca)

= (1/2) * (a² – 2ab + b² + b² –2bc + c² + c² – 2ca + a²)

= (1/2) * { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

따라서,

(a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

= (1/2) (a + b + c) { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

매우 중요한 변형 공식이니까, 반드시 외워 두기 바랍니다.