제곱근(8) 이중근호 풀어내기

이중근호 풀어내기

denesting nested radicals (1)

"이중근호를 풀어 간단하게 정리하면 계산하기도 쉽고 보기도 좋아요"

" denested simple radicals’re looking good & easy to calculate "

이중근호는 표준교과과정의 범위는 아니지만, 무리수를 계수로 갖는 이차방정식의 해를 구하거나 준 특수각이라 할 수 있는 sin15° 등의 삼각비를 구하는 때에 나타납니다.

가능한 경우에는 이중근호를 간단하게 정리하는 것이 일반적인 관행이므로 교과 외의 참고학습 정도로 익혀두면 좋을 듯 합니다.

앞의 제곱근의 성질에서 배웠던 √(A²) = |A|를 이용하는 것이므로 크게 어려운 내용은 아닙니다. 

참고로, 심화수준에서는 이차항이 없는 삼차방정식의 일반적인 근의 공식으로 구한 해를 간단히 하거나, 고차 유리함수의 적분식을 간단히 정리할 때 활용되기도 합니다.

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이중근호를 가진 무리수 √(5 + 2√6)을 한번 관찰해 보도록 할까요?

제일 바깥쪽 루트기호 안의 값인 5 + 2√6을 자세히 살펴보면,

5 + 2√6 = (3 + 2) + 2√(3 * 2) 이니까,

제곱수의 형태라는 것을 알 수가 있습니다.

√(5 + 2√6)

= √(3 + 2√6 + 2)

= √{3 + 2√(3 * 2) + 2}

= √{(√3)² + 2√(3 * 2) + (√2)²}

= √{(√3)² + 2 * √3 * √2 + (√2)²}

= √(√3 + √2)²

여기서, 앞의 제곱근의 성질에서 배웠던 √(A²) = |A|를 이용하면

= | √3 + √2 | = √3 + √2로 이중근호를 풀어낼 수 있습니다.

이제, 5 = (√3)² + (√2)²이고 √6 = √3 * √2라는 점을 기억하면서,

이 내용을 문자를 사용해서 일반화시켜 볼까요?

   √{A + B + 2√(A * B)}

= √(√A² + √B² + 2 * √A * √B)

= √(√A + √B)²

= | √A + √B | ( A > 0, B > 0 일 때 )

보기 문제를 하나 더 풀어 보도록 하지요.

√(7 + 2√10) = ?

이중근호 안의 무리수가

7 = 5 + 2 = (√5)² + (√2)²이고 10 = 5 * 2이므로

 √(7 + 2√10)

= √(5 + 2 + 2√10)

= √{(√5)² + (√2)² + 2√(2 * 5)}

= √{(√5)² + 2 * √5 * √2 + (√2)² }

= √(√5 + √2)²

= | √5 + √2 |

= √5 + √2

이번에는 뺄셈이 있는 이중근호를 간단한 형태로 풀어내 보도록 할까요?

√(8 - 2√15) = ?

뺄셈이 있는 이중근호 안의 무리수 8 - 2√15 에서

8 = 3 + 5 = (√3)² + (√5)²이고 15 = 3 * 5이므로,

 √(8 - 2√15)

= √{(3 + 5) - 2√(3 * 5)}

= √{(√3)² + (√5)² - 2 * √3 * √5}

= √(√3 - √5)²

= | √3 - √5 | = √5 - √3

절대값은 항상 양(+)이어야 하니까 풀이와 같이 맨 마지막 단계에서 절댓값을 풀어 답을 구할 때 실수가 없도록 주의해야겠지요? 자칫 방심하면 이중근호를 다 풀어 놓고도 마지막에√3 - √5 라고 틀린 답을 구하게 됩니다.

따라서 이중근호를 풀 때는 덧셈이나 뺄셈에 관계없이 항상 큰 수가 앞에 그리고 작은 수가 뒤에 있도록 미리 순서를 정한 다음, 계산해 나가는 것이 실수를 줄이기 위한 팁입니다.

뺄셈이 있는 이중근호를 간단한 형태로 풀어낼 때 주의해야 할 점을 꼭 기억해 두도록, 비슷한 예제를 하나 더 풀어 보도록 하지요.

√(9 - 2√14) = ?

뺄셈이 있는 이중근호 안의 무리수 9 - 2√14 에서

9 = 2 + 7 = (√2)² + (√7)²이고 14 = 2 * 7이므로,

 

   √(9 - 2√14) = ?

항상 큰 수가 앞에 그리고 작은 수가 뒤에 있도록 하는 것이 좋겠지요?

= √{(7 + 2) - 2√(7 * 2)}   

= √{(√7)² + (√2)² - 2 * √7 * √2}

= √(√7 - √2)²

= | √7 - √2 | = √7 - √2

뺄셈의 경우도 문자를 사용해서 일반화시켜 볼까요?

   √{A + B - 2√(A * B)}

= √(√A² + √B² - 2 * √A * √B)

= √(√A - √B)²

=  ↱  | √A - √B | ( A > B > 0 일 때 )

    ↳  | √B - √A | ( B > A > 0 일 때 )