행렬(6) 케일리-해밀턴 정리의 역

케일리-해밀턴 정리의 역

converse of Cayley-Hamilton theorem

"반례에는 실수배의 단위행렬도 있어요"

 " [k x I₂] is also a counter example "

최근 들어, [케일리-해밀턴 정리]는 표준교과 외의 개념으로 간주되어, 평가원의 수능이나 모의 수능에서는 거의 제외되고 있습니다만,

그럼에도 불구하고, 아직도 학원가 또는 수능문제집의 심화유형에서, 최소값 또는 최대값을 물어보는 문제로 자주 출제 됩니다.

결과는 간단하니까, 이왕이면 이해해 두고, 외워서 문제 해결에 활용하기 바랍니다.

참고로, [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명하며, 현재 고 1 부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않는다는 점도 알아 두기 바랍니다.

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앞에서 배웠던 [케일리-해밀턴 정리]의 내용을 복습해 볼까요?

행렬 A = [ a  b ] 가 주어졌을 때, A² – (a + d) A + (ad – bc) E = O 는 항상 성립하고,

             [ c  d ]

이 식을 [케일리-해밀턴 정리] 라고 했었지요?

* 참고로, 우리나라에서는 (2 x 2) 의 단위행렬을 E 라고 표현하지만, 영미권 국가에서는 I₂ 라고 표현합니다.

그러면, 이번에는 반대로, A² – A – 2E = O 를 만족하는 행렬 A 를 어떻게 찾아 내는지, 한 번 알아 보도록 할까요?

우리가 배웠던 [케일리-해밀턴 정리] 를 기억한다면, ① a + d = 1 이고

② ad – bc = – 2 를 만족하는 행렬이기만 하면, 아무거나 다, 행렬 A 가 될 수 있겠지요?

즉, 미지수가 4 개인데, 식은 2 개 밖에 없는 연립방정식이니까, 해가 무수히 많을 것이고, 따라서 행렬 A 도 무수히 많겠군요.

한번 구체적인 예를 들어 볼까요?

[ 1  2 ]

[ 1  0 ]

[ 0  2 ]

[ 1  1 ]

︙

위의 무수히 많은 ... , 이런 종류들만 있는 것이 아닙니다. [케일리-해밀턴 정리] 의 역은 성립하지 않는다고 할 때, 진짜로 중요한 반례는 따로 또 있습니다.

원리는 뒤에서 설명하도록 하고 우선 그 진짜로 중요한 반례를 찾는 요령부터 알아 보도록 할까요?

주어진 식, A² – A – 2E = O 는 곱셈의 교환이 가능한 A 와 E 만으로 이루어져 있으니까, 인수분해가 가능하겠네요.

(A + E)(A – 2E) = O

∴   A = – E  or  A = 2E

마치 이차방정식을 푸는 것과 같이, 구해지는 A = – E 또는 A = 2E가 진짜로 중요한 또 다른 반례입니다.

실제로 케일리-해밀턴의 식을 만족하는지 확인해 볼까요?

A² – A – 2E = (– E)² – (– E) – 2E = O

A² – A – 2E = (2E)² – (2E) – 2E = O

왜, 이런 일이 일어난 것일까요? 문자를 써서 일반적인 원리를 알아내 볼까요?

[케일리-해밀턴 정리] 의 역이 '참' 으로서 성립한다 라고 가정한다면,

행렬 A =  [ a  b ] 에 대하여, A² + p A + q E = O 이라는 식은 반드시

              [ c  d ]

A² – (a + d) A + (ad – bc) E = O 이라는 식과 일치해야 되겠지요?

(1) 따라서, 두 식을 항등식으로 같다고 놓고 풀어서 정리하면,

A² + p A + q E = A² – (a + d) A + (ad – bc) E

(a + d + p) A = (ad – bc – q) E

(2) 여기서, a + d + p = 0 이라면, 원래의 케일리-해밀턴의 식이 성립하는 것이지만, 만일 a + d + p ≠ 0 이라면, A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E.

(3) 바로 이 행렬 A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E 가 [케일리-해밀턴 정리] 의 계수와 관련이 없는, 또 다른 반례가 되는 행렬입니다.

(4) A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E = k E 라 놓고, 앞의 예인 A² – A – 2E = O 에 대입해 볼까요?

A² – A – 2E = O

(k E)² – (k E) – 2E = O

(k² – k – 2)E = O

(5) 따라서, k² – k – 2 = 0 이니까, 앞에서 ‘마치 이차방정식을 푸는 것과 같은’ 원리로 구해지는 것입니다.

(k + 1)(k – 2) = 0

∴   A = – E  or  A = 2E

이 결과를 하나의 공식과 같이 정리해 둘까요?

A² + p A + q E = O 을 만족하는 행렬 A = [ a  b ] 를 찾아내는 방법은,

                                                         [ c  d ]

---

(1) [케일리-해밀턴 정리] 에서 a + d = – p 와 ad – bc = q 를 만족하는 행렬들을

     찾아내거나,

       또는 (or)

(2) 추가로, A = k E 인 경우도 생각해서, k² + pk + q = 0 를 만족하는 실수배의

     단위행렬(들)도 찾아내야 한다.

---

최근 들어, 이 유형은 평가원의 수능 혹은 모의수능에서는 거의 출제되고 있지 않지만, 학원가 또는 수능문제집의 심화유형에서, a + d 의 최소값이나 ad – bc 의 최대값을 물어보는 문제로 꾸준히 출제되고 있습니다.

보기 문제를 하나 보도록 할까요?

---

행렬 A = [ a  b ] 가 A² – 2A – 3E = O 을 만족할 때, a + d 의 최솟값을 구하여라.

             [ c  d ]

---

(1) 우선, A ≠ k E 인 경우를 생각해서, [케일리-해밀턴 정리] 를 적용해야 하겠지요?

a + d = 2,   ad – bc = – 3

∴  a + d = 2

(2) 그 뿐만이 아니라, 이제 A = k E 인 경우도 생각해야 되겠지요?

k² – 2k – 3 = (k – 3)(k + 1) = 0

k = 3  or  k = – 1

A = [ 3  0 ]

      [ 0  3 ]

or

A = [ -1  0 ]

      [ 0  -1 ]

∴  a + d = 6  or  – 2

(3) 따라서, 답인 a + d 의 최솟값은 – 2.

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행렬(9) 영인자 행렬

영인자 행렬

zero divisor matrices

"행렬 진위문제에서 유명한

악동 4형제와 그 사촌들을 소개합니다"

“ Let me introduce ‘brat 4 brothers’ “

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고3의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

특히, 실수의 성질과는 다르게도, 영행렬이 아니면서도 곱하면 영행렬이 되는 영인자 행렬은, [행렬] 단원의 진위 유형에서 수시로 출제되고 있습니다.

실전 응용력을 키우기 위하여는, 그 결과만이 아니라, 대표적인 반례들과 유도과정을 완벽하게 이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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실수범위에서, 인수분해가 되는 방정식을 푸는 원리 등에서 귀가 따갑게 익혀 왔던,

[ ab = 0 이면 a = 0 또는 b = 0 ] 이라는 Zero Product Property 원리가

행렬에서도 그대로 적용이 될까요?

물론, 너무나 많이 들어서, 거의 대부분의 학생들은 외우고 있겠지만, 당연히 아닙니다.

이러한 반례를 하나 들어 보도록 할까요?

[ 1   1 ] * [  1   1 ] = ??

[ 2   2 ]   [ –1 –1 ]      

= [  1*1+1*(–1)    1*1+1*(–1)  ]

   [  2*1+2*(–1)    2*1+2*(–1)  ]

= [ 0  0 ]  =  O

   [ 0  0 ]        

이렇게 자기자신은 영행렬이 아니면서, 곱하면 영행렬의 결과를 만드는

[ 1   1 ] 또는 [  1   1 ] 와 같은 행렬들을 영인자 또는 영인자 행렬이라 부릅니다.

[ 2   2 ]        [ –1 –1 ]

이러한 영인자 행렬들은, 우리가 실수 범위의 연산에서 너무나 익숙하게 익혀 왔던, [ ab = 0 이면 a = 0 또는 b = 0 ] 과 같은 원리를 무력화시켜 버리지요.

따라서, [행렬] 단원의 진위형 문제 등에서 수시로 출제되기 때문에, 상위권 학생들이라도, 몇 가지 대표적인 반례의 행렬들은 반드시 외워둘 필요가 있습니다.

그래서, 오늘은 여러 유형의 반례에 자주 활용되는, [행렬] 단원에서 아주 유명한

[악동 4형제] 를 소개하고자 합니다.

우선, 이름을 P, Q, R, S 라고 붙이고, 어떻게 생긴 녀석들인지 한번 볼까요?

분명히 영행렬 들은 아니지요?

P = [ 1  0 ]

      [ 0  0 ]

Q = [ 0  1 ]

      [ 0  0 ]

R = [ 0  0 ]

      [ 1  0 ]

S = [ 0  0 ]

      [ 0  1 ]

 

그러면, 이 [악동 4형제] 들이 만들어 내는 여러 가지 반례들을 하나씩 살펴볼까요?

[ 1 ] AB = O 이면 A = O 또는 B = O  ☞  거짓

(1) [악동 4형제] 를 P = A, R = B 에 대입해 보면, P 와 R 중 어느 것도 영행렬이

     아닌데도 불구하고,

P(≠ O) x R(≠ O)

= [ 1  0 ] * [ 0  0 ]

   [ 0  0 ]   [ 1  0 ]

= [  1*0+0*1    1*0+0*0  ]

   [  0*0+0*1    0*0+0*0  ]

= [ 0  0 ]  =  O

   [ 0  0 ]        

(2) 참고로, 이 명제는 역행렬이 존재할 때는 참이 된다는 점에 주의해야 합니다.

     당연히 [악동 4형제] 들은 역행렬이 존재하지 않으니까, 논외로 해야겠지요?

(3) 증명을 통해서 진위를 판별해 볼까요? 만일, A^-1 이 존재한다고 가정하고,

     양변의 왼쪽에서 그 역행렬을 곱해주면,

AB = O

A^-1 x AB = A^-1 x O

A^-1A x B = O

E x B = O

∴  B = O

[ 2 ] A² = O 이면 A = O  ☞  거짓

(1) 위 식의 A 대신에 R 을 대입해 보면, R 은 영행렬이 아닌데도 불구하고,

{R(≠ O)}²

= [ 0  0 ] * [ 0  0 ]

   [ 1  0 ]   [ 1  0 ]

= [  0*0+0*1    0*0+0*0  ]

   [  1*0+0*1    1*0+0*0  ]

= [ 0  0 ]  =  O

   [ 0  0 ]        

[ 3 ] (AB)² = A²B² 이면 AB = BA  ☞  거짓

(1) [악동 4형제] 를 P = A, Q = B 에 대입해 보면,

P x Q

= [ 1  0 ] * [ 0  1 ]

   [ 0  0 ]   [ 0  0 ]

= [  1*0+0*0    1*1+0*0  ]

   [  0*0+0*0    0*1+0*0  ]

= [ 0  1 ]

   [ 0  0 ]

(2) 따라서, 좌변의 식을 계산해 보면,

(AB)² = (PQ)²

= [ 0  1 ] * [ 0  1 ]

   [ 0  0 ]   [ 0  0 ]

= [  0*0+1*0    0*1+1*0  ]

   [  0*0+0*0    0*1+0*0  ]

= [ 0  0 ]  =  O

[ 0  0 ]     

(3) 또, P² 과 Q² 을 계산해서 우변의 식을 계산해 보면,

P² = [ 1  0 ] * [ 1  0 ]

       [ 0  0 ]   [ 0  0 ]

= [  1*1+0*0    1*0+0*0  ]

   [  0*1+0*0    0*0+0*0  ]

= [ 1  0 ]

   [ 0  0 ]

Q² = [ 0  1 ] * [ 0  1 ]

        [ 0  0 ]   [ 0  0 ]

= [  0*0+1*0    0*1+1*0  ]

   [  0*0+0*0    0*1+0*0  ]

= [ 0  0 ]  =  O

[ 0  0 ]     

∴   P² x Q² = [ 1  0 ] * O = O

       [ 0  0 ]

(4) 즉, 가정인 (PQ)² = P²Q² 은 성립하지만, PQ ≠ QP 로서 반례가 됩니다.

Q x P

=  [ 0  1 ] * [ 1  0 ]

    [ 0  0 ]   [ 0  0 ]

= [  0*1+1*0    0*0+0*0  ]

   [  0*1+0*0    0*0+0*0  ]

= [ 0  0 ]  =  O

[ 0  0 ]     

∴   PQ ≠ QP

[ 4 ] (AB)² = (BA)² 이면 AB = BA  ☞  거짓

(1) [악동 4형제] 를 P = A, Q = B 에 대입해 보면, 앞에서 이미 계산해 보았던 대로,

(PQ)² = (QP)² = O

(2) 그러나, 앞에서 계산한 과정에서 보았던 대로, 결론은 PQ ≠ QP 인 반례가 됩니다.

PQ = [ 0  1 ] ≠ [ 0  0 ] = QP

[ 0  0 ]    [ 0  0 ]

[ 5 ] AC = BC 이면 A = B  ☞  거짓

(1) 주어진 식을 이항해서 정리해 본다면 (A – B) x C = O 의 형태가 되므로

     위의 [ 1 ] 번 유형에서 [ ab = 0 이면 a = 0 또는 b = 0 ] 이라는 원리가

     행렬에서는 성립하지 않는다고 배운 것과 똑같지요?

(2) 즉, [악동 4형제] P = A – B, Q = C 가 되도록 적당한 행렬들을 찾아내면

     쉽게 반례를 만들 수 있습니다.

P = A – B = [ 1  0 ] 를 만족하는

 [ 0  0 ]

예컨데,   A = [ 1  1 ]  &  B = [ 0  1 ]

                  [ 1  1 ]            [ 1  1 ]

또는

A = [ 2  2 ]  &  B = [ 1  2 ]

      [ 2  2 ]            [ 2  2 ]

더 연구해 보고 싶다면, 이번에는 [악동 4형제] 들의 사촌들인 1 이 2개이고 나머지가 0 이 되는 행렬들로 반례들을 하나씩 만들어 보면 됩니다.

J = [ 1  1 ]

     [ 0  0 ]

K = [ 0  1 ]

      [ 0  1 ]

L = [ 0  0 ]

      [ 1  1 ]

M = [ 1  0 ]

       [ 1  0 ]

특히, 단위행렬과 대칭의 모습인 아래의 행렬은 [일차변환과 행렬] 단원의 대칭변환 문제에서 자주 등장하니까, 보다 심도 있는 다양한 연구를 스스로 해보기 바랍니다.

N = [ 0  1 ]

       [ 1  0 ]

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