제곱근(5) 제곱근의 성질

제곱근의 성질

square root rules

"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"

" square root is a gateway to

solving quadratic equations "

원칙적으로 중 3 과정에서는 실수 범위 내에서의 제곱근 즉, 루트 기호 안의 부호가음 (–) 이 아닌 경우만을 배우고, 고 1 과정부터 비로소 음수 (–) 의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 공부하는 것이 표준 교과입니다만,

중 3 과정이라 하더라도, 문자로 표시되는 일부의 심화수준의 문제에서는 실질적으로는 음수(–) 제곱근의 경우도 포함되는 경우가 있습니다.

상위권 학생이나 이과 지망생들의 경우에는, 중 3 과 고 1 과정의 중복 및 심화되는 내용에 대해서는 어느 정도의 선행학습도 불가피한 것이 현실이므로,

기초적인 수준에서 음수 (–) 의 제곱근인 허수 또는 복소수의 개념도 추가로 설명할 예정이니 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

앞의 제곱근의 곱셈에서 이미 공부한 대로, (√3)² = 3 이 됩니다. 문자로 일반화 시켜서 표현한다면, (√P)² = P 가 되지요.

( √3 )² = ( √3 ) * ( √3 ) = 3

( – √3 )² = ( – √3 ) * ( – √3 ) = 3

* 참고로, 고등수학 과정인 허수 (복소수) 에 해당하지만, 위의 이 성질은 P 가 음수 (–) 인 경우에도 항상 성립합니다.

(√ – 3 )²

= (√ – 3 ) * (√ – 3 )

= (√ 3  * √ – 1 ) * (√ 3  * √ – 1 )

= (√ 3  * i ) * (√ 3  * i )

= √ 3  * √ 3  * i  * i  

= 3 * i ²

= – 3

∴  (√ P )² = P for any real number P

e.g.

(√ – k )² = – k

그렇다면, 모양이 조금 다른 √(P²) 은 어떻게 계산할 수 있을까요?

이 질문은 조금 어려운 문제이니까, P 가 (1) 양수 (+) 일 때와 (2) 음수 (–) 일 때로 나누어 살펴보기로 합니다.

(1) P 가 양수 (+) 일 때

예컨데, √(5²) = 5

∴  √(P²) = P

(2) P 가 음수 (–) 일 때

예컨데, √{(–5)²} = √(25) = 5

= – ( – 5)

∴  √(P²) = – P

(3) 앞에서 배웠던 절대값의 성질과 똑같지요? 따라서, 표준수학에서는 아예 절대값으로 정의하고 있으니, 반드시 외워두기 바랍니다.

√(P²) = | P |

↱ = P      if P ≥ 0

↳ = – P   if P < 0

그러면, 공부한 내용을 문자로 일반화시켜서, 공식으로 정리해 두도록 할까요?

---

임의의 실수 P 에 대하여,

(1) (√P)² = P

(2) √(P²) = | P |

---

따라서, 양(+)의 실수 A, B 에 대하여는 아래와 같은 규칙이 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

√(A² * B)

= √(A²) * √B

    (+)       .

= | A | * √B

= A√B

∴  √(A² * B) = A√B  또는  A√B = √(A² * B)

그러면, 관련된 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?

---

아래의 식을 간단히 하여라.

√ 108  ÷ √ 18  x √ 200  ÷ √ 75 

---

우선, 주어진 식을 A√B 의 형태로 바꾸는 것이 좋겠지요?

√ 108  ÷ √ 18  * √ 200  ÷ √ 75 

= √(3 * 6²) ÷ √(2 * 3²) * √(2 * 10²) ÷ √(3 * 5²)

= 6√3 ÷ 3√2 * 10√2 ÷ 5√3

= (6√3 * 10√2) / (3√2 * 5√3)

= (6 * 10) / (3 * 5)

= 4

---

아래의 세 무리수 중에서 가장 작은 것을 찾아내라.

4√ 2 ,  3√ 3 ,  2√ 7 

---

(1) 우선, 주어진 수들을 같은 기준으로 비교하려면 √(A² * B) 의 형태로 바꾸어야 하겠지요?

4√ 2  = √(4² * 2) = √ 32 

3√ 3  = √(3² * 3) =  √ 27 

2√ 7  = √(2² * 7) =  √ 28 

(2) 이제, 앞에서 배웠던 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A² = B² 은 동치 즉, 필요충분조건 ] 이라는 것을 이용하면 되겠지요?

27 < 28 < 32

∴  3√3 < 2√7 < 4√2

그러면, 이번에는 문자로 표현된, 조금 어려운 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?

---

a < 0 이고, b < a 일 때, 아래의 식을 간단히 하여라.

√(9 * a²) + √{4 * (b – a²)} – √{( – a)²}

---

(1) 우선, √(P²) 의 형태로 바꾸어야 하겠지요?

√(9 * a²) + √{4 * (b – a²)} – √{( – a)²}

= √(3a)² + √{2(b – a)}² – √( – a)²

(2) 이제, √(P²) = | P | 를 이용한 다음, 각 항들의 부호를 살펴보면 됩니다.

.  (–)             (–)          (+)

= | 3a | + | 2(b – a) | – | – a |

(3) 마지막으로, 절대값 안의 부호에 따라 계산하면,

= – 3a – 2(b – a) – ( – a )

= – 3a – 2b + 2a + a

= – 2b

마지막으로 한 문제 더 풀어 보도록 할까요?

---

0 < a < 1일 때, 아래의 식을 간단히 하여라.

√{a + (1/a)}² + {√(– a)}² – √{a – (1/a)}²

---

(1) 우선, √(P²) = | P | 와 (√P)² = P 를 이용하면 되겠지요?

√{a + (1/a)}² + {√(– a)}² – √{a – (1/a)}²

.  (+)                          (–)

= | a + (1/a) | + ( – a) – | a – (1/a) |

(2) 절대값 안의 부호에 따라, 간단히 하면,

= a + 1/a – a – ( – a + 1/a)

= a + 1/a – a + a – 1/a

= a

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

Please click the following link

to read English translation.

http://jaymathbee.blogspot.kr

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧