곱셈공식(1) 곱셈공식

곱셈공식

expanding polynomials

"기본적인 곱셈공식은 외워두어야 해요"

" You should memorize basic polynomial expansions "

다항식의 전개는 다항식끼리의 곱셈을 주로 분배법칙을 이용하여 계산한 후, 한 문자에 관한 내림차순으로 정리하는 것입니다.

이 결과들을 곱셈공식이라 하고 다항식을 인수 분해하는 원리 및 그 과정과 역의 관계가 됩니다.

초등수준에서 구구단을 외워 두어야 산수계산을 잘 할 수 있는 것과 마찬가지로, 중고등수학에서 방정식 등을 해결하기 위하여는 반드시 기초적인 곱셈 공식들을 외워 두어야만 합니다.

상위수준의 어려운 심화수학도 기본적인 원리나 공식에 대한 암기에서 출발한다는 점을 명심하고, 철저히 복습하고 기억해 두기 바랍니다.

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[ 1 ] 기초 공식

지난 번에 배웠던 곱셈 공식을 복습해 볼까요?

(1) (a – b)² = (a – b) * (a – b)

= (a – b) * a – (a – b) * b

= a² – ba – ab + b²

= a² – 2ab + b²

이렇게 항이 2개인 다항식을 여러 번 거듭해서 곱하는 것을 특별히 [이항정리]라고 합니다. 이와 관련된 [파스칼의 삼각형]이나 [조합을 이용한 전개식] 등은 뒤에서 다루도록 합니다.

우선, 기초적인 곱셈 공식들을 보도록 할까요? 반드시 직접 식들을 전개하고 정리한 후, 그 결과를 공식으로 암기해 두기 바랍니다.

(2) (a + b) (a – b) = (a + b) * (a – b)

= (a + b) * a – (a + b) * b

= a² + ba – ab + b²

= a² – b²

위 식은 워낙 유명하고 자주 활용되어, [합차공식] 이라고도 불립니다.

(3) (x + a) (x + b) = (x + a) * (x + b)

= (x + a) * x + (x + a) * b

= x² + ax + xb + ab

= x² + (a + b)x + ab

이 식은 (x + a) 대신에 ( x – α ), 그리고 (x + b) 대신에 ( x – β ) 를 대입하면,

( x – α ) ( x – β ) = 0 이라는 형태가 되고, 이차방정식의 두 근 α, β 와 계수와의 관계의 단원에서 자주 나오는 중요한 공식입니다.

(4) (ax + b) (cx + d) = (ax + b) * (cx + d)

= (ax + b) * cx + (ax + b) * d

= acx² + bcx + adx + bd

= acx² + (ad + bc)x + bd

위 식은 일반적으로 이차항의 계수가 1이 아닌 이차방정식을 인수분해할 때 많이 쓰입니다.

(5) (a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c)

= (a + b + c) * a + (a + b + c) * b + (a + b + c) * c

= a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac+ bc+ c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

[ 2 ] 심화 공식

이제, 고등수학 수준에서 자주 등장하는 조금 더 심화된 공식들을 살펴 볼까요?

(6) (a + b)³ = (a + b)² * (a + b)

= (a + b)² * a + (a + b)² * b

여기서, 앞의 결과를 이용하면,

= (a² + 2ab + b²) * a + (a² + 2ab + b²) * b

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

참고로, 음수의 경우는 (a – b)³ = { a + (– b) }³라고 생각하는 것이 쉽고, 외우기도 아주 편리하지요.

(6-1)  (a – b)³ = { a + (– b) }³

= a³ + 3a²(– b) + 3a(– b)² + (– b)³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(7) (x + a) (x + b) (x + c) = (x + a) (x + b) * (x + c)

이것도 앞의 (3)의 결과를 이용하면,

= { x² + (a + b)x + ab } * (x + c)

= { x² + (a + b)x + ab } * x + { x² + (a + b)x + ab } * c

= x³ + (a + b)x² + abx + cx² + (a + b)cx + abc

= x³ + (a + b)x² + abx + cx² + acx + bcx + abc

= x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

이 경우도, ( x – α ) ( x – β ) ( x – γ ) = 0의 형태로 바꾸면, 삼차방정식의 세 근 α, β, γ 와 계수와의 관계 단원에서 나오는 중요한 공식이 됩니다.

(8) (a + b) (a² – ab + b²)

= a * (a² – ab + b²) + b * (a² – ab + b²)

= a³ – a²b + ab² + ba² – ab² + b³

= a³ + b³

음수의 경우는 위에서 설명한 것과 마찬가지로, (8)번 식에서 b 대신에 (– b)를 대입한다고 생각하면, 

(8-1) (a – b) (a² + ab + b²) = {a + (– b)}{a² – a * (– b) + (– b)²}

= a * (a² + ab + b²) – b * (a² + ab + b²)

= a³ + a²b + ab² – ba² – ab² – b³

= a³ – b³

이 식도 하나의 쌍으로 외우기도 아주 편리하지요. 자주 활용되는 중요한 공식이니, 원리와 함께 꼭 기억해 두기 바랍니다.

(9) (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

      = a * (a² + b² + c² – ab – bc – ca) + b * (a² + ⋯ ) + c * (a² + ⋯ )

= a³ + ab² + ac² – a²b – abc – ca² + ba² + ⋯

...

= a³ + b³ + c³ – 3abc

위 식은 고등수학의 심화문제에서 단골로 등장하는 매우 중요한 공식입니다. 전개 과정을 일부러 생략했으니, 스스로 전개해서 결과를 정리해 본 후, 반드시 외워서 활용할 수 있도록 공부해 두어야 합니다.

이 공식은 특히 다음과 같은 변형공식으로 훨씬 더 많이 활용됩니다. 원리를 이해한 후, 외워 두세요.

   a² + b² + c² – ab – bc – ca

= (1/2) * (2a² + 2b² + 2c² – 2ab –2bc – 2ca)

= (1/2) * (a² – 2ab + b² + b² –2bc + c² + c² – 2ca + a²)

= (1/2) * { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

따라서,

(a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

= (1/2) (a + b + c) { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

매우 중요한 변형 공식이니까, 반드시 외워 두기 바랍니다.