이중근호 풀어내기
denesting
nested radicals (1)
"이중근호를 풀어 간단하게 정리하면 계산하기도 쉽고 보기도 좋아요"
" denested simple radicals’re
looking good & easy to calculate "
이중근호는
표준교과과정의 범위는 아니지만, 무리수를 계수로 갖는
이차방정식의 해를 구하거나
준 특수각이라
할 수
있는 sin15° 등의
삼각비를 구하는 때에
나타납니다.
가능한 경우에는 이중근호를 간단하게 정리하는 것이
일반적인 관행이므로 교과 외의 참고학습 정도로 익혀두면 좋을 듯 합니다.
앞의 제곱근의
성질에서 배웠던 √(A²) = |A|를 이용하는 것이므로 크게 어려운 내용은 아닙니다.
참고로, 심화수준에서는 이차항이 없는 삼차방정식의 일반적인
근의 공식으로 구한 해를 간단히 하거나, 고차 유리함수의 적분식을 간단히 정리할 때 활용되기도 합니다.
♧ ♧ ♧ ♧ ♧ ♧
이중근호를 가진 무리수 √(5 + 2√6)을 한번 관찰해 보도록 할까요?
제일 바깥쪽 루트기호 안의 값인 5 + 2√6을 자세히 살펴보면,
5 +
2√6 = (3 + 2) + 2√(3 * 2) 이니까,
제곱수의 형태라는 것을 알 수가 있습니다.
√(5 + 2√6)
=
=
=
= √{(√3)2 + 2 * √3 * √2 + (√2)2}
= √(√3 + √2)2
여기서, 앞의 제곱근의
성질에서 배웠던 √(A²) = |A|를 이용하면
= | √3 + √2 | = √3 + √2로 이중근호를
풀어낼 수 있습니다.
이제, 5 = (√3)2
+ (√2)2이고 √6 = √3 * √2라는 점을 기억하면서,
이 내용을 문자를 사용해서 일반화시켜
볼까요?
√{A + B + 2√(A * B)}
= √(√A2 + √B2 + 2 * √A * √B)
= √(√A + √B)2
= | √A + √B | ( A > 0, B > 0 일 때 )
보기 문제를 하나 더 풀어 보도록 하지요.
√(7 + 2√10) = ?
이중근호 안의 무리수가
7 = 5 + 2 = (√5)2 + (√2)2이고 10 = 5 * 2이므로
√(7 + 2√10)
= √(5 + 2 + 2√10)
= √{(√5)2 + (√2)2 + 2√(2 * 5)}
= √{(√5)2 + 2 * √5 * √2 + (√2)2 }
=
= | √5 + √2 |
= √5 + √2
=
= √{(√3)2 + (√5)2 - 2 * √3 * √5}
= √(√3 - √5)2
= √{(√7)2 + (√2)2 - 2 * √7 * √2}
= √(√7 - √2)2
이번에는 뺄셈이 있는 이중근호를
간단한 형태로 풀어내 보도록 할까요?
√(8 - 2√15) = ?
뺄셈이 있는 이중근호 안의 무리수 8 - 2√15 에서
8 = 3 + 5 = (√3)2 + (√5)2이고 15 = 3 * 5이므로,
√(8 - 2√15)
=
= √{(√3)2 + (√5)2 - 2 * √3 * √5}
= √(√3 - √5)2
= | √3 - √5 | = √5 - √3
절대값은 항상 양(+)이어야
하니까 풀이와 같이 맨 마지막 단계에서 절댓값을 풀어 답을 구할 때 실수가 없도록 주의해야겠지요? 자칫 방심하면 이중근호를 다 풀어 놓고도 마지막에√3 - √5 라고 틀린 답을 구하게 됩니다.
따라서 이중근호를 풀 때는 덧셈이나 뺄셈에 관계없이 항상 큰 수가 앞에 그리고 작은 수가 뒤에 있도록 미리 순서를 정한 다음, 계산해 나가는 것이 실수를 줄이기 위한 팁입니다.
뺄셈이 있는 이중근호를 간단한 형태로 풀어낼 때 주의해야 할 점을 꼭 기억해 두도록, 비슷한 예제를 하나 더 풀어 보도록 하지요.
√(9 - 2√14) = ?
뺄셈이 있는 이중근호 안의 무리수 9 - 2√14 에서
9 = 2 + 7 = (√2)2 + (√7)2이고 14 = 2 * 7이므로,
√(9 - 2√14) = ?
항상 큰 수가 앞에 그리고 작은 수가 뒤에 있도록 하는 것이 좋겠지요?
=
= √{(√7)2 + (√2)2 - 2 * √7 * √2}
= √(√7 - √2)2
= | √7 - √2 | = √7 - √2
뺄셈의 경우도 문자를 사용해서 일반화시켜 볼까요?
√{A + B - 2√(A * B)}
= √(√A2 + √B2 - 2 * √A * √B)
= √(√A - √B)2
= ↱ | √A - √B | ( A > B > 0 일 때 )
↳ | √B - √A | ( B > A > 0 일 때 )
