약수와 배수(5) 약수의 개수와 합
약수의 개수와 합
the number and sum of factors
"아래 도표의 이미지를 기억하면 아주 쉬워요"
" just keep in mind
the image of the table shown below "
양 (+) 의 약수의 개수와 그 합의 문제는, 중고등과정 수학에서 수시로 등장하는 중요한 유형입니다.
중학 수학에서의 완전 제곱수 관련 문제나 고등과정에서의 수열의 합 등에서, 결합된 형태의 유형으로 자주 출제되고 있습니다.
반드시 아래에서 설명되는 도표 이미지를 기억해 두고 정확한 개념, 유도 과정과 응용력을 익혀서, 항상 활용할 수 있도록 해 두어야 합니다.
♧ ♧ ♧ ♧ ♧ ♧
[ A ] 양(+)의 약수의 개수 (the number of positive factors)
예를 들어, 12 의 양 (+) 의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이지요? 그럼 이 숫자들은 어떤 원리에서 구해지는 걸까요?
12 = 22 x 3 이니까, 아래의 표에서 보는 것과 같이, 소인수인 2 와 3 이 서로 곱해지면서 약수를 만들어 냅니다.
20 = 1
|
21 = 2
|
22
| |
30 = 1
|
1 x 1
|
1 x 2
|
1 x 22
|
31 = 3
|
3 x 1
|
3 x 2
|
3 x 22
|
(1) 위의 표에서 보면, 소수 2 가 곱해지는 경우의 수는 간단하게 지수 숫자의 종류로 표현한다면, 0, 1, 2 의 3 가지이고, 소수 3 이 곱해지는 경우의 수는 지수의 숫자로 0 또는 1 의 2 가지입니다.
(2) 따라서, 서로 곱해지는 전체 경우의 수는 3 x 2 = 6 가지가 됩니다. 위의 표에서, 이 원리를 자세히 들여다 보면, 각 소인수의 최고차 지수에 1 을 더한 숫자들의 곱이 된다는 것을 알 수 있습니다.
(2 + 1) x (1 + 1) = 6
이 원리를 이용해서, 이번에는 360 의 양의 약수의 개수를 구해 볼까요?
(1) 소인수분해를 해서, 지수형태의 소수들의 곱으로 바꾸면,
360 = 23 x 32 x 5 = 23 x 32 x 51
(2) 따라서, 양의 약수의 개수는
(3 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 24
[ B ] 양(+)의 약수의 총합 (sum of positive factors)
그러면, 위에서 공부했던 예제의 12 = 22 x 3 의 양 (+) 의 약수들의 총합은 어떻게 구할 수 있을까요? 바로, 위의 도표에서 푸르게 색칠된 셀들의 합을 구하면 됩니다.
1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 22 + 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 22
= 1 x (1 + 2 + 22) + 3 x (1 + 2 + 22)
= (1 + 3) x (1 + 2 + 22)
= 28
이제, 공부한 내용을, 문자를 써서 공식으로 일반화시켜 볼까요?
자연수 N = aα x bβ x ⋯ x zω 로 소인수분해가 될 때,
(1) N 의 양의 약수의 개수는,
(α + 1) x (β + 1) x ⋯ x (ω + 1)
(2) N 의 양의 약수의 총합은,
(1 + a + a2 + ⋯ + aα) x (1 + b + b2 + ⋯ + bβ) x
⋯ x (1 + z + z2 + ⋯ + zω)
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