등비수열
geometric sequences
"등비수열은 같은 값을 계속 곱해주는 거예요"
" it's a sequence multiplying the same ratio "
등비수열 또한 초등산수 시절부터 배우는, 수의 규칙성을 찾는 유형 중에서 가장 기초적인 수열의 하나입니다.
등비수열도 일반적인 제 n 항까지, 그리고 공비 r 등의 문자로 표현되는 일반화된 기본개념을 정확하게 익혀 두어야, 앞으로 배우는 계차수열이나 무한 등비급수 등의 상위 개념을 어려움 없이 공부해 낼 수 있습니다.
특히, 뒤에서 배우게 될 여러가지 수열의 점화식 등에서도 자주 활용되는 기본 개념이므로, 응용력을 철저히 익혀두기 바랍니다.
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앞에서 공부했던 수열을 복습해 보도록 할까요?
예를 들어 2, 6, 18, 54, 162, ... 와 같이, 3 을 계속해서 곱하는 방식으로 계속해서 다음 항을 만드는 수열을 등비수열이라고 하고, 이 때의 곱해지는 일정한 상수값을 공비라고 한다는 것을 앞에서 배웠습니다.
이 등비수열의 구조를 조금 더 자세히 살펴 보도록 할까요?
2, 6, 18, 54, 162, ...
∨ ∨ ∨ ∨
x 3 x 3 x 3 x 3
a1 = 2
a2 = 2 x 3
a3 = 2 x 3 x 3
a4 = 2 x 3 x 3 x 3
∴ an = 2 x 3(n – 1)
위에서 보는 것과 같이, n 번째의 일반항인 an 은 첫째 항인 a1 에다가 (n – 1) 개의 공비를 곱하는 방법으로 구해진다는 것을 알 수 있습니다.
이 내용을 일반화해서 공식으로 정리하도록 할까요?
등비수열 { an } 의 첫째항을 a1, 공비를 r 라고 하면 n 번 째의 일반항 an 은 아래와 같이 구한다.
an = a1 x r (n – 1)
보기 문제로, 아래의 수열에서 10 번째 항과 제 n 번째 항을 구해 보도록 할까요?
(1) 3, 6, 12, 24, 48, ...
a1 = 3, r = 2
∴ an = 3 x 2(n – 1)
∴ a10 = 3 x 2(10 – 1) = 1536
(2) 2, – 6, 18, – 54, 162, ...
a1 = 2, r = – 3
∴ an = 2 x (– 3)(n – 1)
∴ a10 = 2 x (– 3)(10 – 1) = – 2 x 39
그러면, 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?
공비가 0.5 이고 제 6 항이 5 인 등비수열의 첫째항을 구하여라.
(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?
↱ r = 0.5 ⋯ ①
↳ a6 = a1 x r (6 – 1) = 5 ⋯ ②
(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,
[대입법] ① ⇒ ② :
a1 x (0.5)(6 – 1) = 5
∴ 첫째항 a1 = 5 x 25 = 160
제 5 항이 48 이고 제 10 항이 – 1536 인 등비수열의 첫 째항을 구하여라.
(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?
↱ a5 = a1 x r (5 – 1) = 48 ⋯ ①
↳ a10 = a1 x r (10 – 1) = – 1536 ⋯ ②
(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,
[승제법] ② ÷ ① :
r 5 = – 32 = (– 2)5
∴ r = – 2 ⋯ ③
[대입법] ③ ⇒ ① :
a1 x (– 2)4 = 48
16 a1 = 48
∴ 첫째항 a1 = 3
제 n 항이 아래와 같이 표현되는 등비수열에서, 그 첫째항과 공비를 구하여라.
an = 2 x 3(2n – 1)
(1) 주어진 일반항을 an = a1 x r (n – 1) 의 표준형태로 바꾸면,
2n – 1 = 2(n – 1) + 1
∴ an = 2 x 3{2(n – 1) + 1}
= 2 x 32(n – 1) x 31
= 2 x 3 x 32(n – 1)
∴ an = 6 x 9(n – 1)
따라서, 첫째항 a1 = 6, 공비 r = 9
세 수 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이루고, a, b, 36 은 이 순서로
등비수열을 이룰 때, 두 자연수 a, b 를 구하여라.
(1) 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이룬다고 했으니까,
2a = 8 + b ⋯ ①
(2) 또, a, b, 36 은 이 순서로 등비수열을 이룬다고 했으니까,
b2 = a x 36 ⋯ ②
(3) 이제, 일차식과 이차식을 연립으로 풀 때에는, 반드시 일차식을 이차식에 대입하는 것이 좋습니다.
[대입법] ① ⇒ ② :
(2a – 8)2 = a x 36
a2 – 17a +16 = 0
(a – 16) (a – 1) = 0
∴ a = 16 or 1
(4) 이 결과를 ① 식에 대입하면,
b = 24 or – 6
– 6 은 문제의 뜻에 맞지 않으므로 버립니다.
∴ (a, b) = (16, 24)
