절대값 일차부등식(1)
absolute value
inequalities
"그래프를 활용하니까 절대값 부등식도
이해가 너무 쉽고 잘 외워져요"
" function graph makes it easier
to solve absolute value inequalities "
절대값이 포함된 부등식도, 절대값 방정식의 경우와 같이 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산하는 것이 표준적인 방법이지만,
기본형의 경우에는, 그래프를 이용해서 원리를 이해한 다음에, 필요할 때 그 이미지만 머리속에 떠올린다면 마치 항상 외워두고 있는 것같이 아주 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.
특히, 이 방법은 이차 또는 고차부등식에서 그대로 활용할 수 있는 개념이므로, 해결과정과 원리을 확실하게 이해해 두어야 합니다.
이 단원 역시 매우 중요한 내용이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두시기 바랍니다.
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절대값 부등식 | x | < 3 을 풀어 보도록 할까요?
절대값 방정식과 함수에서 배운 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.
(A) x < 0 일 때
|
(B) x ≥ 0 일 때
|
– x < 3 ∴ (P) – 3 < x |
(Q) x < 3
|
논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,
∴ (– 3 < x < 0) ∪ (0 ≤ x < 3)
∴ – 3 < x < 3
앞의 [절대값 일차방정식] 단원에서 배웠던, 논리 다이어그램으로 보면,
(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념입니다. 다시 복습이 필요한 분은 아래의 링크를 참고하세요.
이번에는 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?
(1) 부등식 | x | < 3 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
y = f (x) = | x | vs. y = g (x) = 3
(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 3 보다 작다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.
(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 3 의 양 끝 경계선은 포함되지 않는다는 점에 주의하세요.
∴ – 3 < x < 3
이번에는 다른 유형의 절대값 부등식 | x | ≥ 2 을 풀어 보도록 할까요?
이번에도, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.
(A) x < 0 일 때
|
(B) x ≥ 0 일 때
|
– x ≥ 2
|
x ≥ 2
|
논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,
(x ≤ – 2) ∪ ( x ≥ 2)
∴ x ≤ – 2 or x ≥ 2
이번에도 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?
(1) 부등식 | x | ≥ 2 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
y = f (x) = | x | vs. y = g (x) = 2
(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 2 보다 크거나 같다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.
(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 2 의 양 끝 경계선은 포함됩니다.
∴ x ≤ – 2 or x ≥ 2
참고로, 위의 (1) 에서 좌변과 우변의 그래프를 결정할 때, 일반적으로 많이 쓰이는 방법입니다. 부등식을 | x | – 2 ≥ 0 의 형태로 즉, 우변을 0 으로 바꾸어 줌으로써, 함수 그래프와 x 축만의 관계로 해결하는 것이 보다 편리합니다.
y = f (x) = | x | – 2 vs. y = g (x) = 0
(1) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | – 2 가 빨간색으로 표시된 x 축 보다 크거나 같다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾는다.
(2) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽으면, x = 2 와 x = – 2 인 경계선이 포함되니까,
∴ x ≤ – 2 or x ≥ 2
지금의 예와 같이, 절대값 하나와 숫자만 있는 기본형의 경우에는, 그 결과를 정리하고 기억해 두면 아주 편리합니다. 문자로 일반화해서 정리해 둘까요?
a, b 가 양수 (+) 일 때, 절대값 일차부등식의 해는
| x | < a ☞ – a < x < a
| x | ≤ a ☞ – a ≤ x ≤ a
| x | > b ☞ x < – b or x > b
| x | ≥ b ☞ x ≤ – b or x ≥ b
이제, 이 기본형 절대값 부등식의 해결원리를 그래프의 이미지와 함께 잘 기억해 두면,
| x – 2 | ≥ 3 과 같이 변형된 문제 유형도 쉽게 해결할 수 있습니다.
x – 2 = k 로 간단하게 치환하기만 하면, | k | ≥ 3 가 되니까, 위에서 정리했던 결과를 그대로 적용하면 됩니다.
k ≤ – 3 or k ≥ 3
∴ x – 2 ≤ – 3 or x – 2 ≥ 3
따라서, 답은 x ≤ – 1 또는 x ≥ 5
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