제곱근 식의 계산
square root arithmetic
"계산력이 튼튼해야 뼈아픈 실수를 줄일 수 있어요"
" basic calculation skills are essential
to avoid stupid math mistakes "
제곱근 식의 계산은 루트기호 안의 제곱수를 찾아내는 기술을 필요로 하므로, 중학시절에 반드시 갖추어 두어야 할 기본적인 계산연습의 대표적인 단원입니다. 제곱수를 쉽고 빠르게 찾아 내기 위하여는 부분적인 소인수분해를 암산으로 해내야 하기 때문에 부단한 연습과 노력도 필요합니다.
특히, 근호가 포함되는 나눗셈인 [루트가 포함된 분수식의 계산]에 있어서는 단순하게 분자와 분모를 따로 따로 기계적으로만 계산하는 것이 아니라,
앞에서 누차 강조한 대로, 제일 먼저 분모와 분자의 루트로 표현되어 있는 공통인수를 암산으로 재빨리 찾아 내서 간단히 약분해 버리는 요령을 익혀 두어야 쉽고 빠르게 계산해 낼 수가 있습니다.
앞에서 누차 강조한 대로, 제일 먼저 분모와 분자의 루트로 표현되어 있는 공통인수를 암산으로 재빨리 찾아 내서 간단히 약분해 버리는 요령을 익혀 두어야 쉽고 빠르게 계산해 낼 수가 있습니다.
최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 경쟁환경에서는 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실입니다. 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.
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[ 1 ] 제곱근의 곱셈
예를 들어, √2 * √3 을 하나의 루트 기호로 나타낸다면 √5 와 √6 중에서 어떤 것이 맞는 것일까요?
직접 판단하기가 어렵다면,
한번 제곱한 값을 비교해 보면 어떨까요?
이는 고등수학의 [ 명제 ] 단원 중 필요충분조건에서 배우는 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A2 = B2 은 서로 동치 ] 라는 사실을 이용해서 확인하는 방법입니다.
(√2 * √3)2 ... (A2)
= (√2 * √3) * (√2 * √3)
= √2 * √3 * √2 * √3
= √2 * √2 * √3 * √3
=
=
= 2 * 3
또한, [ 양수(+) C 에 대하여 (√C)2 = C ] 라는 사실은 잘 알고 있겠지요?
{√(2 * 3)}2 ... (B2)
= 2 * 3
= 6
i.e. (√2 * √3)2 = 2 * 3
∴ √2 * √3 = √(2 * 3) =√6
이 성질을 이용해서, 간단한 제곱근 곱셈 계산을 해 보도록 할까요?
연산의 교환법칙을 이용해서 √2 끼리 모아서 계산하면 루트기호 없이 자연수(유리수)로 간단하게 정리된다는 것을 알 수 있지요?
(1) √2 * √6
= √2 * √(2 * 3)
= √2 * (√2 * √3)
= (√2 * √2) * √3
= 2√3
(2) √2 * √6 * √15
= √2 * √(2 * 3) * √(3 * 5)
= √2 * (√2 * √3) * (√3 * √5)
= (√2 * √2) * (√3 * √3) * √5
= 2 * 3 * √5
= 6√5
이번에는 한 단계 더 복잡한 제곱근의 곱셈 계산도 해 보도록 할까요?
마찬가지로 끝까지 소인수분해를 할 필요없이, 제곱수가 되는 루트값들을 잘 찾아서 계산해도 자연수(유리수)로 쉽고 간단하게 정리된다는 것을 알 수 있습니다.
√18 * √45 * √48
= √(2 * 9) * √(5 * 9) * √(3 * 16)
= (√2 * √9) * (√5 * √9) * (√3 * √16)
= √2 * √9 * √5 * √9 * √3 * √16
= (√9 * √9) * (√2 * √5 * √3) * √(4 * 4)
= 9 * √(2 * 5 * 3) * 4
= 36√30
[ 2 ] 제곱근의 나눗셈
같은 원리로 제곱근의 나눗셈도 간단히 할 수 있습니다. 앞에서 배운 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A2 = B2 은 서로 동치 ] 과 [ 양수(+) C 에 대하여 (√C)2 = C ] 라는 것을 이용해서, 스스로 확인해 보도록 하세요.
(√2 ÷ √3)2 ... (A2)
= (√2 / √3) * (√2 / √3)
=
=
= 2 / 3
{√(2 / 3)}2 ... (B2)
= 2 / 3
∴ √2 / √3 = √(2 / 3)
이번에도 한 단계 더 복잡한 제곱근의 나눗셈 계산을 해 보도록 할까요?
5√24 / √30
= 5 * √24 / √30
= 5 * √(24/30)
= 5 * √{(4 * 6) / (5 * 6)}
= 5 * √(4/5)
= 5 * √(2 * 2 / 5)
= (√5 * √5) * (√2 * √2 / √5)
= (√5 * √5 * √2 * √2) / √5
= √5 *√2 * √2
= 2√5
* 참고로, 위의 계산과정에서 붉은 색으로 표시된 것과 같이, 양수(+)의 경우에는 5 = √5 * √5 가 되는 성질을 이용해서 공통인수 제곱근을 찾아낸 다음, 먼저 약분해 버리면 아주 편리합니다.
그러면, 배운 내용을 문자로 일반화시켜서, 공식으로 정리해 두도록 할까요?
음(–) 이 아닌 실수 A 와 양(+) 의 실수 B 에 대하여,
(1) product property of square roots
√A * √B =
(2) quotient property of square roots
√A / √B =
* 참고로, 루트기호는 분수지수로 나타낸다면 ½ 이 되니까, 위의 (1) 과 (2) 공식은 [ 지수법칙 ] 의 특수한 경우에 해당한다고 볼 수 있습니다.
(1) A½ * B½ = (A * B) ½
(2) A½ / B½ = (A / B) ½
그러면 관련된 연습 문제를 풀어 보도록 할까요?
√ 0.2 = A, √ 0.3 = B 라 할 때, 6 을 A 와 B 로 나타내어라.
(1) 6 을 0.2 와 0.3 의 곱으로 나타내는 것이 가장 편한 방법이겠지요?
6 = 0.2 * 0.3 * 100
= (√ 0.2 )2 * (√ 0.3 )2 * 100
= (A)2 * (B)2 * 100
∴ 6 = 100A2B2
한 문제 더 풀어 보도록 하지요.
아래의 식을 만족하는 자연수 N 의 값을 구하여라.
√ 38.4 * √ 2N * √ 6 * √ 5N = 144
(1) 우선, 좌변에 복잡해 보이는 수 38.4 를 소수점을 무시하고 소인수로 분해해 보아야 하겠지요?
384 = 27 * 3
∴ √ 384 = √(27 * 3)
= √(26) * √2 * √3
= 23 * √2 * √3
(2) 이제, 주어진 식의 좌변을 위에서 배운 제곱근의 성질을 이용해서 간단히 하면,
√ 38.4 * √ 2N * √ 6 * √ 5N
= (√ 384 / √10) * √2 * √ N *
= (23 * √2 * √3) / √10 * √2 * √5 * √6 * N
= 23 * √2 * √3 * √6 * N
= 23 * 6 * N
(3) 따라서, 주어진 식에 대입하여 답을 구하면,
23 * 6 * N = 144
∴ N = 3
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