2024년 10월 31일 목요일

직선의 방정식(6) 수직인 직선의 기울기




수직인 직선의 기울기
slope of perpendicular lines


"수직인 두 직선의 기울기 곱은 -1"
" slopes of perpendicular lines are
negative reciprocals "



  




수직인 두 직선의 기울기를 서로 곱하면왜 항상 – 1 이 성립하는지에 대한 질문이 있어이에 대한 보충 설명을 하도록 합니다.

고등 수학의 이과 과정까지 공부를 한 학생이라면아래의 방법 등으로 간단하게 증명할 수 있습니다.

(a) 행렬을 이용한 90˚ 회전 변환 (rotation matrix)

(b) 삼각함수의 덧셈정리를 활용한 tan (α – β) = π / 2 (formula for the difference of tangents)

(c) 벡터의 내적을 이용한A • B = |A| |B| cos θ = 0 (inner product of vectors)


그러나일반적인 중학생 또는 문과 고등학생의 수준에 맞도록, (1) 도형기하 (synthetic geometry)  (2) 해석기하 (coordinate geometry)  2 가지 증명 방법만으로 설명하고자 합니다.

물론기하를 이용한 증명 과정의 설명이 더 복잡하고 지루할 수도 있습니다만, ' 좌표평면에서의 계산' 을 이용하는 해석기하의 방법은고등수학에서 배우는 내용이니까응용력의 향상을 위해서라도 철저하게 기본개념과 해결과정을 이해해 두기 바랍니다.






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 [ A ] 도형 기하 (synthetic geometry) 의 방법


직선을 평행 이동시켜도 그 기울기는 변하지 않으니까원점을 지나면서 기울기가 서로 수직인 두 직선으로 예를 들어서두 기울기의 곱 = – 1 이라는 것을 증명하더라도일반성을 훼손하지 않겠지요?

그러면아래의 그림에서 원점을 지나는 빨간색과 파란색의 두 직선을 가지고 설명합니다.



(1) 아래의 그래프와 같이 파란 직선 위의 한 점 를 잡고 이 점에서 축으로 수선을 내려 수선의 발을 라 합니다.


(2) 이번에는빨간색 직선 위에 OB OE 가 되도록 점 를 잡습니다점 에서 축으로 수선을 내려 수선의 발을 라고 합니다.







(3) 위 그림에서 보이는파란색과 빨간색의 두 직각삼각형 ΔOAB 와 ΔODE 는 서로 합동 즉기호로는 ΔOAB ≡ ΔODE 입니다왜냐하면아래와 같이 직각삼각형의 [RHA] 합동조건 혹은 삼각형의 [AAS] 합동조건이 성립하기 때문입니다.


(a) 수선을 내렸으니까A = D = R = 90˚
  Right angle (or Angle)

(b) 처음부터 길이가 같도록 잡았으니까OB = OE
  Hypotenuse (or Side)

(c) EOD +DOB = DOB + BOA = R = 90˚ 이므로EOD = BOA
  Angle

♧ 참고로 우리나라에서는 직각삼각형의 [RHA] 합동조건을 사용하고 있지만대부분의 영어권 국가에서는 삼각형의 [AAS] 합동조건의 방법으로 가르치고 있습니다.



(4) 두 직각 삼각형은 서로 합동이니까AB DE 이고 OA OD 가 됩니다.



(5) 여기서파란색 직선의 기울기는 AB ÷ OA 이고파란색 직선의 기울기는 DE ÷ (– OD이므로두 직선의 기울기를 서로 곱하면 – 1 이 됩니다.


(AB ÷ OA) x {OD ÷ (–DE)}

= (AB ÷ OA) x {OA ÷ (–AB)}

= – 1






[ B ] 해석 기하 (coordinate geometry) 의 방법


직선을 평행 이동시켜도 그 기울기는 변하지 않으니까앞에서와 같이원점을 지나는 빨간색과 파란색의 두 직선을 가지고 설명합니다.



해석기하에서는 상대적으로 계산이 복잡해지기 때문에일반성을 훼손하지 않는 범위내에서 최소의 미지수를 사용해야 좋습니다.



(1) 아래 그림에서 파란색 직선의 기울기를 k빨간 직선의 기울기를 이라 정하고x 축 위에 두 점 = (a, 0) 와 = (b, 0) 를 잡습니다.







(2) 그리고  C에서 검은색 점선으로 표시된 수선을 올려서, 만나는 파란 직선 위의 점을 그리고 빨간색 직선 위에 점을 라고 하면,


(3) 직선 위에 있는 점들은 직선식을 만족해야 하니까문자로 된 기울기의 값을 적용하면= (aka그리고 = (bmb라고 놓을 수 있겠지요?


문자로 정하는 것이니까좌표나 기울기의 부호 (+/–) 와 전혀 상관이 없다는 점에 유의하세요.



(4) 각 점들의 좌표를 대입하여직각삼각형 세변의 길이를 구하면,


OA2 = a2 + (ka)2

OB2 = b2 + (mb)2

AB2 = ( b)2 + (ka – mb)2



(5) 이제위 그림에서 보라색의 칠해진 ΔOAB 를 보면 직각삼각형이니까, [피타고라스의 정리를 적용하면,

OA2 OB2 = AB2 

a2 + (ka)2 + b2 + (mb)= ( b)2 + (ka – mb)2

0 = – 2ab – 2kamb

= – 2ab (1 + km)



(5) 그런데위 식에서 도  0 이 아니니까km = – 1두 기울기의 곱은 – 1.





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영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

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2024년 9월 30일 월요일

함수그래프(1) 함수그래프의 평행이동



함수그래프의 대칭이동(1)
shifting function graphs(1)


"그래프를 움직여 가면서 대칭이동 원리를 생각해 보세요"
" Try to move the graphs to find out
the principle of parallel movement "







함수의 그래프는 고등수학의 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

중고등 학생들의 수학실력의 차이는함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.

방정식과 부등식도함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.

이차함수나 그 밖의 어려운 함수의 그래프는 나중에 다루도록 하고이해하기 쉽도록간단한 절대값 일차함수를 가지고 그래프의 평행이동을 알아볼까요?







               







앞에서, y = | x – 2 | 의 그래프를 그려 봤지요? 다시 설명하면,




(1) 붉은색 영역(x < 2에는 y = – x + 의 그래프를 그리고,

(2) 푸른색 영역(≥ 2에는 y = x – 의 그래프를 그린 다음,

(3) 위 둘을 합집합의 개념으로 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진 그래프가 되지요.




이번에는 y – 3 = | x |

다시 정리해서, y = | x | + 3의 그래프를 그려 볼까요?



(1) 붉은색 영역(x < 0에는 y = – x + 3 의 그래프를 그리고,

(2) 푸른색 영역(≥ 0에는 y = x + 3 의 그래프를 그린 다음,

(3) 위 둘을 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진 그래프가 되지요.





이번에는 위에서 그려본 y = | x – 2 |   y = | x | + 3, 그리고  y = | x | 그래프를 좌표평면에 함께 나타내 볼까요?





똑같이 합동인 그래프들이 상하좌우로 평행이동 되어 있는 것이 잘 보이나요? 그 결과를 정리해 보면,


(1) y = | x 그래프를 기준으로 볼 때, x 대신에 x – 를 대입한
     빨간색  y = | x – 2 의 그래프는 오른쪽으로 2 만큼 평행이동


(2) y = | x를 기준으로 할 때, y 대신에 y – 을 대입한 y – 3 = | x |
     즉, 파란색  y = | x | + 3 의 그래프는 위쪽으로 3 만큼 평행이동


(3) 이번에는,  y = | x2 | 를 기준으로 본다면, x 대신에 x + 를 대입한
      y = | x 22 | = | x 의 그래프는 왼쪽으로 2 만큼 평행이동


(4) ,  y = | x | + 3 을 기준으로 본다면y 대신에 y +  대입한 y + 3 = | x | + 3
     ,  y = | x 의 그래프는 아래쪽으로 만큼 평행이동



마치 청개구리 같이 반대로 움직이지요?


나중에, [함수와 그래프의 변환]이라는 과목에서 설명하겠지만, 점과 그래프 그리고 축의 상대적인 이동이라는 심화개념까지 그래프의 이동을 종합적이고 체계적으로 터득한 상위수준의 학생이 아니라면, 중학수준까지는 그냥 외워서 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.




위에서 배운 평행이동의 원리를 식으로 정리해 볼까요?

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 y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때,

 (1) x 대신에 x α 를 대입한 y = f (x α)의 그래프는
      y = f (x)의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동

 (2) y 대신에 y β 를 대입한 y β = f (x)
      즉, y = f (x) + β 의 그래프는
      y = f (x)의 그래프를 위쪽으로 β 만큼 평행이동
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청개구리 성질은 뒤에서 배우게 될 대칭이동과 확대축소 변환에서도 그대로 적용이 되니 잘 기억해 두기 바랍니다.




이번에는 꺼꾸로, 그래프를 보고 식을 찾아내 볼까요?

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 밑의 그림에서 그래프의 함수식이  y = | b | + a 라 할 때,
 상수 a, b 의 값을 구하여라.












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직선의 방정식(6) 수직인 직선의 기울기

수직인 직선의 기울기 slope of perpendicular lines " 수직인 두 직선의 기울기 곱은  - 1 " " slopes of perpendicular lines are negativ...