집합(3) 부분집합의 개수

부분집합의 개수

number of subsets

"그냥 부분집합이라고 하면 자기자신도 포함이 되요"

" A proper subset of a set B is a subset of B that is not equal to B "

진부분집합은 부분집합들 중에서 자기자신을 제외한 부분집합을 말합니다. 따라서 일반적으로 부분집합이라고 말하면 자기자신을 포함하게 되지요.

부분집합의 개수를 구하는 유형은, 각각의 원소들이 포함되느냐 배제되느냐 하는 논리를 기초로 하기 때문에, 고등수학 과정에서 [경우의 수] 등의 응용문제로 다양하게 출제되고 있습니다.

여기에서는 기본원리 위주로 핵심개념만 설명합니다. 심화과정이 아니라면, 중학생은 생략해도 됩니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

예를 들어, 집합 A = {4, 5} 의 부분집합은 원소가 1개인 {4}, {5} 그리고 자기자신 {4, 5} 와 원소가 하나도 없는 공집합 Ø 의 4개가 있습니다. 공집합 Ø 는 { }로도 표시합니다.

위 예의 집합 A 에서 자기자신 {4, 5}를 제외한 공집합 Ø 과 {4}, {5} 를 집합 A 의 진부분집합이라고 따로 명시합니다.

그러면, 집합 A 의 부분집합의 개수는 어떻게 계산되는 것일까요?

	4  ∉	4 ∈
5  ∉	Ø	{4}
5 ∈	{5}	{4, 5}

즉, 특정원소 하나가 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 에 따르는 경우의 수를 구하는 것과 같지요.

따라서, 만일 원소의 개수가 4개라면, 각각의 원소마다 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나]의 2가지 경우의 수를 가지므로, 2 Χ 2 Χ 2 Χ 2 = 16개가 됩니다.

위에서 설명한 원리를 가지고, 문자로 일반화시킨 공식을 만들어 볼까요?

───────────────────────────────────────── 

원소가 n 개인 집합의 부분집합의 개수는

[포함 또는 배제]라는 2가지 경우의 수로 n 번 곱해지는 것이니까,

2ⁿ 개

───────────────────────────────────────── 

이제 약간 응용된 예를 한번 볼까요?

───────────────────────────── 

 집합 X 가 {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이고

 {2, 3, 4, 5} ∩ X = {3, 4}를 만족할 때

 서로 다른 집합 X 의 개수를 구하여라.

───────────────────────────── 

(1) {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이면서 원소 3, 4는 포함하고

     원소 5 는 포함하지 않는다는 얘기구나…

(2) 그러면 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 의 경우의 수에서

     원소 3, 4, 5는 한가지 경우만 가능하고,

     원소 6, 7은 둘 다 가능하다는 얘기네…

(3) 따라서, 부분집합 X 의 개수는 2^{(5 - 3)} =  2² = 4 개

다음은 조금 어렵지만, 상위의 심화수학으로 갈수록 복층식 개념구조를 익혀 둘 필요가 있다는 점에서, 멱집합(power set)을 알아 보도록 하지요.

예를 들어, 집합 A = {4, 5} 에 대하여, 집합 A 의 멱집합은 A 의 부분집합들을 원소로 갖는 집합으로, P(A) 또는 2^A 으로 표시합니다.

즉, P(A) = {Ø, {4}, {5}, {4, 5}} 또는 {{ }, {4}, {5}, {4, 5}} 라고 나타낼 수 있지요.

따라서, 집합 A 의 멱집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16 개가 됩니다.

일반화시켜서, 원소가 n 개인 집합의 멱집합의 부분집합의 개수를 알아 볼까요?

───────────────────────────────────────── 

 (1) 원소가 n 개인 집합 { b₁, b₂, b₃, … ,b_n } 의 부분집합의 개수는 2ⁿ 개.

 (2) 즉, 멱집합의 원소의 개수가 2ⁿ 이니까, 멱집합의 부분집합의 개수는

        2^(2ⁿ) 개가 됩니다.

 (3) 이해가 조금 힘들면, 2ⁿ = K 라고 치환하면 이해하기가 쉬워집니다.

       치환을 능숙하게 이용하면, 수학실력도 크게 늘고, 계산능력도 아주 좋아지지요.

 (4) 이제, 멱집합의 원소의 개수 = 2ⁿ = K 라 놓으면, 멱집합의 부분집합의 개수는

         2^k  즉, 2^(2ⁿ) 개가 되지요.

─────────────────────────────────────────

이제, 확인문제를 하나 풀어 볼까요?

───────────────────────────── 

 집합 A = {4, 5} 의 멱집합의 부분집합을

 순서대로 모두 나열하여라.

───────────────────────────── 

부등식(1) 부등식

부등식

inequalities

"부등호의 방향이 바뀌는 경우는요?"

" When does the direction of the inequality change? "

미지수 개수만큼의 특정한 해만을 갖는 등식에 비해, 부등식은 일정한 범위를 해로 갖기 때문에, 논리적인 계산을 통해서 정답의 정확한 구간을 구해 내야 합니다.

특히, 중학수학부터는 음수(–)를 포함하는 정수나 실수 범위에서 부등식을 풀어야 하기 때문에, 잘못된 풀이를 하거나 계산 실수도 잦아, 많은 학생들이 어려워하고 있습니다.

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선(number line) 다이어그램이나, 좌표평면의 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하고 해결하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프를 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀 두어야 합니다.

등호가 있는 부등식 해의 정확한 구간이라는 것이 다른 표현으로는 바로 최대값 및 최소값 문제이므로, 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내거나, 함수를 그래프로 나타내고 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

등호가 있는 ≥, ≤ 또는 등호가 없는 >, < 의 4 가지 부등호를 써서, 두 수 또는 두 식의 대소관계를 나타낸 식을 부등식이라 합니다.

중고등 수학에서는 음수 (–) 를 포함하는 정수, 유리수나 실수 범위까지 확장이 되니까, 초등산수와는 사뭇 달라지고 더 어려워지는 내용들이 많이 있습니다.

일반적인 실수 범위 내에서의 부등식의 성질에 대하여 꼼꼼하게 살펴 보고, 정리해 두도록 할까요?

[1] 부등식에서의 사칙연산

예를 들어, – 3 < 2 인 부등식의 양변에 같은 수 4 를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 바뀌지 않지만,

음수인 – 2 를 곱해 보면,

(좌변) = (– 3) × (– 2) = 6 이고

(우변) = 2 × (– 2) = – 4 로 부등호가 바뀌는 것을 알 수 있지요?

즉, 음수의 곱셈과 나눗셈에서는 부등호의 방향이 바뀌는 점에 주의해야 합니다. 특히 문자로 표시되는 부등식에서는 대부분의 학생들이 많은 실수를 하고 있으니, 각별히 신경을 써야 합니다.

곱셈과 나눗셈만 문자로 일반화해서 표현해 보도록 할까요?

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

 a ≤ b 가 성립할 때

  k 가 양수 (+) 이면,

  a * k ≤ b * k 와 a / k ≤ b / k 가 그대로 성립하지만,

  k 가 음수 (–) 이면,

  a * k ≥ b * k 와 a / k ≥ b / k  로 부등호가 바뀐다

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

[2] 서로 같은 또는 다른 부호를 부등식으로 표현하기

0 이 아닌 두 수 a, b 는 아래의 표와 같은 4가지의 경우로 나누어 볼 수 있겠지요?

a	b	a × b
+	+	+
+	–	–
–	+	–
–	–	+

따라서,

(1) 두 수 a, b가 서로 같은 부호라는 표현을 부등식으로 나타낸다면,

       a × b > 0  즉,  ab > 0 이라고 하고

(2) 두 수 a, b 가 서로 다른 부호일 때는,  ab < 0 이라고 부등식을

      이용해서 간단하게 나타냅니다.

[3] 역수의 부등호

역수의 부등식은 부호에 따라 조금 복잡합니다. 우선 예를 보도록 할까요?

3 < 5 인 부등식에서 역수를 취하면, 1/3 > 1/5 이 되고,

– 3 < – 2 인 부등식에서 역수를 취하면, – 1/3 > – 1/2 이 되니까,

초등 시절에 배웠던 대로, 역수에서는 항상 부등호가 바뀐다고 생각하면 될까요?

만일, 서로 부호가 다른 – 3 < 2 인 부등식에서 역수를 취하면,  – 1/3 < 1/2 이 되어, 부등호의 방향이 바뀌지 않는군요 !

따라서, 문자를 써서 일반적인 성질을 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

 a ≤ b 가 성립할 때,

  ab > 0 이면,

    1/a  ≥  1/b 로 부등호가 바뀌지만,

  ab < 0 이면,

   a 는 음수(–)이고, b 는 양수(+)이므로

   1/a  ≤  1/b 로 부등호가 바뀌지 않는다.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

[4] 부등식의 전이(transition)

a ≤ b 이고 동시에(∩) b ≤ c 라면, a ≤ c 가 성립하지만,

두 조건 중에 하나라도 등호가 없는,

[ a ≤ b 이고 b < c ] 또는 [ a < b 이고 b ≤ c ]인 경우에는,

당연히 등호가 없는 a < c 가 성립하겠지요?

이번에는 간단하게 실수범위 내에서의 부등식의 성질을 살펴 보았고, 다음에는 일차 및 연립 부등식에 대하여 공부합니다.