삼각형의 닮음(16) 삼각형 외각의 이등분선 정리

삼각형 외각의 이등분선 정리

exterior angle bisector theorem

"평행선과 닮음이 이렇게도 활용되네요!"

" we can apply parallel lines & similarity to prove this! "

삼각형 내각의 이등분선 그리고 외각의 이등분선 정리들과 그 증명 과정들은 중학과정의 도형기하 단원뿐만 아니라, 고등학교 및 대입수능 시험에서 복합유형의 응용문제 형태로 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.

단순히 그 결과를 기억해 두고 사용하는 것도 중요하지만, 평행선의 성질과 닮음을 활용하는 그 증명과정들도 매우 중요하니, 확실하게 공부해 두기 바랍니다.

내각의 이등분선과 외각의 이등분선 정리를 별도로 꼼꼼하고 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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아래 그림과 같이 삼각형의 외각의 하나인 꼭지각 ∠A 의 외각을 이등분한 선이 밑변 BC 의 연장선과 만난 교점을 D 라 할 때, 다음 변들의 길이의 비가 서로 같다는 정리입니다.

AB : AC = BD : DC

왜 그럴까요?

다음 그림과 같이, 점 C 를 지나 외각의 이등분선인 AD 와 평행한 직선을 그어, 변 AB 와 만나는 점을 F 라고 해 볼까요?

위 그림에 빨간색 점들로 표시된 것과 같이 여러 각들의 크기가 서로 같네요?

초록색으로 표시된 두 평행선의 동위각이니까,

∠EAD = ∠AFC

또, 초록색으로 표시된 두 평행선의 엇각이니까,

∠DAC = ∠ACF

이제, 숨어 있던 이등변삼각형이 잘 보이시나요?

바로 ΔACF 가, 변 AC = 변 AF 인 등변을 갖는 이등변삼각형이지요.

즉, 내각의 이등분선 정리의 좌변인 AB : AC = AB : AF 와 같은 비례값이라는 것이지요.

이번에는, 초록색 평행선으로 이루어진 서로 닮은 두 삼각형을 살펴 볼까요?

ΔBDA 와  ΔBCF 는 ∠B 는 공통이고, 평행선의 동위각으로 ∠BAD = ∠AFC 이니까, 두 삼각형은 서로 AA 닮음이 됩니다.

여기서, BA : BE = BD : BC = 1 : k  라 놓으면, 선분 AE  = BE  – BA  = (k – 1) * BA

그리고 선분 DC = BC – BD  = (k – 1) * BD  이므로

BA : AE = 1 : (k – 1) = BD : DC

그런데, 위에서 이등변삼각형의 등변 AC = AE 인 것을 찾아 냈었지요?

따라서, BA : AE = BA : AC = BD : DC

절대값 그래프(2) 절대값 일차함수의 그래프

절대값 일차함수

linear absolute value functions

"절대값 그래프부터 상위수학의 시작입니다"

" graphing absolute value functions will lead you to

the higher level mathematics "

함수의 그래프는 고등수학 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

이 중에서도, 절대값 함수의 그래프는 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.

중고등 과정의 중급 및 심화문제에서 자주 등장하는 매우 중요한 유형이고, 함수 그래프에서도 많이 응용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.

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함수 y = | x | 의 그래프는 어떻게 그려야 할까요?

절대값이 포함된 일차함수도, 앞에서 배웠던 절대값 방정식과 같이 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 음(–)의 값인지에 따라, 2 가지 경우로 나누어 그래프로 나타내는 것이 원칙입니다.

(A)  x < 0 일 때	(B)  x ≥ 0 일 때
y = – x	y = x

위 내용을 이해하기 쉽게, 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?

(A)  A 일 때	(B)  B 일 때
P	Q

따라서, 답은 (A∩P)∪(B∩Q) 가 되겠지요? 이제 이 내용을 그래프로 나타내도록 합니다.

(1) x < 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 음 (–) 이 되는, II 와 III 사분면을 나타내니까, 아래 그림에서, 빨간색으로 표시된 영역입니다.

(2) 이제, (A∩P) 이니까 이 빨간색 영역에서만 y = – x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 감소하는 파란 직선입니다.

  

(3) x ≥ 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 양 (+) 이 되는, I, IV 사분면과 y 축을 포함하는 영역으로, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역입니다.

(4) 이번에도 (B∩Q) 이니까, 이 파란색 영역에서만 y = x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 증가하는 파란 직선입니다.

  

(5) 마지막으로, (A∩P)∪(B∩Q) 이니까, 위의 (2)∪(4) 인 두 반직선 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 결과는 아래 그림에서 보듯이, 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?

   

이제, y = | x | 의 그래프 그리기가 충분히 이해되었다면, 별도로 구간을 나누어 생각하지 않더라도, 위의 그림이 머리 속에 그대로 떠올라야 합니다. 수학에서도 가장 기초적이고 기본적인 것은 확실하게 이해한 후 기억해 두어야, 한 계단씩 더 어려운 심화단계로 쉽게 나아갈 수 있습니다.

이제, 조금 더 복잡한 y = | x – 3 | – | x + 1 | 의 그래프를 그려볼까요?

이번에도, 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 또는 음(–)의 값인지에 따라, 각각 2 가지씩 이지만, – 1 ≤ x 와 x < 3 의 구간은 하나로 합쳐지니까, 총 세 구간으로 나누면 되겠지요?

y = | x – 3 | – | x + 1 |

(A) x < –1일 때	(B) –1≤ x < 3일 때	(C) x ≥ 3일 때
y = –x+3 – (–x–1) y = 4	y = –x + 3 – (x+1) y = – 2 x + 2	y = x – 3 – (x+1) y = – 4

이것도, 앞에서 설명한 (A∩P)∪(B∩Q)∪(C∩R) 의 개념을 적용하면 되겠지요?

(1)  x < – 1 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = 4 의 그래프를 그려 넣고,

(2)  – 1 ≤ x < 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래의 그림에서 노란색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – 2 x + 2 의 그래프를 그리면 되겠지요?

(3) 마지막으로,  x ≥ 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = – 4 의 그래프를 그리면 됩니다.

(4) 이제, 위의 [(1)∪(2)∪(3)] 이니까, 세 그래프의 합집합(∪)을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 아래 그림에서 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?