일차함수(4) 일차식과 직선의 관계

일차식과 직선의 관계

relationship between linear equations & function graphs

"수직선을 이용하면 연립부등식 풀이도

아주 쉬워지고 실수도 안해요"

" number line diagram makes it easier

to solve systems of inequalities "

일차식을 그래프로 나타내면 직선이 되고, 직선의 그래프를 식으로 나타내면 일차식이 되니까, 함수 방정식과 그 그래프는 마치 동전의 양면과 같다는 아주 중요한 개념입니다.

방정식이나 함수식으로 해결하는 방법은, 마치 나무를 하나 하나 세밀하게 논리적으로 보며, 미시적으로 계산하는 것과 같다고 한다면,

그래프로 해결하는 방법은 직관적이며, 마치 거시적으로 숲을 보면서 문제를 해결하는 종합적인 관점이라고 할 수 있습니다.

중, 고등과정에서는 문제로 주어지는 방정식이나 함수식이 거의 대부분 그래프로 그려지는 범위 내에서 공부하기 때문에, 그래프로 생각하고 해결하는 것이 상대적으로 유리하고, 상위수준의 방법이라 할 수 있습니다.

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앞에서 배운, 일차방정식을 복습해 볼까요?

(1) 5x – 2 = 2x + 7 을 계산할 때,

(2) [등식의 성질]을 이용하면,  3x = 9

(3) 따라서, 양변을 3으로 나누면,  x = 3

위 내용을 각각의 단계별로 그래프를 이용해서 비교해 볼까요?

(1) 좌변과 우변을 각각의 함수식으로 생각하면, y = 5x – 2 와 y = 2x + 7 의 두 직선식이 같다는 뜻이지요? 따라서, 아래 그림에서 파란색 두 직선의 교점 A 이 됩니다.

(2)번의 식에서도, 양변을 각각의 함수식으로 생각하면,  y = 3x 와 y = 9 의 두 직선식이 같다는 뜻이고, 아래 그림에서 빨간색 두 직선의 교점 C 가 됩니다.

(3) 마지막으로, 양변을 각각 함수식으로 생각하면,  y = x 와 y = 3 의 두 직선의 식이 같다는 뜻이고, 위 그림에서 검은색 두 직선의 교점 E 가 됩니다.

(4) 또는, x = 3 을 그대로 그래프로 나타내면, y 값에 관계없이 x 값은 언제나 3 이라는 뜻을 갖는, x 축에 수직인 초록색 점선을 나타냅니다.

(5) 즉, 하나의 방정식은 [등식의 성질]을 이용해서 여러 가지로 바꾸더라도, 등호가 성립하는 한, 좌변과 우변의 함수식으로 나타내는 두 그래프의 교점의 x 좌표는 언제나 그 방정식의 해가 된다는 것을 알 수 있습니다.

따라서, 방정식을 그래프로 풀 때에는, 식의 등호가 성립하는 한, 문제를 풀기 쉬운 형태로 바꾼 후, 그래프에서 두 직선의 교점의 x 좌표를 구하면 됩니다.

특히, 방정식을 f (x) = 0 의 꼴로 정리한다면,

(1) 우변의 그래프는 항상 y = 0. 즉, x 축이 되니까, 해를 구하는 것이 더욱 편리해 지겠지요?

(2) 그래서, 주어진 방정식을 풀 때에는, f (x) = 0 의 꼴로 정리한 다음, 우변만 y = f (x) 라는 한 개의 그래프만 가지고 x 축과의 교점을 생각하는 것이 일반적입니다.

특히 조금 어려운 문제의 유형에서 방정식의 x 값을 구하는 것이 아니라, 해의 개수를 묻는 경우에는, 그래프의 교점의 개수만 알면 되니까 당연히 그래프만으로 풀어내야 하지요.

예를 하나 볼까요?

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 다음 방정식이 2개 이상의 해를 갖도록 하는 k 값의 범위를 구하여라.

       x + | 2 x – 1 | = k – 3

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(1) x 값을 구하는 것이 아니라, 해의 개수를 묻는 경우이니까, 당연히 그래프 만으로 풀어내야 하겠지요?

(2) 좌변과 우변을 어떻게 놓아야, 그래프를 쉽게 그리기가 좋을까요?

     식을 | 2 x – 1 | + 3 = – x + k 로 정리한 다음,

(3)  y = | 2 x – 1 | + 3 ⋯ ① 과  y = – x + k ⋯ ② 로 놓고 그래프를 그리는 것이 보다 쉬운 방법이겠지요?

(4) 위의 그래프에서 y = | 2 x – 1 | + 3 ⋯ ①은 검은색의 꺽인 실선이고, 우하향의 직선들이  k 값의 변화에 따른 y = – x + k ⋯ ②를 나타내지요?

(5) 빨간색 점선일 때는 만나지 않고, 파란색 실선일 때 교점이 1개가 되는군요…

(6) 그래프에서 보면, 파란색 실선보다 위에 있는 파란색 점선들인 경우에야 2개의 교점을 갖지요?  따라서, 답은 k > 3.5

이제, 비슷한 유형의 확인 문제를 혼자서 한번 더 풀어 보세요.

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 방정식 x – | | x | – 1 | + k = 0 가 오직 하나의 해를 갖도록

  k 값의 범위를 구하여라.

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