다항식(1) 다항식의 정의

다항식의 정의

definition of polynomials

"상급수학 과정에서는 다항식이 자주 활용되요"

" polynomials are often used in higher level math "

다항식의 개념은 이차 이상의 방정식이나 함수를 다루는 기초입니다. 특히 고등수학이나 심화 중학수학에서는 다항식을 잘 다룰 줄 알아야 상위권을 유지할 수 있습니다.

다항식에서는 어떤 문자를 변수로 보느냐에 따라, 식의 성격이 달라지는 데에도, 이를 제대로 이해하지 못해 어려움을 겪는 고등학생들도 상당히 많습니다.

수학은 정의로부터 시작되는 정교한 논리적인 학문이므로, 기본적인 용어와 정의부터 정확하게 익혀두기 바랍니다.

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[ 1 ] 단항식과 다항식

2xy 와 같이 숫자와 문자들의 곱셈만으로 이루어진 식을 단항식이라 하고,

3xy – 2x + y – 1 과 같이 단항식들의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 식을 다항식이라 합니다.

이 때, 각각의 단항식을 다항식에서 항이라 부릅니다.

따라서, 3xy – 2x + y – 1 은 4개의 항으로 이루어진 다항식입니다.

이번에는 단항식 3abxy 를 볼까요?

이 식을 x 에 관한 식으로 본다는 것은, 3aby * x 로 해석한다는 것이지요.

따라서, x 의 계수는 3aby 가 되고, x 의 최고차가 1차이니까, x 에 관한 일차 단항식이라고 말합니다.

만일, y 에 관한 식으로 본다면, 3abx * y 

따라서, y 의 계수는 3abx 가 되고, y 에 관한 일차 단항식이지요.

또한, a 에 관한 식으로 본다면, 계수는 3bxy 가 되고, a 에 관한 일차 단항식이라고 합니다.

위의 식을 x, y 에 관한 식으로 본다는 것은, 3ab * xy 로 해석한다는 것이므로,

계수는 3ab 가 되고, x 도 1차이고 y 도 1차인데 서로 곱해졌으니까,

최고차가 2차가 됩니다.

따라서, x, y 에 관한 이차 단항식이라고 말합니다.

참고로, x ² + x – √x  와 같이, x 에 관한 식에 √x 가 포함된 항이 있으면 무리식,

3aby / x 와 같이 x 로 나누어진 항이 있다면 분수식이라 부르고,

무리식이나 분수식은 다항식이라 하지 않습니다.

예를 들어, 다항식 3abx² + a³x – 3 을 볼까요?

(1) 위 식을 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 다항식이고

(2)  a 에 관한 식으로 본다면, 3차 다항식이고

(3)  b 에 관한 식으로 본다면, 1차 다항식이고

(4)  a, x 에 관한 식으로 본다면, a 의 3차와 x 의 1차가 곱해져서 최고차항이

      a³x 인 4차 다항식이 되지요.

이번에는 다항식 3abx² + a³x – 3 을 내림차순으로 정리하는 것을 알아볼까요?

이 식은 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 ⇒ 1차 ⇒ x 가 없는 상수항 순으로 잘 정리되어

있으니까, 내림차순으로 정리했다고 할 수 있습니다.

만일, a 에 관한 내림차순으로 정리한다면, xa³ + 3bx²a – 3 가 되겠지요?

[ 2 ] 다항식의 연산

다항식을 내림차순으로 정리하는 것은, 동류항 등을 찾아서, 다항식의 4칙 연산을 편리하게 하기 위한 것입니다.

우선, 다항식의 덧셈의 예를 한 번 볼까요?

(1) (3ax² + a²x – 3) + (2bx³ – 2ax + b)

      = 2bx³ + 3ax² + (a²– 2a)x + (b – 3)

위와 같이 x 에 관한 내림차순으로 잘 정리하면, 다항식의 덧셈이나 뺄셈은 동류항을 빨리 찾아 내서, 아주 쉽게 계산해 낼 수가 있습니다. 이 때, 결과인 답도 내림차순으로 정리해서 표현하면 아주 좋지요.

이번에는, 다들 조금 어려워 하는 다항식의 나눗셈을 한 번 볼까요?

  

(2) (2x³ – 3x² + 1) ÷ (x – 2)

               2x²  + x  + 2           

  x – 2   )  2x³ – 3x²        + 1

               2x³ – 4x²           

                        x²         + 1

                        x² – 2x       

                               2x + 1

                               2x – 4 

                                      0

특히, 나눗셈에서는 중간에 비어 있는 항들 까지도 수직으로 열을 맞추고, 차수에 맞도록 내림차순으로 정리하지 않으면 다항식의 나눗셈을 할 수가 없습니다. 내림차순으로 정리하는 것이 얼마나 중요한지 알겠지요?

마지막으로, 다항식의 곱셈을 공부해 볼까요?

곱셈공식이나 인수분해와 연관되는, 가장 간단한 다항식인 이항식 곱셈의 예 하나를 풀어 봅시다. 분배법칙을 한 단계씩 적용해 나간 후에, 내림차순으로 정리하면 됩니다.

(3) (a + b)² = (a + b) * (a + b)

                 = (a + b) * a + (a + b) * b

                 = a² + ba + ab + b²

                 = a² + 2ab + b²

그러면 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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 다음 다항식의 나눗셈을 계산하고, 몫과 나머지를 구하여라

 (x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5) ÷ (x² – 2)

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                x²  + 3x   – 1               

  x² – 2   )  x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5

                x⁴          – 2x²             

                       3x³ – x²  – 4x – 5

                       3x³        – 6x       

                            – x²  + 2x

                            – x²        + 2  

                                      2x – 2

제곱근(6) 분모의 유리화 (1)

분모의 유리화

rationalizing the denominator

"분모를 유리화해야만 정답이예요"

 " if the denominator contains radicals,

then it’s not a final answer yet "

제곱근 식의 계산에서 최종적인 답은 반드시 분모를 유리화 한 후에, 같은 제곱근을 가진 동류항들을 정리해야만 정답으로 처리됩니다.

분모의 제곱근 식은 간단히 제곱하는 방법으로는 쉽게 유리화가 되지 않으므로, [곱셈공식] 단원에서 배웠던 합차공식 등을 이용해야 합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는, 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실인 바, 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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우선, 아래의 제곱근 식을 계산하는 과정을 한 번 살펴 보도록 합시다.

√6 – √3 / √2 + √24

= √6 – √3 / √2 + 2√6

= 3√6 – √3 / √2

이 결과를 최종의 정답이라고 채점할 수 있을까요?

자세히 살펴보면, 동류항끼리 정리되지 않았기 때문에 옳은 정답이라 볼 수 없습니다.

왜냐하면 ?

√3 / √2

= (√3 * √2) / (√2 * √2)

= √6 / 2

따라서, 동류항인 √6 을 포함하는 항들을 모두 정리해 주어야 합니다.

= 3√6 – √3 / √2

= 3√6 – √6 / 2

= 5√6 / 2

이와 같이 분모에 무리수가 있는 경우에, 분모의 루트기호를 없애 유리수로 만드는 것을 ‘분모의 유리화’ 라고 합니다.

  

[ 1 ] 단(일)항의 제곱근으로 이루어진 분모

아래의 예와 같이, 단항만으로 이루어진 분모를 가지는 가장 간단한 유형은, 분모와 동일한 제곱근을 분자와 분모에 곱해 주는 방법으로 유리화를 할 수 있습니다.

(1)   √3 / √2

= (√3 * √2) / (√2 * √2)

= √6 / 2

(2)   √5 / (√2 * √3)

= {√5 * (√2 * √3)} / {(√2 * √3) * (√2 * √3)}

= √(5 * 2 * 3) / (2 * 3)

= √30 / 6

또는 (or)

√5 / (√2 * √3)

= √5 / √6

= (√5 * √6) / (√6 * √6)

= √30 / 6

[ 2 ] 이항 또는 다항의 제곱근으로 되어 있는 분모

이와는 달리, 분모가 제곱근을 포함하는 이항 또는 다항의 형태로 되어 있는 경우에는, [1]의 방법과 같이 간단히 같은 제곱근을 곱해주거나 분모를 제곱하는 방법만으로는 유리화가 되지 않습니다.

(3)   3 / (√2 + 1)

= {3 * (√2 + 1)} / {(√2 + 1) * (√2 + 1)}

= (3√2 + 3) / (2 + 2√2 + 1)

???

이런 경우, 우리는 [곱셈공식] 단원에서 배웠던 합차공식을 이용해서 분모를 유리화 해낼 수 있습니다.

(A + B)(A – B) = A² – B²

아래와 같이 분모의 제곱근(식) 에 대한 켤레근(식) 을 분모와 분자에 똑같이 곱해주면,

(3)   3 / (√2 + 1)

= {3 * (√2 – 1)} / {(√2 + 1) * (√2 – 1)}

= (3√2 – 3) / (2 – 1)

= 3√2 – 3

이번에는, 똑같은 합차공식을 이용해서 제곱근이 2 개가 있는 분모를 유리화 해 보도록 할까요?

(A – B)(A + B) = A² – B²

(4)   1 / (√3 – √2)

= (√3 + √2) / {(√3 – √2) * (√3 + √2)}

= (√3 + √2) / (3 – 2)

= √3 + √2

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