행렬(4) AB = BA인 행렬

AB=BA인 행렬

finding a matrix B such that AB = BA

"AB = BA만 성립한다면 행렬계산이 너무 쉽지요"

" matrix operation becomes quite easy

only if AB = BA "

  

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고 3 의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

[행렬의 연산] 단원의 심화유형 문제에서, AB = BA 를 만족하는지만 알아낼 수 있다면, 곱셈공식과 인수분해 공식을 자유롭게 사용할 수 있으니까, 아주 편리합니다.

실전문제에서 아주 유용한 방법이니까, 철저하게 이해하고 응용하는 방법을 익혀두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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앞에서 두 행렬의 곱, AB 와 BA 는 서로 같지 않다는 것을 배웠습니다. 그래서 행렬의 곱이 포함된 연산은 너무 어렵지요?

AB = BA 만 성립한다면 얼마나 좋을까요? 우리가 익히 알고 있는 곱셈공식과 인수분해 공식을 맘대로 사용할 수 있을 테니까요.

그러면 여기서, 실수에서와 같이 우리가 마음대로 연산할 수 있도록 하는 AB = BA 가 성립하는 행렬 B 에는 도대체 어떤 것들이 있는지를 조사해 볼까요?

(1) 단위행렬 (identity matrix)

AE = EA, AE² = E²A, AE^-1 = E^-1A, ...

(2) 행렬 A 와 그 패밀리 (matrix A itself and its family)

AA² = A²A, AA³ = A³A, AA^-2 = A^-2A, ...

따라서, 행렬 B 가 위에서 알아낸 두 가지 종류의 덧셈과 뺄셈으로 이루어져 있다면, 곱셈의 교환법칙이 성립하겠지요? 그러면 일반화시켜서, 정리해 볼까요?

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행렬 B = p A^m + q A^–n+ r E 일 때는, 항상 AB = BA 가 성립한다.

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이 내용은 심화유형의 행렬의 연산이나 진위문제에서, 아주 편리하게 활용되니까, 상위 수준의 고등학생이라면, 반드시 외워 두고 응용력을 키워두기 바랍니다.

예를 하나 볼까요?

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두 행렬 A, B 가 아래의 두 조건식을 만족할 때, A³ + B³ 을 단위행렬 만으로 간단히 나타내어라.

A + B = E (I₂)  ⋯ ①

AB = 2E (2I₂)  ⋯ ②

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(1) 우선 ① 식을 B 를 주어로 바꾸면, B = – A + E 이니까, 위에서 알아낸 대로

      AB = BA 가 성립하지요?

(2) 따라서, 곱셈공식을 맘대로 사용해도 되겠지요?

     곱셈공식의 변형 방법으로 계산하면,

A³ + B³

= (A + B)³ – 3AB(A + B)

(3) 이제, 변형식에 주어진 ①, ② 식을 대입하면,

  

= E³ – 3 x 2E x E

= – 5E

한 문제만, 더 풀어 보도록 할까요?

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역행렬을 갖는 두 행렬 A, B 가 A + B = 3E 를 만족할 때, 아래의 등식이 참인지 거짓인지를 판별하여라.

(AB)²⁰ = A²⁰ x B²⁰

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(1) 우선, B 를 주어로 바꾸어 보면 B = 3A^–1 이니까, AB = BA 가 성립하지요?

(2) 따라서, (AB)²⁰ 을 전개한 다음, AB = BA 를 아래와 같이 계속 바꾸어 나가면

     참이 되는 것을 알 수 있습니다.

(AB)²⁰

= AB x AB x AB x AB x ⋯

= A x AB x AB x AB x ⋯

= AA x AB x BA x BA x ⋯

= A²⁰ x B²⁰

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행렬(6) 케일리-해밀턴 정리의 역

케일리-해밀턴 정리의 역

converse of Cayley-Hamilton theorem

"반례에는 실수배의 단위행렬도 있어요"

 " [k x I₂] is also a counter example "

최근 들어, [케일리-해밀턴 정리]는 표준교과 외의 개념으로 간주되어, 평가원의 수능이나 모의 수능에서는 거의 제외되고 있습니다만,

그럼에도 불구하고, 아직도 학원가 또는 수능문제집의 심화유형에서, 최소값 또는 최대값을 물어보는 문제로 자주 출제 됩니다.

결과는 간단하니까, 이왕이면 이해해 두고, 외워서 문제 해결에 활용하기 바랍니다.

참고로, [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명하며, 현재 고 1 부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않는다는 점도 알아 두기 바랍니다.

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앞에서 배웠던 [케일리-해밀턴 정리]의 내용을 복습해 볼까요?

행렬 A = [ a  b ] 가 주어졌을 때, A² – (a + d) A + (ad – bc) E = O 는 항상 성립하고,

             [ c  d ]

이 식을 [케일리-해밀턴 정리] 라고 했었지요?

* 참고로, 우리나라에서는 (2 x 2) 의 단위행렬을 E 라고 표현하지만, 영미권 국가에서는 I₂ 라고 표현합니다.

그러면, 이번에는 반대로, A² – A – 2E = O 를 만족하는 행렬 A 를 어떻게 찾아 내는지, 한 번 알아 보도록 할까요?

우리가 배웠던 [케일리-해밀턴 정리] 를 기억한다면, ① a + d = 1 이고

② ad – bc = – 2 를 만족하는 행렬이기만 하면, 아무거나 다, 행렬 A 가 될 수 있겠지요?

즉, 미지수가 4 개인데, 식은 2 개 밖에 없는 연립방정식이니까, 해가 무수히 많을 것이고, 따라서 행렬 A 도 무수히 많겠군요.

한번 구체적인 예를 들어 볼까요?

[ 1  2 ]

[ 1  0 ]

[ 0  2 ]

[ 1  1 ]

︙

위의 무수히 많은 ... , 이런 종류들만 있는 것이 아닙니다. [케일리-해밀턴 정리] 의 역은 성립하지 않는다고 할 때, 진짜로 중요한 반례는 따로 또 있습니다.

원리는 뒤에서 설명하도록 하고 우선 그 진짜로 중요한 반례를 찾는 요령부터 알아 보도록 할까요?

주어진 식, A² – A – 2E = O 는 곱셈의 교환이 가능한 A 와 E 만으로 이루어져 있으니까, 인수분해가 가능하겠네요.

(A + E)(A – 2E) = O

∴   A = – E  or  A = 2E

마치 이차방정식을 푸는 것과 같이, 구해지는 A = – E 또는 A = 2E가 진짜로 중요한 또 다른 반례입니다.

실제로 케일리-해밀턴의 식을 만족하는지 확인해 볼까요?

A² – A – 2E = (– E)² – (– E) – 2E = O

A² – A – 2E = (2E)² – (2E) – 2E = O

왜, 이런 일이 일어난 것일까요? 문자를 써서 일반적인 원리를 알아내 볼까요?

[케일리-해밀턴 정리] 의 역이 '참' 으로서 성립한다 라고 가정한다면,

행렬 A =  [ a  b ] 에 대하여, A² + p A + q E = O 이라는 식은 반드시

              [ c  d ]

A² – (a + d) A + (ad – bc) E = O 이라는 식과 일치해야 되겠지요?

(1) 따라서, 두 식을 항등식으로 같다고 놓고 풀어서 정리하면,

A² + p A + q E = A² – (a + d) A + (ad – bc) E

(a + d + p) A = (ad – bc – q) E

(2) 여기서, a + d + p = 0 이라면, 원래의 케일리-해밀턴의 식이 성립하는 것이지만, 만일 a + d + p ≠ 0 이라면, A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E.

(3) 바로 이 행렬 A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E 가 [케일리-해밀턴 정리] 의 계수와 관련이 없는, 또 다른 반례가 되는 행렬입니다.

(4) A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E = k E 라 놓고, 앞의 예인 A² – A – 2E = O 에 대입해 볼까요?

A² – A – 2E = O

(k E)² – (k E) – 2E = O

(k² – k – 2)E = O

(5) 따라서, k² – k – 2 = 0 이니까, 앞에서 ‘마치 이차방정식을 푸는 것과 같은’ 원리로 구해지는 것입니다.

(k + 1)(k – 2) = 0

∴   A = – E  or  A = 2E

이 결과를 하나의 공식과 같이 정리해 둘까요?

A² + p A + q E = O 을 만족하는 행렬 A = [ a  b ] 를 찾아내는 방법은,

                                                         [ c  d ]

---

(1) [케일리-해밀턴 정리] 에서 a + d = – p 와 ad – bc = q 를 만족하는 행렬들을

     찾아내거나,

       또는 (or)

(2) 추가로, A = k E 인 경우도 생각해서, k² + pk + q = 0 를 만족하는 실수배의

     단위행렬(들)도 찾아내야 한다.

---

최근 들어, 이 유형은 평가원의 수능 혹은 모의수능에서는 거의 출제되고 있지 않지만, 학원가 또는 수능문제집의 심화유형에서, a + d 의 최소값이나 ad – bc 의 최대값을 물어보는 문제로 꾸준히 출제되고 있습니다.

보기 문제를 하나 보도록 할까요?

---

행렬 A = [ a  b ] 가 A² – 2A – 3E = O 을 만족할 때, a + d 의 최솟값을 구하여라.

             [ c  d ]

---

(1) 우선, A ≠ k E 인 경우를 생각해서, [케일리-해밀턴 정리] 를 적용해야 하겠지요?

a + d = 2,   ad – bc = – 3

∴  a + d = 2

(2) 그 뿐만이 아니라, 이제 A = k E 인 경우도 생각해야 되겠지요?

k² – 2k – 3 = (k – 3)(k + 1) = 0

k = 3  or  k = – 1

A = [ 3  0 ]

      [ 0  3 ]

or

A = [ -1  0 ]

      [ 0  -1 ]

∴  a + d = 6  or  – 2

(3) 따라서, 답인 a + d 의 최솟값은 – 2.

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