일차방정식(1) 일차방정식

일차방정식

linear equations

"이항해서 x 를 구한다는 게 등식의 원리를 이용하는 것이었군요"

" finding x by moving to other side

is based on the properties of equality "

초등과정까지는 간단한 자연수의 답을 구하는 문제들이 대부분이라, 영리하지만 수학적 개념이 부족한 학생 중에는, 미리 예상 가능한 자연수 몇 개만 암산으로 슬쩍 대입해서 구해 버리는 경우가 종종 있습니다.

그러나, 중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 스스로 공부해 나갈 수 있습니다.

응용력이 생길 때까지는, 숫자로 된 간단한 일차방정식이라도 등식의 원리를 따져 보면서 풀고, 실생활 응용 유형의 문장을 방정식으로 표현하는 연습을 꾸준히 해 두기 바랍니다.

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기차표 4 장을 샀더니, 3 만원을 할인해 주어서 모두 17 만원을 지불했을 때, 표 1 장당 원래 가격은 얼마이었는지를 구하려면, 기차표 1 장당 가격을 x 만원이라고 놓고, 아래와 같이 식을 세울 수 있습니다.

4x – 3 = 17

이 때, 이 x 를 변수라 부르고, x 의 최고차항이 1 차이니까, 일차방정식이라고 합니다.

이제, 이 일차방정식을 풀려면, (a) 양변에 3 을 똑같이 더해 준 다음, (b) 양변을 똑같이 4 로 나누어 주면 되겠지요?

(a) 4x – 3 + 3 = 17 + 3    ∴   4x  = 20

(b) 4x ÷ 4 = 20 ÷ 4    ∴   x  = 5

따라서, 답은 5 만원. 

이렇게 풀어 낼 수 있는 원리는, 양변을 똑같은 수로 더하고 빼거나, 곱하거나 나누어도

원래의 등식은 변하지 않는 않는다는 등식의 원리를 이용한 것입니다.

여기서, 등식의 성질 (properties of equality) 을 한 번 정리해 두도록 할까요?

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실수 a, b, c 에 대하여, a = b 라는 등식이 성립할 때,

       (1)  a + c = b + c         ☞  (addition property)

       (2)  a – c = b – c         ☞  (subtraction property)

       (3)  a x c = b x c         ☞  (multiplication property)

       (4)  a ÷ c = b ÷ c  if c ≠ 0   ☞  (division property) 

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일차방정식 5x – 2 = 2x + 7 을 푸는 과정에서 한 변에 x 항들을, 다른 변에는 숫자인 상수항들을 모아 주고 답을 구할 때, 어떤 원리들이 사용되었는지 다시 한번 단계별로 살펴보도록 하지요.

5x – 2 – 2x = 2x + 7 – 2x    subtract 2x from each side

3x – 2 = 7                           simplify

3x – 2 + 2 = 7 + 2              add 2 to each side

3x  = 9                                simplify

3x  ÷ 3 = 9 ÷ 3                   divide both sides by 3

∴   x = 3

그러면, 계산문제를 하나 풀어 보도록 할까요?

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 다음 일차방정식의 해를 구하여라.

(4x – 1) ÷ 2 – 2{3x – (1 – 2x)} ÷ 3 = 1.5 – x

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(1) 분수나 소수의 계수들이 있는 경우에는 우선, 분모의 최소공배수를 곱해 주어야 하겠지요? 등식의 성질에 따라, 6 을 양변에 곱해 주고 정리하면,

3(4x – 1) – 4{3x – (1 – 2x)} = 9 – 6x 

– 3 + 4 – 8x = 9 – 6x

(2) 이제, 등식의 원리를 이용해서, 양변에 8x 를 더해 주고 9 를 빼주면, 


1 – 8x + 8x = 9 – 6x + 8x        add 8x to both sides

1 = 9 + 2x                               simplify

1 – 9 = 9 + 2x – 9                   subtract 9 from each side

– 8 = 2x                                  simplify

– 8 ÷ 2 = 2x ÷ 2                     divide both sides by 2

∴   x = – 4

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유리수(3) 유한소수와 순환소수

소수를 분수로

converting decimals to fractions

"순환소수는 [똑같은 꼬리자르기] 기법으로

쉽게 분수로 바꿀 수 있어요"

" conversion becomes much easier by using [same tail] technique "

유한소수와 순환하는 무한소수는 기약분수인 유리수와 관련되어, 중고등수학 전반에서 응용되는 유형으로 자주 출제 됩니다.

특히, 유한소수가 되기 위한 기약분수의 조건 등은 정수와 관련된 심화유형 문제로 연계되어 자주 출제되니, 개념을 철저하게 이해하고 응용력을 키워 두어야 합니다.

또한, 순환하는 무한소수를 분수로 바꾸는 [똑같은 꼬리 자르기] 기법은, 분수식과 무리식에서도 활용되는 기본적이면서도 중요한 방법이니까, 반드시 기본개념을 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

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[ A ] 유한소수

0.273 과 같이 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자가 끝이 있는 소수를 유한소수라 합니다.

0.273 = 273 / 10³ = 273 / 1000 과 같이 유한소수는 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자의 개수만큼, 분모에 10 의 거듭제곱을 해서, 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다.

이 때, 그 분수의 분모는 10 의 거듭제곱이니까, 약분을 해서 기약분수가 되었더라도, 항상 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있습니다.

이번에는 이 개념을 역으로 적용해서 앞에서 배웠던 유한소수 판별방법을 복습해 볼까요?

13 / 20 = 13 / (2 x 2 x 5) 와 같이, 어떤 기약분수의 분모가 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 그 분수는 소수형태로 바꾸었을 때, 항상 유한소수가 됩니다.

왜냐하면, 13 / (2 x 2 x 5) 의 분모에 부족한 2 나 5 의 개수만큼을 곱해 준다면, 아래와 같이 분모를 항상 10 의 거듭제곱으로 만들어서, 소수(decimals)로 나타낼 수 있기 때문이지요.

분수(fraction)  13 / 20   = 13 / (2 x 2 x 5)

                                                 = (13 x 5 x 5 x 2) / (2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 2) 

                                                 = 650 / (10 x 10 x 10)

                                                 = 0.65    소수(decimal fraction)

또 하나, 예를 들어 볼까요?

분수(fraction)  69 / 150   = 69 / (2 x 3 x 5 x 5)

                                                   = (23 x 3) / (2 x 3 x 5 x 5) 

                                                   = 23 / (2 x 5 x 5)    기약분수(reduced fraction)

                                                   = (23 x 5 x 2 x 2) / (2 x 5 x 5 x 5 x 2 x 2) 

                                                   = 460 / (10 x 10 x 10)

                                                   = 0.46    소수(decimal fraction)

위와 같이 분모에 2 나 5 가 아닌 숫자 3 이 들어 있다 하더라도, 약분한 후에 최종 정리된 기약분수의 분모가, 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

[ B ] 순환하는 무한소수

그렇다면, 만일 기약분수의 분모에 2 또는 5 이외에 다른 숫자가 있다면, 이 분수는 유한소수가 될 수 있을까요?

분모에 2 또는 5 의 배수가 아닌 다른 소수들이 있는 경우를 볼까요?

1 / 3 = 0.333⋯ = 0.3*

1 / 7 = 0.142857142857⋯ = 0.1*42857*

1 / 11 = 0.090909⋯ = 0.0*9*

1 / 13 = 0.076923076923⋯ = 0.0*76923*

⋮

등과 같이, 모두 순환하는 무한소수가 됩니다. 진위 문제에서 자주 등장하지만, 순환하는 무한소수는 유리수이고, π = 3.14159⋯ 와 같이 순환하지 않는 무한소수는 무리수라는 것을 반드시 기억해 두기 바랍니다.

 

순환하는 무한소수(순환소수)는 유리수이기 때문에, 언제나 기약분수로 나타낼 수 있습니다. 그러면 순환소수를 분수로 나타내는 방법에 대해서 알아 보도록 하지요.

아주 쉽고도 유명한, [똑같은 꼬리 자르기] 기법입니다. 가장 기본적이면서 중요한 방법이니까, 반드시 기억해 두고 활용하기 바랍니다.

예를 들어, 0.424242⋯ = 0.4*2* 를 분수로 나타내 볼까요?

(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.

x = 0.424242⋯          ⋯ ①

(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 곱해줍니다.

100 x = 42.424242⋯       ⋯ ②

(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

② ‐ ① :  [ 가감법 ]

100 x = 42

∴  x = 42 / 100 = 21 / 50

이번에는 0.821212⋯ 을 기약분수로 바꿔 볼까요?

(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.

x = 0.8212121⋯       ⋯ ①

(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 각각 곱해줍니다.

10 x = 8.212121⋯              ⋯ ②

1000 x = 821.212121⋯      ⋯ ③

(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

③ ‐ ② :  [ 가감법 ]

990 x = 821 – 8 = 813

∴  x = 813 / 990 = 271 / 330

[ C ] 순환하는 무한소수를 분수로 고치는 공식

앞에서 배운 내용을, 문자로 일반화시켜 공식으로 정리하도록 할까요?

다만, 아래의 공식은 시험 직전에, 문제를 빨리 풀기 위해 참고하는 정도로만 활용하세요.

평소에는 가급적 [똑같은 꼬리 자르기] 방법을 이용해서 문제를 풀어야 응용력이 좋아집니다.

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a.bx*y*= (abxy - ab) / 990

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(1) 분모에는, 소수점 이하에서, 순환마디 x*y*의 개수만큼 9를 쓰고, 나머지 순환마디가 아닌 b의 개수만큼 9 다음에 이어서 0 을 적는다.

(2) 분자에는, 소수점을 무시하고 전체 숫자 'abxy' 에서 순환마디가 아닌 숫자 'ab' 를 뺀 수를 적어 넣는다.

(3) 이제, 만들어진 분수를 약분하여 기약분수로 만든다.

공식을 적용하는 예를 보도록 할까요?

(1) 순환소수 3.8212121⋯ = 3.82*1* 를 공식에 적용하면,

(3821 - 38) / 990

= 3783 / 990

= 1261 / 330

(2) 또는 간편하게 3.8212121⋯ = 3 + 0.8212121 ... 로 바꾸면,

3 + 0.82*1* 

= 3 + (821 - 8) / 990

= 3 + 271 / 330

= 1261 / 330