이차함수(4) 이차함수와 판별식

이차함수와 판별식

discriminant to describe quadratic function

"판별식만으로도 포물선의 위치가 저절로 떠올라요"

" discriminant formula automatically

reminds me of the position of the parabola "

  

이차함수 그래프의 위치 관계와 판별식은 중등 심화과정과 고등과정의 이차 함수와 포물선, 최대값 및 최소값 등의 단원에서, 연계형 유형으로 다양하게 응용되고 있습니다.

특히, 포물선과 직선, 원과 포물선 또는 원과 직선 등 이차식으로 표현되는 그래프들 간의 위치 관계나 최대값 및  최소값을 구하는 핵심적인 개념이며 원리입니다.

가급적 쉽게 기초부터 설명할 예정이니, 철저하게 원리를 이해하고, 응용력을 키워 두어야 합니다.

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포물선의 모양을 갖는 이차식 y = ax² + bx + c 의 그래프를 x 축과의 위치 관계로 나타내면 어떤 종류들이 있을까요?

만일 a 가 양수 (+) 라고 한다면, 아래의 그림과 같이 (a) 두 점에서 만나는 빨간색 (b) 한 점에서 접하는 검은색 그리고 (c) 만나지 않는 파란색 포물선의 3 가지 경우로 나누어서 생각해 볼 수 있겠지요?

[ A ] x 축과 두 점에서 만난다

먼저, 빨간색 포물선 y = ax² + bx + c (a > 0) 가 x 축과 만나는 점 A 와 B 의 좌표를 구해 보도록 할까요?

(1) x 축의 방정식이 y = 0 이니까, 포물선과 x 축의 두 그래프를 연립으로 하는 이차방정식 ax² + bx + c = 0 를 풀어야 하겠지요?

(2) 앞의 이차방정식에서 배운대로 ax² + bx + c = 0 의 두 근은, 근의 공식을 이용하면,

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

(3) 그런데, 항상 – b – √(b² – 4ac) < – b + √(b² – 4ac) 가 성립하니까, a > 0 일 때, 두 점 A 와 B 의 좌표를 구해보면,

  

A = ( { – b – √(b² – 4ac)} / 2a , 0 )

B = ( { – b + √(b² – 4ac)} / 2a , 0 )

(4) 이 때, 점 A 와 B 는 서로 다른 두 점이니까, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 양 (+) 의 값을 가져야 하겠지요?

[ B ] x 축과 접한다

그러면, 검은색 포물선 y = ax² + bx + c 가 x 축과 만나는 점 C 의 좌표는 어떻게 될까요?

(1) 위에서 구한 두 근, { – b – √(b² – 4ac)} / 2a 와 { – b – √(b² – 4ac)} / 2a 가 점점 모아져서 하나로 합쳐지는 점이겠지요?

(2) 따라서, 두 근의 x 좌표에서, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 0 이 되어야 합니다. 따라서 점 C 의 좌표는 ( – b /2a , 0) 가 됩니다.

[ C ] x 축과 만나지 않는다

마지막으로, 파란색 포물선 y = ax² + bx + c 는 x 축과 만나지 않으니까, 이차방정식 ax² + bx + c = 0 는 실수값의 해를 가지지 않는 것이겠지요?

(1) 즉, 두 근의 x 좌표에서, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 음수 (–) 가  되어, x 좌표는 허수의 값을 갖게 되고,

(2) 따라서, 실수의 좌표 평면에서는 그 값 즉, 두 근의 위치를 나타낼 수 없다는 뜻이 됩니다.

이제 그러면, 지금까지 공부한 내용을 일반화시켜서 정리해 볼까요?

위의 도표는 이차함수로 표시되는 포물선 그래프와 x 축과의 위치 관계와 관련하여 앞으로도 다양하게 응용되니까, 그래프의 모양과 함께 반드시 기억해 두기 바랍니다.

뒤에서 자세히 설명할 예정이지만, 예를 들자면, 이차의 절대 부등식에서도 활용됩니다. 이와 관련된 보기 문제를 하나 보도록 할까요?

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모든 실수 x 에 대하여, 이차 부등식 ax² + 4x + a < 0 가 항상 성립하기 위한 a 값의 범위를 구하여라.

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(1) 위에서 정리해 두었던 도표에서, 가장 아래 칸에 있는 포물선 그래프의 위치에 해당하는 내용을 기억해 내야 되겠지요?

(2) a < 0 그리고 동시에 (∩) D < 0 의 조건을 만족해야 하니까,

a < 0 ⋯ ①

(3) 또, D/4 = 4 – a² < 0 에서,

a < – 2  or  a > 2 ⋯ ②

(4) 따라서, ① ∩ ② 를 연립으로 풀면,

답은 a < – 2

이 뿐만 아니라, 다음에 설명할 포물선과 직선의 위치관계 등에서도, 이번에 배운 똑같은 원리가 그대로 적용됩니다.


확실하게 이해해 두고, 앞으로 배우게 될 다양한 유형에서 활용할 수 있도록 철저하게 복습해 두기 바랍니다.

  

집합(3) 부분집합의 개수

부분집합의 개수

number of subsets

"그냥 부분집합이라고 하면 자기자신도 포함이 되요"

" A proper subset of a set B is a subset of B that is not equal to B "

진부분집합은 부분집합들 중에서 자기자신을 제외한 부분집합을 말합니다. 따라서 일반적으로 부분집합이라고 말하면 자기자신을 포함하게 되지요.

부분집합의 개수를 구하는 유형은, 각각의 원소들이 포함되느냐 배제되느냐 하는 논리를 기초로 하기 때문에, 고등수학 과정에서 [경우의 수] 등의 응용문제로 다양하게 출제되고 있습니다.

여기에서는 기본원리 위주로 핵심개념만 설명합니다. 심화과정이 아니라면, 중학생은 생략해도 됩니다.

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예를 들어, 집합 A = {4, 5} 의 부분집합은 원소가 1개인 {4}, {5} 그리고 자기자신 {4, 5} 와 원소가 하나도 없는 공집합 Ø 의 4개가 있습니다. 공집합 Ø 는 { }로도 표시합니다.

위 예의 집합 A 에서 자기자신 {4, 5}를 제외한 공집합 Ø 과 {4}, {5} 를 집합 A 의 진부분집합이라고 따로 명시합니다.

그러면, 집합 A 의 부분집합의 개수는 어떻게 계산되는 것일까요?

	4  ∉	4 ∈
5  ∉	Ø	{4}
5 ∈	{5}	{4, 5}

즉, 특정원소 하나가 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 에 따르는 경우의 수를 구하는 것과 같지요.

따라서, 만일 원소의 개수가 4개라면, 각각의 원소마다 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나]의 2가지 경우의 수를 가지므로, 2 Χ 2 Χ 2 Χ 2 = 16개가 됩니다.

위에서 설명한 원리를 가지고, 문자로 일반화시킨 공식을 만들어 볼까요?

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원소가 n 개인 집합의 부분집합의 개수는

[포함 또는 배제]라는 2가지 경우의 수로 n 번 곱해지는 것이니까,

2ⁿ 개

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이제 약간 응용된 예를 한번 볼까요?

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 집합 X 가 {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이고

 {2, 3, 4, 5} ∩ X = {3, 4}를 만족할 때

 서로 다른 집합 X 의 개수를 구하여라.

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(1) {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이면서 원소 3, 4는 포함하고

     원소 5 는 포함하지 않는다는 얘기구나…

(2) 그러면 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 의 경우의 수에서

     원소 3, 4, 5는 한가지 경우만 가능하고,

     원소 6, 7은 둘 다 가능하다는 얘기네…

(3) 따라서, 부분집합 X 의 개수는 2^{(5 - 3)} =  2² = 4 개

다음은 조금 어렵지만, 상위의 심화수학으로 갈수록 복층식 개념구조를 익혀 둘 필요가 있다는 점에서, 멱집합(power set)을 알아 보도록 하지요.

예를 들어, 집합 A = {4, 5} 에 대하여, 집합 A 의 멱집합은 A 의 부분집합들을 원소로 갖는 집합으로, P(A) 또는 2^A 으로 표시합니다.

즉, P(A) = {Ø, {4}, {5}, {4, 5}} 또는 {{ }, {4}, {5}, {4, 5}} 라고 나타낼 수 있지요.

따라서, 집합 A 의 멱집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16 개가 됩니다.

일반화시켜서, 원소가 n 개인 집합의 멱집합의 부분집합의 개수를 알아 볼까요?

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 (1) 원소가 n 개인 집합 { b₁, b₂, b₃, … ,b_n } 의 부분집합의 개수는 2ⁿ 개.

 (2) 즉, 멱집합의 원소의 개수가 2ⁿ 이니까, 멱집합의 부분집합의 개수는

        2^(2ⁿ) 개가 됩니다.

 (3) 이해가 조금 힘들면, 2ⁿ = K 라고 치환하면 이해하기가 쉬워집니다.

       치환을 능숙하게 이용하면, 수학실력도 크게 늘고, 계산능력도 아주 좋아지지요.

 (4) 이제, 멱집합의 원소의 개수 = 2ⁿ = K 라 놓으면, 멱집합의 부분집합의 개수는

         2^k  즉, 2^(2ⁿ) 개가 되지요.

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이제, 확인문제를 하나 풀어 볼까요?

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 집합 A = {4, 5} 의 멱집합의 부분집합을

 순서대로 모두 나열하여라.

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