수직인 직선의 기울기
slope of perpendicular lines
"수직인 두 직선의 기울기 곱은 -1"
" slopes of perpendicular lines are
negative reciprocals "
수직인 두 직선의 기울기를 서로 곱하면, 왜 항상 – 1 이 성립하는지에 대한 질문이 있어, 이에 대한 보충 설명을 하도록 합니다.
고등 수학의 이과 과정까지 공부를 한 학생이라면, 아래의 방법 등으로 간단하게 증명할 수 있습니다.
(a) 행렬을 이용한 90˚ 회전 변환 (rotation matrix)
(b) 삼각함수의 덧셈정리를 활용한 tan (α – β) = π / 2 (formula for the difference of tangents)
(c) 벡터의 내적을 이용한A • B = |A| |B| cos θ = 0 (inner product of vectors)
그러나, 일반적인 중학생 또는 문과 고등학생의 수준에 맞도록, (1) 도형기하 (synthetic geometry) 와 (2) 해석기하 (coordinate geometry) 의 2 가지 증명 방법만으로 설명하고자 합니다.
물론, 기하를 이용한 증명 과정의 설명이 더 복잡하고 지루할 수도 있습니다만, ' 좌표평면에서의 계산' 을 이용하는 해석기하의 방법은, 고등수학에서 배우는 내용이니까, 응용력의 향상을 위해서라도 철저하게 기본개념과 해결과정을 이해해 두기 바랍니다.
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[ A ] 도형 기하 (synthetic geometry) 의 방법
직선을 평행 이동시켜도 그 기울기는 변하지 않으니까, 원점을 지나면서 기울기가 서로 수직인 두 직선으로 예를 들어서, 두 기울기의 곱 = – 1 이라는 것을 증명하더라도, 일반성을 훼손하지 않겠지요?
그러면, 아래의 그림에서 원점을 지나는 빨간색과 파란색의 두 직선을 가지고 설명합니다.
(1) 아래의 그래프와 같이 파란 직선 위의 한 점 B 를 잡고 이 점에서 x 축으로 수선을 내려 수선의 발을 A 라 합니다.
(2) 이번에는, 빨간색 직선 위에 OB = OE 가 되도록 점 E 를 잡습니다. 또, 점 E 에서 y 축으로 수선을 내려 수선의 발을 D 라고 합니다.
(3) 위 그림에서 보이는, 파란색과 빨간색의 두 직각삼각형 ΔOAB 와 ΔODE 는 서로 합동 즉, 기호로는 ΔOAB ≡ ΔODE 입니다. 왜냐하면, 아래와 같이 직각삼각형의 [RHA] 합동조건 혹은 삼각형의 [AAS] 합동조건이 성립하기 때문입니다.
(a) 수선을 내렸으니까, ∠A = ∠D = ∠R = 90˚
☞ Right angle (or Angle)
(b) 처음부터 길이가 같도록 잡았으니까, OB = OE
☞ Hypotenuse (or Side)
(c) 또, ∠EOD +∠DOB = ∠DOB + ∠BOA = ∠R = 90˚ 이므로, ∠EOD = ∠BOA
☞ Angle
♧ 참고로 우리나라에서는 직각삼각형의 [RHA] 합동조건을 사용하고 있지만, 대부분의 영어권 국가에서는 삼각형의 [AAS] 합동조건의 방법으로 가르치고 있습니다.
(4) 두 직각 삼각형은 서로 합동이니까, AB = DE 이고 OA = OD 가 됩니다.
(5) 여기서, 파란색 직선의 기울기는 AB ÷ OA 이고, 파란색 직선의 기울기는 DE ÷ (– OD) 이므로, 두 직선의 기울기를 서로 곱하면 – 1 이 됩니다.
(AB ÷ OA) x {OD ÷ (–DE)}
= (AB ÷ OA) x {OA ÷ (–AB)}
= – 1
[ B ] 해석 기하 (coordinate geometry) 의 방법
직선을 평행 이동시켜도 그 기울기는 변하지 않으니까, 앞에서와 같이, 원점을 지나는 빨간색과 파란색의 두 직선을 가지고 설명합니다.
해석기하에서는 상대적으로 계산이 복잡해지기 때문에, 일반성을 훼손하지 않는 범위내에서 최소의 미지수를 사용해야 좋습니다.
(1) 아래 그림에서 파란색 직선의 기울기를 k, 빨간 직선의 기울기를 m 이라 정하고, x 축 위에 두 점 C = (a, 0) 와 D = (b, 0) 를 잡습니다.
(2) 그리고, 두 점 C, D 에서 검은색 점선으로 표시된 수선을 올려서, 만나는 파란 직선 위의 점을 A 그리고 빨간색 직선 위에 점을 B 라고 하면,
(3) 직선 위에 있는 점들은 직선식을 만족해야 하니까, 문자로 된 기울기의 값을 적용하면, A = (a, ka) 그리고 B = (b, mb) 라고 놓을 수 있겠지요?
문자로 정하는 것이니까, x 좌표나 기울기의 부호 (+/–) 와 전혀 상관이 없다는 점에 유의하세요.
(4) 각 점들의 좌표를 대입하여, 직각삼각형 세변의 길이를 구하면,
OA2 = a2 + (ka)2
OB2 = b2 + (mb)2
AB2 = (a – b)2 + (ka – mb)2
(5) 이제, 위 그림에서 보라색의 칠해진 ΔOAB 를 보면 직각삼각형이니까, [피타고라스의 정리] 를 적용하면,
OA2 + OB2 = AB2
a2 + (ka)2 + b2 + (mb)2 = (a – b)2 + (ka – mb)2
0 = – 2ab – 2kamb
0 = – 2ab (1 + km)
(5) 그런데, 위 식에서 a 도 b 도 0 이 아니니까, km = – 1. 즉, 두 기울기의 곱은 – 1.
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전공 공부를 하다가 이 사실이 고등학교 때 배운 내용같아서 찾아보는 중이었는데 아주 명쾌하게 잘 설명해주셨네요. 덕분에 확실히 이해하고 갑니다! 혹시 처음에 설명하신 세 가지 방법으로도 증명하신 글이 있나요?
답글삭제고교 이과과정의 행렬변환과 벡터 그리고 삼각함수 단원의 개념을 이용하면 간단하게 증명이 됩니다.
답글삭제관심을 가져 주셔서 감사하고, 추후 여건이 가능해지면 별도로 자세한 설명글을 게시하도록 하겠습니다.
뉴턴의 프린키피아라는 책을 읽다가 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라고 나와있느데, 어렴풋이 기억은 나는데 막상 증명하려니 막연했는데 잘 보고 갑니다^^
답글삭제이용해 주셔서 감사합니다.
답글삭제혹시 아직까지 하시는지 모르겠지만 B 방법에서 보라색 삼각형이 직각 삼각형임을 어떻게 알 수 있나요?? 공부하는데 저 부분이 이해가 안 가서요 도움 많이 받고 갑니다 감사해요!
답글삭제B 방법도 '두 직선이 수직으로 만난다면 ~'이라고 가정하고 나서 ' 그 두 기울기의 곱은 -1 이다' 라고 결론을 도출하고 있지요? 이때 두 직선이 수직으로 만난다는 전제가 바로 보라색 삼각형이 직각이라는 것과 똑같은 이야기인 것이지요.
답글삭제공식을 증명하는 과정이 되게 흥미롭네요
답글삭제해석기하의 방법4번에서 (a-b)제곱이 왜 때문에 들어가는지 궁금합니다.
답글삭제변 AB의 제곱 = x좌표 차이의 제곱 + y좌표 차이의 제곱인데, x좌표 차이의 제곱인 (a-b)제곱이 실수로 누락되었네요. 본문 내용을 바로 잡았습니다.
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