소수(4) 문자로 표시된 순환소수
문자로 표시된 순환소수
repeating decimals expressed in letter form
" 두자리 수 ab 를 식으로 나타내면 10a + b "
" 2-digit number 'ab ' should be expressed as 10a + b "
중고등수학에서의 상위권 실력을 갖춘다는 것은, 문자로 표시되는 일반화, 추상화, 기호화의 개념을 충분히 익혀서 자기 것으로 만들고, 유사한 문제를 만났을 때, 이 개념들을 이용해, 해결해 나갈 수 있는 응용력을 키우는 것입니다.
순환하는 무한소수가 숫자 대신에 문자로 주어지는 경우, 많은 학생들은 크게 당황하게 됩니다만, 이 때에도 앞에서 공부한 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 그대로 활용하면 됩니다.
반드시 기본개념을 확실하게 이해하고 익혀 둔 다음에, [순환소수를 분수로 바꾸는 공식] 은 시험에 대비한 시간절약의 목적으로 이용하는 것이 바람직합니다.
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숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배웠던 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
다만, 문자로 표시했을 때, 정수 부분의 자릿수를 표시할 때는, 아래에 예를 든 것과 같이, 십진법의 표시에 주의를 해야만 합니다.
ab = 10a + b
ba = 10b + a
ab.c = 10a + b + c/10
이제, 예제를 풀어 보도록 할까요?
한 자리의 자연수 a 가, 아래의 부등식을 만족한다고 할 때, a 의 값을 구하여라.
7/12 < 0.aaa ... < 7/10
(1) 숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배운 대로 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
(2) x = 0.aaa ... 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 10 을 곱해 주면 되겠지요?
a 는 한 자리수이니까, 숫자와 똑같이 계산하면 됩니다.
x = 0.aaa ... ⋯ ①
10 x = a.aaa ... ⋯ ②
(2) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
② ‐ ① : [ 가감법 ]
9 x = a
∴ x = a / 9
(3) 이제, 주어진 부등식에 대입한 후에, 분모들의 최소공배수 180을 곱해 주면,
7/12 < a/9 < 7/10
105 < 20a < 126
5.25 < a < 6.3
∴ a = 6
이번에는, 조금 더 어려운 예제를 풀어 볼까요?
p < q 인, 한 자리의 자연수 p 와 q 가 아래의 식을 만족할 때, p 와 q 의 값을 구하여라.
0.pqpq ... + 0.qpqp ... = 0.444 ...
(1) 숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배운 대로 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
(2) x = 0.pqpqpq ... 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 100 을 곱해 주면 되겠지요? p 는 한 자리수이니까, 숫자와 똑같이 계산하면 됩니다.
x = 0.pqpqpq ... ⋯ ①
100 x = 10p + q + 0.pqpqpq ... ⋯ ②
(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
② ‐ ① : [ 가감법 ]
99 x = 10p + q
∴ x = (10p + q) / 99
(4) 같은 방법으로, 나머지 문자표시 순환소수도 분수로 바꿔 주면,
y = 0.qpqpqp ... ⋯ ①
100 y = 10q + p + 0.qpqpqp ... ⋯ ②
② ‐ ① : [ 가감법 ]
99 y = 10q + p
∴ y = (10q + p) / 99
(5) z = 0.444 ... = 4/9
(6) 따라서, 이 결과들을 주어진 식에 대입한 후 간단하게 정리하면,
(10p + q)/99 + (10q + p)/99 =
(11p + 11q)/99 =
∴ p + q = 4
그런데, p < q 라 했으므로
(p, q) = (1, 3)
마지막으로, 문자로 표시된 아래의 순환소수를 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용해서 분수로 나타내 볼까요?
a.bpqpqpq ...
(1) x = a.bpqpqpq ... 라 놓고, 양변에 10 을 곱한 식과 1000 을 곱한 식 2 개가 있어야 하겠지요?
10 x = 10a + b + 0.pqpqpq ... ⋯ ①
1000 x = 1000a + 100b + 10p + q + 0.pqpqpq ... ⋯ ②
(2) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
② ‐ ① : [ 가감법 ]
990 x = 990a + 99b + 10p + q
∴ x = (990a + 99b + 10p + q) / 990
참고로, 이 결과를 그냥 공식에 대입해서 같은 지를 확인해 볼까요?
(1) 공식에 그대로 대입하면, 소수점 아래에서 순환마디의 개수가 2개, 순환마디에 포함되지 않는 숫자가 1개이니까, 분모는 990
(2) 이제, 분자는 그대로 쓰면, abpq – ab 라고 착각하기 쉽지만, 문자로 표시된 경우에는 앞에서 배운대로, 정수부분의 자릿수는 주의를 해서 표현해야 되겠지요?
(1000a + 100b + 10p + q) – (10a + b)
= 990a + 99b + 10p + q
∴ (990a + 99b + 10p + q) / 990
그동안 단순하게 암기하였던 순환소수를 분수로 바꾸는 공식이, 우리가 앞에서 공부한 [똑같은 꼬리를 자르는 기법] 의 유도과정 그리고 결과와 똑같다는 것을 알 수 있어요.
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