다항식(1) 다항식의 정의

다항식의 정의

definition of polynomials

"상급수학 과정에서는 다항식이 자주 활용되요"

" polynomials are often used in higher level math "

다항식의 개념은 이차 이상의 방정식이나 함수를 다루는 기초입니다. 특히 고등수학이나 심화 중학수학에서는 다항식을 잘 다룰 줄 알아야 상위권을 유지할 수 있습니다.

다항식에서는 어떤 문자를 변수로 보느냐에 따라, 식의 성격이 달라지는 데에도, 이를 제대로 이해하지 못해 어려움을 겪는 고등학생들도 상당히 많습니다.

수학은 정의로부터 시작되는 정교한 논리적인 학문이므로, 기본적인 용어와 정의부터 정확하게 익혀두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

[ 1 ] 단항식과 다항식

2xy 와 같이 숫자와 문자들의 곱셈만으로 이루어진 식을 단항식이라 하고,

3xy – 2x + y – 1 과 같이 단항식들의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 식을 다항식이라 합니다.

이 때, 각각의 단항식을 다항식에서 항이라 부릅니다.

따라서, 3xy – 2x + y – 1 은 4개의 항으로 이루어진 다항식입니다.

이번에는 단항식 3abxy 를 볼까요?

이 식을 x 에 관한 식으로 본다는 것은, 3aby * x 로 해석한다는 것이지요.

따라서, x 의 계수는 3aby 가 되고, x 의 최고차가 1차이니까, x 에 관한 일차 단항식이라고 말합니다.

만일, y 에 관한 식으로 본다면, 3abx * y 

따라서, y 의 계수는 3abx 가 되고, y 에 관한 일차 단항식이지요.

또한, a 에 관한 식으로 본다면, 계수는 3bxy 가 되고, a 에 관한 일차 단항식이라고 합니다.

위의 식을 x, y 에 관한 식으로 본다는 것은, 3ab * xy 로 해석한다는 것이므로,

계수는 3ab 가 되고, x 도 1차이고 y 도 1차인데 서로 곱해졌으니까,

최고차가 2차가 됩니다.

따라서, x, y 에 관한 이차 단항식이라고 말합니다.

참고로, x ² + x – √x  와 같이, x 에 관한 식에 √x 가 포함된 항이 있으면 무리식,

3aby / x 와 같이 x 로 나누어진 항이 있다면 분수식이라 부르고,

무리식이나 분수식은 다항식이라 하지 않습니다.

예를 들어, 다항식 3abx² + a³x – 3 을 볼까요?

(1) 위 식을 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 다항식이고

(2)  a 에 관한 식으로 본다면, 3차 다항식이고

(3)  b 에 관한 식으로 본다면, 1차 다항식이고

(4)  a, x 에 관한 식으로 본다면, a 의 3차와 x 의 1차가 곱해져서 최고차항이

      a³x 인 4차 다항식이 되지요.

이번에는 다항식 3abx² + a³x – 3 을 내림차순으로 정리하는 것을 알아볼까요?

이 식은 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 ⇒ 1차 ⇒ x 가 없는 상수항 순으로 잘 정리되어

있으니까, 내림차순으로 정리했다고 할 수 있습니다.

만일, a 에 관한 내림차순으로 정리한다면, xa³ + 3bx²a – 3 가 되겠지요?

[ 2 ] 다항식의 연산

다항식을 내림차순으로 정리하는 것은, 동류항 등을 찾아서, 다항식의 4칙 연산을 편리하게 하기 위한 것입니다.

우선, 다항식의 덧셈의 예를 한 번 볼까요?

(1) (3ax² + a²x – 3) + (2bx³ – 2ax + b)

      = 2bx³ + 3ax² + (a²– 2a)x + (b – 3)

위와 같이 x 에 관한 내림차순으로 잘 정리하면, 다항식의 덧셈이나 뺄셈은 동류항을 빨리 찾아 내서, 아주 쉽게 계산해 낼 수가 있습니다. 이 때, 결과인 답도 내림차순으로 정리해서 표현하면 아주 좋지요.

이번에는, 다들 조금 어려워 하는 다항식의 나눗셈을 한 번 볼까요?

  

(2) (2x³ – 3x² + 1) ÷ (x – 2)

               2x²  + x  + 2           

  x – 2   )  2x³ – 3x²        + 1

               2x³ – 4x²           

                        x²         + 1

                        x² – 2x       

                               2x + 1

                               2x – 4 

                                      0

특히, 나눗셈에서는 중간에 비어 있는 항들 까지도 수직으로 열을 맞추고, 차수에 맞도록 내림차순으로 정리하지 않으면 다항식의 나눗셈을 할 수가 없습니다. 내림차순으로 정리하는 것이 얼마나 중요한지 알겠지요?

마지막으로, 다항식의 곱셈을 공부해 볼까요?

곱셈공식이나 인수분해와 연관되는, 가장 간단한 다항식인 이항식 곱셈의 예 하나를 풀어 봅시다. 분배법칙을 한 단계씩 적용해 나간 후에, 내림차순으로 정리하면 됩니다.

(3) (a + b)² = (a + b) * (a + b)

                 = (a + b) * a + (a + b) * b

                 = a² + ba + ab + b²

                 = a² + 2ab + b²

그러면 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

──────────────────────────────

 다음 다항식의 나눗셈을 계산하고, 몫과 나머지를 구하여라

 (x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5) ÷ (x² – 2)

──────────────────────────────

                x²  + 3x   – 1               

  x² – 2   )  x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5

                x⁴          – 2x²             

                       3x³ – x²  – 4x – 5

                       3x³        – 6x       

                            – x²  + 2x

                            – x²        + 2  

                                      2x – 2

지수법칙(1) 지수법칙

지수법칙

Laws of Indices

"지수기호를 쓰니까 큰 수의 표현과 계산이 너무 편리해요"

" exponents are very useful

to express and calculate large numbers "

지수법칙은 수나 식의 계산에서, 거듭제곱을 포함하는 곱셈과 나눗셈을 처리하는 데 기초가 되는 기본개념입니다.

중학수학의 표준교과에서는 지수가 자연수인 경우로 한정하고 있지만, 보다 다양한 응용력을 갖추기 위해서는 적어도 정수 범위까지는 알아 두기를 권하고 싶습니다.

만일, 심화과정이나 고등수학의 수준이라면 분수형태의 지수 즉, 유리수 범위까지는 정확히 이해해 두어야, 쉽게 응용력을 발휘할 수 있습니다.

이 단원은 고등수학에서 배우는 [지수와 로그], 만일 이과라면 [지수함수와 로그함수] 단원까지 연계되니까 기초적인 개념과 원리를 확실하게 다져 두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

예를 들어, 2 를 다섯 번 거듭해서 곱하는 경우를 표현한다고 할 때, 2×2×2×2×2 보다 간편한 표시 방법은 없을까요?

지수라는 기호를 사용하면, 2×2×2×2×2 를 2⁵ 이라고 표현하고 ‘2 의 다섯 제곱’ 또는 ‘2 의 오승’ 이라고 읽습니다.

이 때, 2 를 ‘밑’ 이라 하고, 위 첨자의 작은 숫자로 표시한 5 를 ‘지수’ 라고 합니다.

만일 문자를 써서 일반적인 표현으로 a^x 이라고 나타내면, a 를 x 번 거듭해서 곱하라는 표현이고, ‘a 의 x 제곱’ 또는 ‘a 의 x 승’ 이라고 읽습니다. 

이 때, a 가 ‘밑’이 되는 것이고 x 는 ‘지수’가 됩니다. 이 밑과 지수라는 용어는 고등수학의 [로그] 단원에서도 그대로 사용되니, 잘 기억해 두기 바랍니다.

그러면, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고, 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈이 지수로는 어떻게 표현되는 지를 알아 보도록 할까요?

(1) 5² x 5³ = 5^{2 + 3} = 5⁵

5² = 5 x 5

5³ = 5 x 5 x 5

∴  5² x 5³ = (5 x 5) x (5 x 5 x 5) = 5⁵

(2) (5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶

(5²)³ = (5²) x (5²) x (5²)

∴  (5²)³ = 5^{2 + 2 + 2} = 5^{2 x 3} = 5⁶

특히, 이 공식은 지수를 서로 교환하는 방법으로도 많이 쓰입니다.

(5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶ = 5^{3 x 2} = (5³)²

(3) (5 x 7)³ = 5³ x 7³

(5 x 7)³ = (5 x 7) x (5 x 7) x (5 x 7)

       = (5 x 5 x 5) x (7 x 7 x 7)

= 5³ x 7³        .

이 공식은 마치 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

이번에는, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고 거듭제곱의 나눗셈에 관하여 알아 보도록 할까요?

 (4) ( 2⁵ / 2³ ) = 2^{5 - 3} = 2²

( 2⁵ / 2³ ) = ( 2×2×2×2×2 ) / ( 2×2×2 )

∴  ( 2⁵ / 2³ ) = 2 x 2 = 2^{5 - 3} = 2²      .

(5) ( 2 / 5 )³ = 2³ / 5³

( 2 / 5 )³ = ( 2 / 5 ) x ( 2 / 5 ) x ( 2 / 5 )

= ( 2×2×2 ) / ( 5×5×5 )

= 2³ / 5³

이 공식도 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

참고로, 밑이 0 이 되는 경우는 논란이 있으므로 표준수학에서는 생각하지 않습니다.

(1) 0⁰ 은 어쨌든지 0 의 거듭제곱이니까 0 이 되어야 한다는 주장과

(2) 일반적으로 (실수)⁰ = 1 이라는 원칙을 지키자는 주장들이 있기 때문입니다.

그러면, 위에서 공부한 것을 문자로 일반화시켜서 [지수법칙] 을 정리해 보도록 할까요?

---

자연수 m, n 과 0 이 아닌 실수 a, b 에 대하여,

(1)  a^m x aⁿ = a^m+n

(2)  (a^m)ⁿ = a^m x n = a^mn

(3)  (ab)^m  = a^mb^m

(4)  a^m / aⁿ = a^{m – n}

(5)  ( a / b )^m = a^m / b^m

---

공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?

---

3^n–1 = A 그리고 5^n–2 = B 라 정의할 때, 15ⁿ⁺¹ 을 A, B 및 숫자 만으로 나타내어라.

---

(1) 우선, 구하려는 15ⁿ⁺¹ 의 밑인 15 가 합성수이니까, 소인수로 분해를 해 봐야 하겠지요?

15ⁿ⁺¹ = (3 x 5)ⁿ⁺¹

(2) 위에서 배웠던 지수법칙을 적용하고, 문제에서 정의된 A, B 의 형태로 지수를 변형시키면,

(3 x 5)ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ x 5ⁿ⁺¹

= 3² x (3^n-1) x 5³ x (5^n-2)

= 3² x A x 5³ x B

= 9 x 125 x AB

∴  15ⁿ⁺¹ = 1125AB

확인 문제를 하나 더 풀어 볼까요?

---

아래 식의 값을 간단한 자연수로 나타내어라.

( 4^n-2 + 4^n–1 + 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹ ) / ( 2^2n–5 + 2^2n–3 + 2^2n–1+ 2²ⁿ⁺¹ )

---

(1) 분모와 분자의 밑을 공통되는 기준값인 2 의 거듭제곱으로 표현하는 것이 좋겠지요? 따라서, 분자를 밑을 2 로 하는 지수형태로 바꾸면,

4^n–2 + 4^n–1 + 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹

= (2²)^n–2 + (2²)^n–1 + (2²)ⁿ + (2²)ⁿ⁺¹

= 2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

(2) 이제, 분배법칙을 이용해서 분자를 공통인수로 묶으면,

2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

= 2^2n–4 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(3) 같은 방법으로 분모도 공통인수로 묶으면,

2^2n–5 + 2^2n–3 + 2^2n–1+ 2²ⁿ⁺¹

= 2^2n–5 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(4) 따라서, 공통인수로 분자, 분모를 간단하게 약분만 하면 주어진 식의 값은,

{2^2n–4 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)} / {2^2n–5 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)}

= 2^2n–4 / 2^2n–5 

= 2^{(2n–4) – (2n–5)}

= 2¹

= 2 

효율적이고 영리한 계산에 관하여, 노파심에 다시 한번 강조하지만, 약분할 공통인수라고 판단된다면  미리 계산하지 않는 것이 당연히 좋은 방법입니다.

(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

= (1 + 4 + 16 + 64)

= 85 ???

(1) 숫자라 하더라도 문자로 간주하고, (2) 반드시 그대로 둔 상태에서 약분을 다 끝낸 후에야, 마지막으로 꼭 필요한 계산만 간단하게 하기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

Please click the following link

to read English translation.

http://jaymathbee.blogspot.kr

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧