약수와 배수(1) 인수, 약수와 배수

약수와 배수

factors and multiples

"소수를 알면

숫자가 쉽게 보여요"

" having learned prime factors,

any integer looks easy "

정수범위 내에서, 소수 (prime number) 는 더 이상 나누어지지 않는 기초단위라서, 숫자를 이해하는 데 아주 편리합니다.

정수를 소수들의 곱으로 분해해 보면, 숫자들 사이에 공통적인 요소를 쉽게 알아낼 수 있어, 공약수나 공배수를 찾아 내서 영리한 계산을 하는 데에도 큰 도움이 되지요.

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하면, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각하고 처리할 수 있어서, 일반적인 원리나 공식을 유도해 내거나 응용력을 향상시킬 수 있습니다.

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예를 들어 14 를 3 으로 나누면 몫이 4 이고 나머지가 2 라고 할 때, 초등 산수에서는 14 ÷ 3 = 4 ⋯ 2 와 같은 표현을 쓰지만, 중학수학부터는 반드시 14 = 3 * 4 + 2 라는 하나의 식으로 나타낼 줄 알아야 합니다.

이 내용을 문자로 일반화시켜 볼까요?

문자나 수학기호만 나오면 멀미(^^)가 난다구요?

처음에는 어렵겠지만, 조금씩 익숙해지면, ‘어쩌면 이렇게 간단하면서도 논리적으로 정교한 언어가 만들어 졌을까’ 하고 경탄하게 될 겁니다. 진정한 수학의 재미는 기호와 문자를 이용한 일반화에 있으니까요.

위에서 예를 들었던 나눗셈을 문자로 일반화시킨다면, 'A 를 0 이 아닌 B 로 나누면, 몫이 Q(quotient)이고, 나머지가 R(remainder)이다' 라고 하고, 식으로는 A = B * Q + R 로 나타낼 수 있습니다. 

이번에는 나누어 떨어지는 경우를 생각해 볼까요?

나누어 떨어진다면, 나머지가 없겠지요?

즉, 문자로 나타내면 R = 0 이니까, 식으로는 A = B x Q 라고 표현할 수 있겠지요?

이렇게 나머지가 없이 나누어 떨어질 때, A 는 B 와 Q 의 곱이니까, A 는 B 또는Q 의 배수라고 합니다. 또, B 와 Q 는 A 의 약수 또는 인수라고 합니다. 

특히, 중학 수학부터는 A, B, Q 가 모두 정수인 경우로 확장됩니다.

예를 들자면, 6 = 2 * 3 = 1 * 6 = (– 2) * (– 3) = (– 1) * (– 6) 이 성립하니까,

1, 2, 3, 6, – 1, – 2, – 3, – 6 은 모두 6 의 약수가 됩니다.

또, – 3 의 경우도 – 3 = 1 x (– 3) = 3 x (– 1) 이 성립하니까,

1, 3, – 1, – 3, 은 모두 – 3 의 약수가 되지요. 

(1) 짝수와 홀수

예를 들어, A = 2Q 라고 표현하면 A가 2 의 배수 즉, 짝수라는 것을 나타내고, A = 2Q – 1 인 경우는 홀수를 나타내는 것입니다.

마찬가지로, 중학 수학부터는 A, Q 가 모두 정수인 경우로 확장되니까, Q 가 0 이거나 음수(–) 인 경우도 포함되므로, 2, 4, 6 ⋯ 만이 아니라, 0, – 2, – 4, – 6 ⋯ 도 짝수라는 점에 주의해야 합니다. 

(2) 소수와 합성수

'소수' 는 1 과 자기자신 이외에는 약수를 갖지 않는, 1 보다 큰 자연수(* 정수가 아니라는 점에 주의) 를 말합니다. 이 소수들은 '합성수' 를 분해해서 보거나, 두 개 이상의 합성수들 사이에서 공통되는 인수를 알아내는 데 아주 유용합니다. 

'합성수' 는 '1 과 자기자신 이외에, 적어도 하나 이상의 다른 양(+) 의 약수를 갖는, 1 보다 큰 자연수' 라고 정의하니까, '1 보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수' 라고 말하기도 합니다. 

따라서 자연수는 '1' 과 '소수들' 과 '합성수들' 의 3 가지로만 이루어져 있다고 할 수 있겠지요? 

예를 들어, 90 과 132 는 어떤 공통점을 가지고 있을까요?

90 과 132 를 소수로 분해해 보면 되겠지요? 소인수로 분해하면, 서로 2 와 3 이라는 공통점 즉, 이라는 공통인수(공약수)를 가집니다. 

90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

132 = 2 x 2 x 3 x 11 = 2² x 3 x 11

여기서, (1) 교집합의 개념을 이용해서, 90 그리고(∩) 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서 가장 큰 것인, 2 x 3 = 6 을 최대공약수(G),

(2) 합집합의 개념을 이용해, 90 또는(∪) 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서 가장 작은 것인 2² x 3² x 5 x 11 = 1980 을 최소공배수(L) 라고 하고,

기호로는 G (90, 132) = 6 과 L (90,132) = 1980 와 같이 사용합니다. 

모든 정수를 이렇게 소수로 분해 (소인수분해) 하고 나면, 여러 개의 수 사이의 공약수나 공배수를 찾기가 쉬워서, 공통인수로 약분을 하거나 분배법칙으로 묶어서 계산할 때, 아주 편리합니다. 

예를 들어 계산문제를 한 번 볼까요?

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하고, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각해 보세요. 공통인수로 묶거나 약분으로 정리가 모두 끝난 다음, 마지막에만 간단히 계산하면 모든 문제가 너무 쉽고 간편해 지지요.

132 ÷ 18 x 5 – 90 x 11 ÷ 36

= (2 * 2 * 3 * 11) ÷ (2 * 3 * 3) * 5 – (2 * 3 * 3 * 5) * 11 ÷ (2 * 2 * 3 * 3)

= (2 * 2 * 3 * 11 * 5) / (2 * 3 * 3) – (2 * 3 * 3 * 5 * 11) / (2 * 2 * 3 * 3)

약분해 주면

= (2 * 11 * 5) / 3 – (5 * 11) / 2

공통인수를 묶어주면

= 5 * 11 * (2/3 – 1/2)

최소공배수(L)로 분모를 통분하면

= 5 * 11 * (4/6 – 3/6)

= 5 * 11 * 1/6

= 55/6

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