연립일차방정식
systems of linear equations
"컴퓨터공학이나 경제학 등 많은 분야에서 활용돼요"
" are used in various fields
including computer science and economics "
연립방정식 또한, 대부분의 많은 중고등학생들이 정확하게 풀지 못하고, 매우 어려워하는 단원의 하나입니다.
영어로 ‘systems of ~’ 라고 하듯이, 아무리
쉬운 일차의 연립방정식이라도, 전략적인 생각도 없이 그냥 풀기만 해서는 실수도 많고, 시간도 많이 걸리는 유형입니다.
따라서, 가장 기초적인 이원일차 연립방정식부터, 전략적 사고와 접근방법을 확실하게 이해하고, 충분히 익혀 두어야
합니다.
특히, 연립일차방정식을 직선의 위치관계라는 그래프의
개념과 함께 이해하고 응용력을 키워 두어야, 고등수학에서 나타나는 다양한 유형들을 쉽게 해결할 수
있습니다.
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[ 1 ] 이원 일차 연립방정식
한자를 사용한 표현이지만, 일반적으로 미지수의 개수를 [원]이라 하고, 주어진 방정식 중 최고차 항을 [차]라고 합니다.
따라서, [이원 일차]라는 뜻은 미지수가 2개이고, 최고차 항이 일차이니까, 주어진 서로 다른 식의 개수가 미지수의 개수와 같은 2개이어야, 표준적인 방법으로 한 쌍의 해가 구해진다는 것을 알 수 있습니다.
만일 [삼원 일차]라면 미지수가 3개이니까, 주어진 서로 다른 식의 개수가 3개이어야, 표준적인 방법으로 한 쌍의 해가 구해진다는 뜻이지요.
참고로, 주어진 서로 다른 식의 개수가 미지수의 개수보다 1개가 적은 경우에는, 표준적인 방법으로 미지수들의 비례값까지는 구할 수 있습니다.
쉬운 예를 하나 볼까요? 다음과 같은 연립방정식을 풀기 위하여도, 우선 전략을 생각하는 것이 중요합니다.
다음 연립방정식을 풀어라.
↱ y = – 2x + 1
↳ y = (3/2)x – 6
(1) 우선, 주어진 연립방정식에 아래와 같이 번호를 붙입니다. 그래야, 순서에 따라 전략적인 방법을 간단하게 식으로 나타낼 수 있어요.
y = – 2x + 1 ⋯ ①,
y = (3/2)x – 6
⋯ ②
(2) 두 식을 같다고 놓는다면, [등치법] ① = ② :
–2x + 1 = (3/2)x – 6를 풀면 되겠지요?
정리해서 계산하면, x = 2 ⋯ ③
(3) 구해진 x = 2 ⋯ ③ 를 주어진 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ①식에 대입해서 풀면,
[대입법] ③ ⇒ ① :
y = –2 Χ
2 + 1 = –3. 따라서, (x, y) = (2,
–3)
참고로, 대입법이나 가감법 등의 용어는 개정된 교과과정에서는 사용하지 않는 용어이지만, 중국의 영향력이 커지는 국제화 시대에는 간결한 한자말의 사용도 무방하다고 생각됩니다.
다른 예를 하나 볼까요? 이번에는 어떤 전략이 필요할까요?
다음 연립방정식을 풀어라.
↱ x + 2y = 1
↳ 3x – 4y = 13
(1) 우선, 각각의 식에 번호를 부여합니다.
x + 2y = 1 ⋯ ①, 3x – 4y = 13 ⋯ ②
(2) 식을 살펴보니까, x 보다는 y 를 소거하는 것이 편하겠지요?
[가감법] ① Χ 2 + ② :
y 항은 이미 소거된 것이니까, x 항과 상수항만 계산하면
x * 2 + 3 x = 1 * 2 + 13
정리해서 계산하면, x = 3 ⋯ ③
(3) 구해진 x = 3을 주어진 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ①식에 대입해서 풀면,
[대입법] ③ ⇒ ① :
3 + 2 y
= 1. 따라서, (x, y) = (3, –1)
처음에 예를 든 연립방정식은 y = –2x + 1 =
x – 6 와 같이 [ A = B = C ]의 꼴로 표현되기도 합니다. 이 때에는,
↱ A = B ↱ A = B ↱ A = C
↳ A = C or ↳ B = C or ↳ B = C 의 3가지 연립방식 중에서
가장 계산하기 쉬운 것으로, 골라서 풀면 됩니다.
이번에는, 계수가 소수나 분수로 되어 있는 연립방정식을 풀어 볼까요?
다음 연립방정식을 풀어라.
↱ (1/3)x – (1/2)y = 1/6
↳ 0.4x – 0.3y = 1.1
(1) 우선, 각각의 식마다 번호를 부여하고, 분수인 경우에는 양변에 최소공배수를, 소수인 경우에는, 10의 거듭제곱을 곱해서, 계산하기 쉬운 형태로 고친 후에, 풀면 됩니다.
2x – 3y = 1 ⋯
①, 4x – 3y = 11 ⋯ ②
(2) 이렇게 바꾸니, y 부터 소거하는 것이 쉽게 보이지요?
[가감법] ② – ① :
y 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면
2x = 10. 따라서, x = 5 ⋯ ③
(3) 구해진 x = 5 를 주어진 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ①식에 대입해서 풀면,
[대입법] ③ ⇒ ① :
2 * 5 – 3
y = 1. 따라서, (x, y) = (5, 3)
[ 2 ] 삼원 일차 연립방정식
이제, 더 복잡한 삼원 일차 연립방정식을 풀어 볼까요?
다음 연립방정식을 풀어라.
↱ 3x + 2y – z = 12
x + y + z = 6
↳ x – 2y – z = – 2
(1) 우선, 순서대로 번호를 ①, ②, ③ 부여한 다음, 미지수를 3개 ⇒ 2개 ⇒ 1개로 줄여 나가는 방법과, 어떤 문자부터 소거하는 것이 편리할까를 전략적으로 생각해야 합니다.
(2) 식을 살펴보니, z 부터 소거하는 것이 좋겠지요?
[가감법] ① + ② :
z 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면
4x + 3y = 18 ⋯ ④
(3) 나머지 다른 식들에서, 또 z 를 소거해야 하겠지요?
[가감법] ② + ③ :
z 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면
2x – y = 4 ⋯ ⑤
(4) 이제, 이원 일차 연립방정식이 되었지요?
↱ 4x + 3y = 18 ⋯ ④
↳ 2x – y = 4 ⋯ ⑤
(5) 이번에는 y 를 소거할까요?
[가감법] ④ + ⑤ Χ 3 :
y 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면
4x + 2x * 3 = 18 + 4 * 3
정리해서 계산하면, x = 3 ⋯ ⑥
(6) 구해진 x = 3 을 남은 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ⑤식에 대입해서 풀면,
[대입법] ⑥ ⇒ ⑤ :
2 Χ 3 – y = 4. 따라서, y = 2 ⋯ ⑦
(7) 구해진 x = 3 과 y = 2 를 처음 3개의 식 중에서, 보다 간단한 ②식에 대입해서 풀면,
[대입법] ⑥, ⑦ ⇒ ② :
z = 1. 따라서, (x, y, z) = (3, 2, 1)
위에서 설명하고 예를 든, [빨간색의 전략 표현식]은 각 단계마다 반드시 별도의 한 줄에 표시하고, 전략을 생각하면서 풀어 나가기 바랍니다.
이러한 전략적 사고가 있어야만, 상당히 복잡해 보이는 연립방정식도 쉽고 빠르게, 그리고 틀리지 않고, 풀어낼 수 있습니다.
그러면 이제, 확인문제를 한번 풀어 볼까요?
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각 식에 순서대로 번호를 부여하고, 단계별로 전략 기호를 표시하는 방법으로
다음 연립방정식을 풀어라.
↱ x + 2y – 3z = – 1
– 2x + y + z = 4
↳ x – y – 2z = 3
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