제곱근(10) 제곱근값 구하기

제곱근값 구하기

calculate square roots

"부등식을 이용한 제곱근 근사값 계산은

응용력을 키우는 데 아주 좋아요"

" ‘guess & check’ method of finding square root

is very helpful to foster flexible thinking "

이번에는, 계산기의 도움 없이 수작업으로 제곱근의 값을 계산하는 방법을 배워 보도록 합니다.

물론 대부분의 수학책은 제곱근표를 후미에 포함시키고 있을 뿐만 아니라, 요즘은 누구나 전자기기의 계산기 기능을 사용하기는 합니다.

그러나, 고등수학 과정의 시험 등에서는 계산기의 도움이 없이도 대략적인 제곱근의 근사값 정도는 알아내야 하는 경우가 많습니다.

특히, 부등식을 이용한 제곱근의 근사값 계산은 상위수준의 수학을 공부하는 데 많은 응용력을 키워줄 것입니다.

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먼저, 가장 가까운 제곱수를 추정해서 √5 의 근사값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

(1) (완전) 제곱수가 √5 의 제곱인 5 에 가까운 자연수를 생각해 냅니다.

2² = 4 < √5 * √5 = 5 < 3² = 9

∴   √5 = 2.xxx

(2) 2² = 4 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.5 보다는 작은 2.3 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워 지도록 소수 첫째 자리를 조정해 줍니다.

(2.3)² = 5.29 > 5

(2.2)² = 4.84 < 5

2.2 < √5 < 2.3

∴   √5 = 2.2xxx

(3) 이번에는 (2.2)² = 4.84 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.25 보다는 조금 작은 2.24 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워지도록 소수 둘째 자리를 조정해 줍니다.

(2.24)² = 5.0176 > 5

(2.23)² = 4.9729 < 5

2.23 < √5 < 2.24

∴   √5 = 2.23xxx

(4) 이런 방법으로 계속해 나가면 √5 의 값을 보다 정확하게 계산해 낼 수 있습니다. 실제로 응용문제를 해결하는 경우에는 소수점 이하 둘째 자리까지만 근사값으로 구해 내더라도 충분합니다.

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이번에는, 손으로 마치 나눗셈을 하듯이 제곱근의 값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

앞에서 부등식을 이용한 근사값으로 구했던 √5 를 계산해서 검산해 보도록 합시다.

루트계산은 제곱의 단위로 생각해야 하니까, 십진법에서는 소수점을 기준으로 해서 10² = 100 단위로 계산해 나갑니다.

(1) 소수점을 기준으로 첫 100 단위는 5 이니까, 아래에 나타낸 나눗셈의 방법과 유사하게, 제곱수가 5 이하에서 최대가 되는 자연수 2 를 왼쪽에 수직으로 나란히, 그리고 몫의 자리에 적어 넣습니다.

(2) 5 에서 2 * 2 = 4 를 빼주고 남은 1 을, 다시 100 단위가 되는 소수점 이하 둘째 자리까지 확장해서 100 으로 놓습니다.

                          2.    2    3    6         

       2               ) 5.|0 0|0 0|0 0|0 0|

       2                 4       

       42               1.|0 0

         2                   8 4       

       443                 1 6|0 0

           3                 1 3 2 9       

       4466                  2 7 1|0 0

             6                  2 6 7 9 6       

          ⋯                          3 0 4|0 0 

(3) 위의 계산식에서, 4 의 오른쪽과 그 밑에 똑같은 숫자를 적어 넣어,

     4 [ ] * [ ] 의 곱셈을 한 결과가, 남은 100 이하에서 최대가 되도록 맞춥니다.

     맞춘 결과는 자연수 2 가 되지요?

     이제  2 를 수직으로 자릿수를 맞추어서 나란히, 그리고 몫의 자리에 적습니다.

  

(4) 다음에는, 44 의 오른쪽과 그 밑에 똑같은 숫자를 적어 넣어,

    44 [ ] * [ ] 의 곱셈을 한 결과가, 남은 1600 이하에서 최대가 되도록 맞춥니다.

     이번에 맞춘 결과는 자연수 3 이 되지요?

     같은 방법으로 3 을 수직으로 자릿수를 맞추어서 나란히, 그리고 몫의 자리에 적습니다.

 

 

(5) 이런 방법으로 계속해 나가면 √5 = 2.236 ⋯ 의 원하는 만큼의 정확한 계산 결과를 얻을 수 있습니다. 무리수이니까 당연히 끝없이 계속되겠지요?

중3 이상 또는 고등학생이라면, 제곱근표를 보거나 계산기를 쓰지 않고도, √2 와 √3 의 근사값 정도는 반드시 외워 두어야 합니다.

√2 = 1.414 ⋯

√3 = 1.732 ⋯

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제곱근(1) 제곱근

제곱근

square roots

"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"

" square root is a gateway to

solving quadratic equations "

√3 과 같은 제곱근은 이차방정식의 해를 구하는 데 가장 기초적인 개념입니다.

제곱의 계산과 반대되는 역의 연산으로, 앞으로 고등과정에서 배우는 무리함수 또는 역함수나 지수 및 로그와도 관련되므로, 처음부터 기초개념을 확실하게 배워 두기 바랍니다.

중 3 에서는 실수 범위 내에서의 제곱근을 공부하고, 고 1 과정에서는 음수의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 확대됩니다.

특히, 문자로 표시되는 제곱근의 성질은, 심화 수준의 고등수학에서도 자주 등장하는 유형이므로, 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두어야 합니다.

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[ 1 ]  어떤 수 x 를 제곱하여 3 이 될 때 그 x 를 3 의 제곱근이라고 하고, 이 제곱근은 루트기호를 사용해서 √3 이라고 나타내고 ‘제곱근 3’ 또는 ‘루트 3’ 이라고 읽습니다.

그런데 음수(–) 를 제곱해도 양수(+) 가 되니까, 자신을 제곱해서 3 이 되는 수를 말하는 ‘3 의 제곱근’ 에는 √3 만이 아니라 – √3 도 있지요.

x² = 3

∴  x = √3  or  – √3

예를 들어, 5의 제곱근은 위에서 설명한 대로 제곱해서 5가 되는 수를 말하는 것이니까, 양수 √5 와 음수인 – √5 의 두 개가 있겠지요?

[ 2 ]  제곱수인 9 의 제곱근도 x² = 9 의 해가 되는 수이니까, 양수인 √9 (= 3) 뿐 만이 아니라, 음수인  – √9 (= – 3) 의 두 수   즉,  ± 3 을 9 의 제곱근이라 합니다.

⇦     제곱근 (square root)     ⇦

± 3                                                        9

⇨          제곱 (square)          ⇨

이 때 √9 와 같은 제곱수의 제곱근은, 실제 계산의 결과나 답으로 쓸 때에는 루트기호로는 나타내지 않는 것이 원칙입니다. 즉, √9 또는 √25 는 각각 루트기호를 쓰지 않고, 그냥 자연수 3 또는 5 라고 표현합니다.

√9 = √3² = 3

√25 = √5² = 5

* 참고로, 영어권 국가에서는 특별히, 루트기호를 없앨 수가 없는 (완전 제곱수가 아닌) 수들의 제곱근 즉, √2 나 √3 과 같은 수들을 따로 ‘surds’ 라고 부릅니다.

[ 3 ]  제곱근을 계산할 때는 루트기호 없이도 자연수로 나타낼 수 있는 (완전) 제곱수들을 기억해 두는 것이 제곱근 식을 계산하는 데 아주 편리합니다. 11의 제곱수부터 곱셈공식의 전개를 이용해서 구해 본 다음, 한 번 외워 보도록 할까요?

11² = (10+1)² = 10² + 2x10x1 + 1²= 121

12² = (10+2)² = 10² + 2x10x2 + 2²= 144

13² = (10+3)² = 10² + 2x10x3 + 3²= 169

14² = (10+4)² = 10² + 2x10x4 + 4²= 196

15² = (10+5)² = 10² + 2x10x5 + 5²= 225

16² = (10+6)² = 10² + 2x10x6 + 6²= 256

17² = (10+7)² = 10² + 2x10x7 + 7²= 289

︙

[ 4 ]  이번에는 제곱수가 자연수가 아니라, 분수나 특히 소수로 표현되는 경우를 살펴 보도록 할까요? 앞에서 살펴본 제곱수들을 기억해 두면 아주 편리하지요.

이런 유형의 문제를 만나면 당황하거나 실수하는 학생들이 꽤 많으니, 많은 연습을 통해 기초적인 계산실력을 단단하게 갖추어 두기 바랍니다.

√ 0.01  = √(0.1²) = 0.1

√ 1.69  = √(1.3²) = 1.3

√ 1.96  = √(1.4²) = 1.4

√ 2.89  = √(1.7²) = 1.7

︙

[ 5 ]  마지막으로 영어의 '루트'를 번역하는 과정에서 발생되는 독특한(?), 한국학생들이 당하는 진위유형의 함정 문제도 잘 알아 둘 필요가 있습니다.

첫째로 ‘제곱근 3’ 이라는 표현은 단순히 ‘루트 3’ 을 번역한 √3 을 말하는 것이고, 둘째로 ‘3의 제곱근’ 이라는 용어는 자신을 제곱해서 3 이 되는 값들인 √3 과  – √3 의 두 개를 모두 말하는 표현입니다.

제곱근 또는 거듭제곱근 진위문제에서 자주 등장하니까, 시험볼 때 실수하지 않도록 유의하기 바랍니다.^^

그러면, 제곱수와 관련된 약간은 어려운 응용 문제를 풀어 보도록 합시다.

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√ 300 – N  의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 N 의 개수를 구하여라.

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(1) 우선, 300 – N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 그런데, N 이 자연수이니까, 300 – N 의 값이 되는 범위를 살펴보면,

N ≥ 1

1 ≤ 300 – N ≤ 299

∴  1 ≤ √ 300 – N  ≤ √ 299 

(3) 여기서, 근사값을 계산해 보면, 300 – N 이 완전제곱수가 되는 경우는

√ 299  ≈ √ 300 

= √ 3  x 10

= 17.32⋯

∴  300 – N = 1², 2², ⋯ , 17²

* 참고로, 한국의 중고등 학생이라면 √2 = 1.414 그리고 √3 = 1.732 정도는 반드시 외워 두는 것이 좋습니다.^^



(4) 따라서, 답은 17 개이고, 참고로 자연수 N 의 값들을 살펴 보면,

N₁ = 300 – 1² = 299

N₂ = 300 – 2² = 296

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N₁₇ = 300 – 17² = 11

한 문제 더 풀어 보도록 할까요?

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√ 150 x N  의 값이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 N 의 값을 구하여라.

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(1) 150 x N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 150 을 소인수로 분해해 보면,

150 = 2 x 3 x 5²

(3) 따라서, 150 x N 을 (완전) 제곱수로 만들 수 있는 가장 작은 값 N 은,

∴  N = 2 x 3 = 6

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