연립일차방정식(3) 연립일차방정식의 응용(강물)

연립일차방정식의 응용(강물)

systems of linear equations word problem

- going upstream or downstream

"강을 올라갈 때와 내려갈 때 속력이 달라져요"

" boat's speed changes when going upstream & downstream in the river "

강에서 배를 타고 상류와 하류 방향으로 왕복하는 문제는 2개의 미지수를 연립방정식으로 풀어야 하는 대표적인 유형입니다.

강물과 배의 속력을 미지수로 놓게 되는 특징 때문에, 대부분의 학생들이 별 생각 없이 그냥 분수식으로 식을 세우다 보니,

연립방정식의 처리가 힘들 뿐만 아니라, 분수식 계산에서의 잦은 실수 때문에, 많은 학생들이 어려워하고 있습니다.

이렇게 가장 전형적인 유형들은 각각의 표준적인 해결 방법으로, 그림의 이미지나 시각화된 다이어그램과 함께 이해해 둔다면,

이를 기초로 하여, 조금씩 변형되는 새로운 유형들에 보다 쉽게 응용함으로써, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 비슷한 문제들을 해결해 나갈 수 있습니다.

고등수학에서도 응용문제에서 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 복습하고 기억해 두어야 합니다.

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우선, 강물을 따라 배가 내려갈 때와 강을 거슬러 올라갈 때의 속력은 서로 달라진다는 것을 알아 두어야 하겠지요? 아래의 그림을 보도록 할까요?

위의 그림에서, 노란색의 큰 화살표로 표시된 강물의 속력을 x km/h, 파란색과 빨강색으로 표시된 배의 속력을 y km/h 라 한다면,

(1) 배가 강을 거슬러 올라갈 때는, 파란색인 원래의 배의 속력보다

     노란색 큰 화살표인 강물의 흐름만큼 늦어질 테니까,

     속력이 (y – x) km/h 가 되고,

(2) 배가 강물을 따라 내려갈 때는, 빨강색인 원래의 배의 속력보다

     노란색 큰 화살표인 강물의 흐름만큼 더 빨라질 테니까,

     속력이 (y + x) km/h 가 되겠지요?

이제 그러면, 전형적인 문제를 한 번 풀어 보도록 하지요.

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 강을 따라 12 km의 거리를 보트로 왕복하는데,

 하류로 내려갈 때는 40분, 강을 거슬러 상류로

 거슬러 올라갈 때는 1시간 20분이 걸렸다.

 이 때, 강물이 흐르는 속력을 구하여라.

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(1) 제일 먼저, 강물위의 보트가 움직이는 그림을 그리거나 이미지를 머리 속에 떠올리는

     것이 중요하다고 했지요?

                     

(2) 다음은 시간과 분이 섞여 있으니, 시간 단위를 통일해야지요?

     또 가급적이면, 문제에서 묻고 있는 강물의 속력을 x (km/h) 라고

     놓는 것이 좋다고 했지요?

(3) 위의 그림에서 보트의 속력을 y km/h 라고 놓고, 실제의 속력을 생각해 봅시다.

     * 강을 거슬러 올라갈 때는 속력이 (y – x) km/h

     * 강을 따라 내려갈 때는 속력이 (y + x) km/h

(4) 자, 이제는 거리가 같다는 기준으로 식을 세워 볼까요?

     [시간 = 거리 ÷ 속력] 이나 [속력 = 거리 ÷ 시간] 등의 분수식 보다는,

     [거리 = 속력 × 시간] 의 곱셈 형태로 식을 세워야 실수도 방지하고 쉽게 풀 수

     있다고 했지요?

(5) 강을 거슬러 올라갈 때는 (y – x)*(1 + 20/60) = 12

     강을 따라 내려갈 때는 (y + x)*(40/60) = 12

(6) 위의 두 식을 정리한 다음에 연립으로 풀면,

             ↱ y – x = 9    ⋯ ①

       ↳ y + x = 18  ⋯ ②

[가감법]  ① + ② : 

2y = 27

따라서, y = 13.5, x = 4.5 

답 : 강물의 속도는 4.5 km/h

다시 한번, 푸는 방법과 요령을 정리해 보도록 할까요?

[1] 문제를 보면서, 어떤 유형의 질문인지를 파악하고 제일 먼저 그 유형에 맞는 그림이나 다이어그램을 생각하여야 합니다.

최소한 몇 가지의 표준적인 유형들에 대하여는 문제를 보는 즉시 머리 속에 이미지가 떠 오르도록 공부해 두어야 합니다.

[2] 무엇을 x 로 놓을 것인가? 가급적이면 문제에서 묻는 것을 x 로 하는 것이 좋습니다.

익숙하게 문제를 풀 수 있는 수준에 오를 때 까지는, 맨 첫 줄에 내가 무엇을 x 로 정의(define) 했는지를, 단위까지 포함에서 서술형으로 써 놓기 바랍니다.

[3] x 를 포함한 다른 미지수들의 단위(unit)를 확인하고 반드시 통일시켜야 합니다.

시간이나 거리 등의 단위가 서로 다르면 방정식의 등호가 성립하지 않기 때문이지요.

[4] 미지수는 가급적 적게 세우는 것이, 쉽고 간단하게 계산할 수 있어서 좋습니다만, 필요한 경우에는 2개 이상의 미지수를 놓고 연립 방정식으로 해결하면 됩니다.

이 때, 내가 세운 미지수의 개수와 서로 다른 식의 개수가 같아야 문제가 풀리는 것이니까, 혹시 식의 개수가 부족하다면, 문제지를 다시 꼼꼼하게 읽고 숨어 있는 조건식을 찾아내야 하겠지요?

[5] 가능하다면, 나눗셈의 분수식보다는 곱셈 형태의 정방정식을 세워야 계산이 쉬워지고 실수가 줄어든다고 강조했지요?

[6] 심화문제나 증가율이나 할인율 등의 문제에서는, 묻는 것을 직접 x 로 놓기가 어려운 경우가 있으므로, 계산을 끝낸 후에는 반드시 문제에서 묻는 것을 재확인하고 진짜 답을 다시 구해야 합니다.

예를 들어 넓이를 구하는 데 음수도 구해졌다면, 문제의 뜻에 맞지 않는 답은 버려야 하겠지요?

일차부등식(2) 일차부등식

일차부등식

linear inequalities

"그래프를 이용하니까 부등식 문제를 정확하게 풀어낼 수 있어요"

" using graphs help solve inequality problems accurately "

미지수 개수만큼의 특정한 해만을 갖는 등식에 비해, 부등식은 일정한 범위를 해로 갖기 때문에, 논리적인 계산을 통해서 정확하게 정답의 구간을 구해야 하는 단원입니다.

특히, 중학수학부터는 정수나 음수(–)인 실수를 포함하는 범위에서 부등식을 풀어야 하기 때문에, 잘못된 풀이를 하거나 계산 실수도 잦아, 많은 학생들이 어려워합니다.

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선(number line) 다이어그램이나, 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프를 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두어야 합니다.

큰 어려움 없이, 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내거나, 부등식의 범위와 동의어가 되는 최대/최소값 문제를 그래프로 나타내고 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

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부등식의 모든 항을 좌변으로 옮겨서 정리했을 때, 2x + 1 > 0 등과 같이 일차식만 남는 경우에 일차 부등식이라고 합니다.

그러면, 보기 문제를 풀어 보도록 할까요?

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 3x + 1 > x + 5

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(1) 숫자로 계수가 주어진 x 항들은 x 의 계수가 양(+)이 되도록 한 변에, 상수항들은

     다른 변에 정리합니다.

     그래야 음수이면 부등호의 방향이 바뀌는 것을 아예 방지함으로써, 실수를 최소화

     할 수 있습니다.

  3x – x > 5 – 1

(2) 좌변에 x 항이 위치하도록, 필요한 경우 부등호의 방향을 바꾸어 양변을 간단하게 정리

     합니다. 이 경우에는 부등호의 방향을 바꿀 필요가 없지요?

 2x > 4

(3) 양변을 x 의 계수로 나눕니다. 미리 앞에서, x 의 계수가 양(+)이 되도록 정리했으니까,

     음수로 부등호의 방향이 바뀌는 일은 없겠지만,

     일반적으로 문자 계수가 주어진 경우에는, 음수(–)이면 부등호의 방향이 바뀌는 것에

     주의해야 하겠지요?

     따라서, 답은 x > 2

이번에는 같은 문제를 직선의 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 좌변과 우변을 직선의 그래프로 나타내 봅시다.

y = f (x) = 3x + 1 그리고 y = g (x) = x + 5

(2) 위의 그래프를 보고, 빨간색의 직선인 y = f (x) = 3x + 1 가 파란색의 직선인

     y = g (x) = x + 5 보다 크다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾는다.

(3) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축을 기준으로 x 값으로만 읽는다.

      x = 2 인 경계선이 포함되지 않으니까,

답은 x > 2

하나 더, 풀어 보도록 할까요?

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 x + 1 ≤ 5x – 7

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(1) 숫자로 계수가 주어진 x 항들은 x 의 계수가 양(+)이 되도록 한 변에, 상수항들은

     다른 변에 정리합니다.

     그래야 음수이면 부등호의 방향이 바뀌는 것을 아예 방지함으로써, 실수를 최소화

     할 수 있습니다.

  + 1 + 7 ≤ 5x – x

(2) 좌변에 x 항이 위치하도록, 필요한 경우 부등호의 방향을 바꾸어 양변을 간단하게

     정리합니다.

 4x ≥ 8

(3) 양변을 x 의 계수로 나눕니다. 미리 앞에서, x 의 계수가 양(+)이 되도록 정리했으니까,

     음수로 부등호의 방향이 바뀌는 일은 없습니다만,

     일반적으로 문자 계수가 주어진 경우에는, 음수(–)이면 부등호의 방향이 바뀌는 것에

     주의해야 하겠지요?

     따라서, 답은 x ≥ 2

이번에도 같은 문제를 그래프를 이용해서 다시 풀어 보도록 할까요?

(1) 좌변과 우변을 직선의 그래프로 나타낸다.

y = f (x) = x + 1 그리고 y = g (x) = 5x – 7

(2) 위의 그래프를 보고, 빨간색의 직선인 y = f (x) = x + 1 이 파란색의 직선인

     y = g (x) = 5x – 7보다 작거나 같다고 했으니까,

     같거나 아래에 있는 노란색의 영역을 찾는다.

(3) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축을 기준으로 x 값으로만 읽는다.

     x = 2 인 경계선이 포함되니까,

답은 x ≥ 2

이 때에도, 주어진 부등식을 내가 편리한 방법으로 정리한 다음, 새로운 좌변과 우변을 각각 직선의 함수식으로 잡아서, 그래프로 푸는 경우에도 똑 같은 답을 구할 수 있습니다.

한 번 보도록 할까요?

(1) 좌변과 우변을 쉽게 직선을 그릴 수 있도록 정리한다.

4x ≥ 8

(2) 새로 정리한 좌변과 우변을 직선의 그래프로 나타낸다.

y = f (x) = 4 x 그리고 y = g (x) = 8

(3) 위의 그래프를 보고, 빨간색의 직선인 y = f (x) = 4x 가 파란색의 직선인

     y = g (x) = 8 보다 크거나 같다고 했으니까, 같거나 위에 있는 노란색의 영역을 찾는다.

(4) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽는다.

       x = 2 인 경계선이 포함되니까,

답은 x ≥ 2

이번에는, 일반적인 문자로 표시된 일차부등식의 표준 해법에 대하여 공부해 보도록 할까요?

문자로 표시된 부등식 ax < b 가 주어졌을 때, 문자 a, b 는 어떤 실수 값도 가질 수 있으니까, 여러 가지 경우를 모두 생각해 보아야 합니다.

(1) 만일, a = 0 이고 b = 0 이라면, 0 < 0은 성립하지 않으니까,

     어떠한 x 값에 대하여도 해는 존재하지 않겠지요?

(2) 또, a = 0 이고 b > 0 이라면, 0 < (+) 는 항상 성립하니까,

     모든 x 값에 대하여 부등식은 항상 참이 되겠지요?

이제, 위에서 살펴 본 모든 내용들을 종합해서 하나의 표준 답안으로 정리해 둘까요?

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 부등식 ax < b 의 해는,

 (1) a > 0 일 때 x < b/a

 (2) a < 0 일 때 x > b/a

 (3) a = 0, b > 0 일 때 x 는 모든 실수

 (4) a = 0, b ≤ 0 일 때 해가 없다

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마지막 문제를 하나 더 풀어 볼까요?

위의 표준 답안과 비교해 보면서, 문자로 표현된 부등식 ax ≥ b 를 풀어 보세요.

스스로 궁리해 보면서, 각각의 경우에 따른 표준 답안을 만들어 보기 바랍니다.