일차방정식
linear equations
"이항해서 x 를 구한다는 게 등식의 원리를 이용하는 것이었군요"
" finding x by moving to other side
is based on the properties of equality "
초등과정까지는 간단한 자연수의 답을 구하는 문제들이 대부분이라, 영리하지만 수학적 개념이 부족한 학생 중에는, 미리 예상 가능한 자연수 몇 개만 암산으로 슬쩍 대입해서 구해 버리는 경우가 종종 있습니다.
그러나, 중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 스스로 공부해 나갈 수 있습니다.
응용력이 생길 때까지는, 숫자로 된 간단한 일차방정식이라도 등식의 원리를 따져 보면서 풀고, 실생활 응용 유형의 문장을 방정식으로 표현하는 연습을 꾸준히 해 두기 바랍니다.
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기차표 4 장을 샀더니, 3 만원을 할인해 주어서 모두 17 만원을 지불했을 때, 표 1 장당 원래 가격은 얼마이었는지를 구하려면, 기차표 1 장당 가격을 x 만원이라고 놓고, 아래와 같이 식을 세울 수 있습니다.
4x – 3 = 17
이 때, 이 x 를 변수라 부르고, x 의 최고차항이 1 차이니까, 일차방정식이라고 합니다.
이제, 이 일차방정식을 풀려면, (a) 양변에 3 을 똑같이 더해 준 다음, (b) 양변을 똑같이 4 로 나누어 주면 되겠지요?
(a) 4x – 3 + 3 = 17 + 3 ∴ 4x = 20
(b) 4x ÷ 4 = 20 ÷ 4 ∴ x = 5
따라서, 답은 5 만원. 이렇게 풀어 낼 수 있는 원리는, 양변을 똑같은 수로 더하고 빼거나, 곱하거나 나누어도 원래의 등식은 변하지 않는 않는다는 등식의 원리를 이용한 것입니다.
여기서, 등식의 성질 (properties of equality) 을 한 번 정리해 두도록 할까요?
실수 a, b, c 에 대하여, a = b 라는 등식이 성립할 때,
(1) a + c = b + c ☞ (addition property)
(2) a – c = b – c ☞ (subtraction property)
(3) a x c = b x c ☞ (multiplication property)
(4) a ÷ c = b ÷ c if c ≠ 0 ☞ (division property)
일차방정식 5x – 2 = 2x + 7 을 푸는 과정에서 한 변에 x 항들을, 다른 변에는 숫자인 상수항들을 모아 주고 답을 구할 때, 어떤 원리들이 사용되었는지 다시 한번 단계별로 살펴보도록 하지요.
5x – 2 – 2x = 2x + 7 – 2x subtract 2x from each side
3x – 2 = 7 simplify
3x – 2 + 2 = 7 + 2 add 2 to each side
3x = 9 simplify
3x ÷ 3 = 9 ÷ 3 divide both sides by 3
∴ x = 3
3x – 2 = 7 simplify
3x – 2 + 2 = 7 + 2 add 2 to each side
3x = 9 simplify
3x ÷ 3 = 9 ÷ 3 divide both sides by 3
∴ x = 3
그러면, 계산문제를 하나 풀어 보도록 할까요?
(4x – 1) ÷ 2 – 2{3x – (1 – 2x)} ÷ 3 = 1.5 – x
(1) 분수나 소수의 계수들이 있는 경우에는 우선, 분모의 최소공배수를 곱해 주어야 하겠지요? 등식의 성질에 따라, 6 을 양변에 곱해 주고 정리하면,
3(4x – 1) – 4{3x – (1 – 2x)} = 9 – 6x
– 3 + 4 – 8x = 9 – 6x
(2) 이제, 등식의 원리를 이용해서, 양변에 8x 를 더해 주고 9 를 빼주면,
1 – 8x + 8x = 9 – 6x + 8x add 8x to both sides
1 = 9 + 2x simplify
1 – 9 = 9 + 2x – 9 subtract 9 from each side
– 8 = 2x simplify
– 8 ÷ 2 = 2x ÷ 2 divide both sides by 2
∴ x = – 4
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