이등변삼각형과 외각의 성질

이등변삼각형과 외각의 성질

💡 핵심 원리: 지그재그 각 찾기

이 유형은 두 가지 성질을 '번갈아' 사용하는 것이 핵심입니다.

1. 이등변삼각형의 성질: 두 변의 길이가 같으면 그 아래의 두 밑각의 크기도 같다.
2. 삼각형의 외각의 성질: 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다.

도형이 옆으로 길어질수록 각의 크기는 x → 2x → 3x ... 와 같이 일정한 규칙을 가지고 커지게 됩니다.

① 밑각이 같음을 확인(x, x)   ➜   ② 외각(2x)을 구함   ➜   ③ 새로운 이등변의 밑각(2x) 확인

📜 재미있는 수학 이야기: 탈레스와 피라미드의 그림자

"막대기 하나로 거대 건축물을 정복하다"

고대 그리스의 현자 탈레스는 이집트 왕으로부터 "피라미드의 높이를 알아내 보라"는 난제를 받았습니다. 그는 피라미드에 올라가지 않고도 이등변삼각형의 원리를 이용해 이를 해결했습니다.

어떻게 재었을까요?
탈레스는 막대기를 지면과 수직으로 세우고, 태양 빛이 만들어내는 막대기 그림자의 길이를 관찰했습니다. 해가 이동하며 막대기의 길이와 그림자의 길이가 정확히 같아지는 순간, 그는 피라미드로 달려갔습니다.

그 순간 피라미드와 태양 빛이 이루는 삼각형 역시 직각이등변삼각형이 됩니다. 따라서 [피라미드 높이 = 피라미드 그림자 총 길이]가 성립합니다. 이때 그림자의 길이는 피라미드 밖으로 나온 그림자에 밑면 정사각형 한 변의 길이의 절반을 더해 정확한 중심까지의 거리를 계산했습니다.

[그림 1] 태양빛이 45도일 때 형성되는 직각이등변삼각형

✍️ 실전 연습 문제 (난이도별)

Step 1. 기초 탄탄

삼각형 ABC에서 AB = AC = CD이다. 각 A = 40도일 때, 각 DCE의 크기를 구하시오. (단, 점 E는 BC의 연장선 위의 점이다.)

1단계 삼각형 ABC에서 AB = AC이므로 각 B = 각 A = 40도
2단계 삼각형 ABC의 외각 각 ACD = 각 A + 각 B = 40도 + 40도 = 80도
3단계 삼각형 ACD에서 AC = CD이므로 각 ADC = 각 ACD = 80도
4단계 삼각형 ABD에서 외각 각 DCE = 각 A + 각 ADC = 40도 + 80도 = 120도

Step 2. 응용력 강화

삼각형 ABC에서 AB = AC이고, 각 A = 36도이다. 각 B의 이등분선이 AC와 만나는 점을 D라고 할 때, 각 BDC의 크기를 구하시오.

1단계 삼각형 ABC에서 각 B = 각 C = (180도 - 36도) / 2 = 72도
2단계 BD가 각 B의 이등분선이므로 각 DBC = 72도 / 2 = 36도
3단계 삼각형 BCD에서 각 BDC = 180도 - (각 DBC + 각 C) = 180도 - (36도 + 72도) = 72도

Step 3. 고난도 도전

그림과 같이 AB = BC = CD = DE인 도형이 있다. 각 E = x라 하고, 각 BAC = 105도일 때, x의 값을 구하시오.

거꾸로 추적하기 풀이
1. 각 E = x 이면 삼각형 DEC에서 각 DCE = x (이등변)
2. 삼각형 DCE의 외각 각 BDC = x + x = 2x
3. 삼각형 BCD에서 각 DBC = 각 BDC = 2x (이등변)
4. 삼각형 BDE의 외각 각 ACB = 각 E + 각 DBC = x + 2x = 3x
5. 삼각형 ABC에서 각 BAC = 각 ACB = 3x (이등변)
6. 문제에서 각 BAC = 105도라고 했으므로 3x = 105도
7. x = 105 / 3 = 35도

일차방정식(2) 문자계수 일차방정식

문자계수 일차방정식

linear equation with letter constants

"문자로 정리하면 공식이 되지요"

" general solution with letter constants makes a formula "

대부분의 학생들이, 숫자 대신에 문자가 들어간 방정식을 풀 때에는, 0 인 경우와 아닌 경우로 나누어야 하는 데에도, 미처 이를 생각해 내지 못하는 경우가 많습니다.

또한 실생활 응용 문제에서, 구하는 것을 x 로 놓고 식을 세우는 데에도 꽤 어려움을 겪고 있는 학생들도 많습니다.

중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 스스로 공부해 나갈 수 있습니다.

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앞에서 풀었던 문제에서 계수들을, 문자로 바꾸어서 다시 풀어 보도록 할까요?

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아래의 일차방정식을 풀어라.

5ax – 2a = 2ax + 7a 

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(1) 한 변에는 x 항들을, 다른 변에는 숫자인 상수항들을 모은다는 것은, 등식의 성질

     (properties of equality) 을 이용해서, 양변에서 똑같이 2ax 를 빼주고, 2a 를 더해

     준다는 뜻이니까,

5ax – 2a – 2ax + 2a

= 2ax + 7a – 2ax + 2a

∴    3ax = 9a

(2) 이제, x 값을 구하는 것이므로 양변을 3a 로 나누어 주고 나서, x = 3 이라고 하면

     맞는 답일까요?

     등식의 성질에서 나눗셈을 다시 한번 꼼꼼히 살펴 볼까요?

a ÷ c = b ÷ c   if c ≠ 0   ☞  (division property)

(3) 따라서, 문자 a 가 0 일 때와 아닐 때로 나누어 풀어 주어야 합니다. 

x = 3                   if a ≠ 0

x = 모든 실수        if a = 0

참고로, 만일 양변을 0 으로 나눌 수도 있다고 가정한다면 어떤 문제가 생기는 것일까요?

(1) 3/0 = k 라고 놓아 볼까요? 등식 3/0 = k 양변에 0 을 곱해 주면,

3 = 0 x k ?

이런 k 는 존재하지 않으므로 모순!

(2) 이번에는, 0/0 = p 라고 놓아 볼까요? 등식 0/0 = p 의 양변에 0 을 곱해 주면,

0 = 0 x p ?

어떤 수라도 모두 다 p 가 될 수 있네?

그러니까 모순!

따라서, 수학의 계산에서는 0 으로 나누는 것을 생각하지 않습니다.

이제, 문자로 된 일차방정식 ax = b 를 풀어 볼까요?

이번에도 문자이니까, 아래와 같이 경우를 나누어 답을 구해야 합니다. 정리하고 반드시 기억해 두기 바랍니다.

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일반적으로, 문자로 된 일차방정식 ax = b 는

(1) a ≠ 0 일 때는, x = b/a           

(2) a = 0 이지만 b ≠ 0 일 때는, x 의 해는 없다

       [불능] (none)

(3) a = b = 0 일 때는, x 의 해가 무수히 많다

       [부정] (any real number)

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그러면, 문제를 하나 풀어 볼까요?

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x 에 관한 방정식 ax + 1 = 2bx – 2 의 해가 존재하지 않을 때, a – 2b 의 값을 구하여라. 

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(1) 우선, 식을 ax = b 꼴로 정리해야 하겠지요?

(a – 2b) x = – 3

(2) 해가 존재하지 않는다고 했으니까, 위에서 정리했던 (2)번의 불능에 해당하는 것이지요?



(3) 그럼, 우변은 이미 – 3 ≠ 0 이니까, 좌변의 a – 2b 가 0 이 되어야 하겠지요?

∴  답은 a – 2b = 0  

연습문제를 하나 더, 풀어 보도록 할까요?

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x 에 관한 방정식 a(x – 1) = 3b – 6 의 해가  2 개 이상일 때,  a, b 의 값을 구하여라. 

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(1) 우선, 식을 ax = b 꼴로 정리해야 하겠지요?

ax = a + 3b – 6

(2) 해가 2 개 이상이라고 했으니까, 위에서 정리했던 (3)번의 부정에 해당하는 것이지요?



(3) 그럼, 좌변의 a 도 0 이고, 우변의 a + 3b – 6 도 0 이 되어야 하겠지요?

a = 0  &  a + 3b – 6 = 0

∴  a = 0, b = 2

수열(2) 등차수열

  

등차수열

arithmetic sequences

"등차수열은 계차가 항상 똑같은 값이군요"

" the first difference is always the constant "

등차수열은 초등산수 시절부터 배우는, 수의 규칙성을 찾는 유형 중에서 가장 기초적인 수열입니다.

그러나 나열된 숫자들을 보고 수열의 규칙이나 패턴을 잘 찾아내던 학생들도 조금 복잡해진 단계의 유형들을 해결하는 데는 다양한 어려움을 겪는 것이 일반적입니다.

높은 수준의 문제를 해결해 내기 위해서는 일반화된 수열의 일반적인 제 n 항까지, 그리고 공차 d 등의 문자로 표현되는 원리와 기본개념을 정확하게 익혀 두어야, 앞으로 배우는 계차수열이나 급수 등의 상위 개념을 어려움 없이 공부해 낼 수 있습니다.

특히, 뒤에서 배우게 될 여러가지 수열의 점화식 등에서도 자주 활용되는 기본 개념이므로, 응용력을 철저히 익혀두기 바랍니다.

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앞에서 공부했던 수열을 복습해 보도록 할까요?

예를 들어, 2, 5, 8, 11, 14, ... 와 같이, 계차가 + 3 으로 일정한 상수값을 갖는 수열을 등차수열이라고 하고, 이 때의 계차를 공차라고 한다는 것을 앞에서 배웠습니다.

이 등차수열의 구조를 조금 더 자세히 살펴 보도록 할까요?

2,     5,     8,    11,   14, ...

∨      ∨      ∨      ∨     

+ 3   + 3    + 3   + 3      

a₁ = 2

a₂ = 2 + 3

a₃ = 2 + 3 + 3

a₄ = 2 + 3 + 3 + 3

∴  a_n = 2 + 3 x (n – 1)

위에서 보는 것과 같이, n 번째의 일반항인 a_n 은 첫째 항인 a₁ 에다가 (n – 1) 개의 공차를 더하는 방법으로 구해진다는 것을 알 수 있습니다.

이 내용을 일반화해서 공식으로 정리하도록 할까요?

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등차수열 { a_n } 의 첫째항을 a₁, 공차를 d 라고 하면, n 번 째의 일반항 a_n 은 아래와 같이 구한다.

a_n = a₁ + (n – 1) d

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보기 문제로, 아래의 수열에서 10 번째 항과 제 n 번째 항을 구해 보도록 합시다.

(1) 8,  3, – 2, – 7, – 12, ...

a₁ = 8,   d = – 5

∴  a_n = 8 + (n – 1) x (– 5) = 13 – 5n

∴  a₁₀ = 8 + (10 – 1) x (– 5) = – 37

(2) 17, 14, 11, 8, 5, ...

a₁ = 17,   d = – 3

∴  a_n = 17 + (n – 1) x (– 3) = 20 – 3n

∴  a₁₀ = 17 + (10 – 1) x (– 3) = – 10

그러면, 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?

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공차가 3 이고 제 11 항이 28 인 등차수열의 첫 째항을 구하여라.

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱ d = 3                                 ⋯ ①

↳ a₁₁ = a₁ + (11 – 1) x d = 28  ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[대입법]  ① ⇒ ②  :

a₁ + (11 – 1) x 3 = 28

∴  a₁ = – 2

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제 5 항이 28 이고 제 17 항이 88 인 등차수열의 첫 째항을 구하여라.

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱ a₅ = a₁ + (5 – 1) x d = 28     ⋯ ①

↳ a₁₇ = a₁ + (17 – 1) x d = 88  ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[가감법]  ② – ① :

(16 – 4) x d = 60

∴ d = 5  ⋯ ③

[대입법]  ③ ⇒ ① :

a₁ + 4 x 5 = 28

∴  a₁ = 8

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등차수열을 이루는 세 자연수 a, b, c 가 아래의 조건을 만족할 때,

 그 세 자연수 a, b, c 를 구하여라.

↱ a + b + c = 12       ⋯ ①

↳ a² + b² + c² = 66   ⋯ ②

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(1) 세 자연수가 등차수열을 이룬다고 했으니까,

a + c = 2b   ⋯ ③

(2) 이제, 이 식을 주어진 두 식에 대입하면,

[대입법]  ③ ⇒ ① :

b + 2b = 12

∴  b = 4

(3) 따라서, 공차를 d 를 이용해서 a 와 c 를 바꿔준 다음,

a = 4 – d

c = 4 + d

(4) 이를 ② 식에 대입하면, [대입법]

(4 – d)² + 4² + (4 + d)² = 66

– 8d + d ² + 8d + d ² = 18

d ² = 9

∴  d = ±3

∴  (a, b, c) = (1, 4, 7)  or  (7, 4, 1)