직선의 방정식
linear equations & function graphs
"x축과 수직인 직선의 방정식은 일차함수가 아니예요"
" the equation of line that is perpendicular to x-axis
is not a linear function "
일차식을 그래프로 나타내면 직선이 되고, 직선의 그래프를 식으로 나타내면 일차식이 되니까, 함수 방정식과 그 그래프는 마치 동전의 양면과 같다는 아주 중요한 개념입니다.
그러나 모든 직선의 방정식을 일차함수식으로 표현해 낼 수 있는 것은 아닙니다.
가장 기초적인 정비례의 그래프를 충분히 익혔다면, [절편 표시방법], [음(–)함수 표시방법] 등 다양한 방법들도 알아 두어야, 중고등수학 전반에서 응용력을 가지고 문제를 해결해 나갈 수 있습니다.
이번 단원 역시 중요한 개념이니, 철저히 공부해서 응용력을 키워 두기 바랍니다.
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직선의 방정식을 그래프로 나타내거나, 직선의
그래프를 일차식으로 바꾸는 방법은 여러 가지가 있습니다. 앞에서 배운, 일차함수와 그래프를 복습해 볼까요?
일차함수 y = mx + n 의 그래프를 배웠습니다. 그러면, 이 일차식 만으로 좌표평면 위에 모든 직선을 나타낼 수 있을까요?
기울기 m 에 따라, 수많은 여러 가지 직선을 나타낼
수 있지만, 단 한 가지, x 축에 수직인 직선은 그릴 수가 없습니다.
지난 번에 풀어보기 확인 문제였던 x = 2 의 그래프를 볼까요?
일차식 y = mx + n 의 표현 방법으로는, y 항을 없앨 수가 없기 때문에, y 항이 없는 x = 2 라는 직선의 방정식을 나타낼 수가 없지요.
x 축에 수직인 직선을 포함하는, 모든 직선을
나타내기 위하여는, 미지수를 하나 더 추가하는 새로운 일차 함수식이 필요합니다.
따라서, 고등수학에서는 일반화된 표현방법인 ax + by + c = 0를 더 많이 사용합니다. 여기에서, b = 0 이면 x 항만 남게 되니까, x 축에 수직인 직선을 나타낼 수가 있지요.
물론, b ≠ 0 일 때는, 이 식의 양변을 b 로 나눈 다음, y 에 관하여 정리하면,
by = – ax – c 즉, y = – (a / b) x – (c / b) 가 되니까,
기울기 m = – (a / b) 이고, y 절편 n = – (c / b) 라고 할 수 있겠지요?
[ A ] 음함수 표시 방법
y = mx + n 와 같이, y = f (x) 의 꼴로 나타내는 것을 양(+)함수 표시 방법이라 하고,
ax + by + c = 0 와 같이, f (x,
y) = 0 의 꼴로 나타내는 것을 음(–)함수 표시 방법이라 부릅니다.
일반화된 일차함수 ax + by + c = 0 을 그래프로 그리는 방법도, 위에서 설명한
양(+)함수 표시 방법으로 바꾸면,
기울기가 m = – (a / b) 이고, y 절편은 n = – (c / b) 가 되니까, 앞의 일차함수와 그래프 편에서 배웠던, y = mx + n 을 그리는 요령과 똑같겠지요?
이번에도 문자를 써서, 요약 정리를 해 볼까요?
(1) b ≠ 0 일 때는, 우선 y 절편 (0, – c/b) 를 찍고,
(2) 기울기 = – a / b 로 해석해서, y 절편을 찍은 점에서 [(분모인) 오른쪽으로 b 칸] 움직일 때, [(분자인) 위 또는 아래로 a 칸] 움직인 새로운 점을 찍은 다음,
(3) 두 점을 연결하는 직선을 한 번에 그리면 됩니다.
(4) b = 0 일 때는, x = – (c / a)이니까, x 축 위의 점 (– c/a, 0)을 지나고,
x 축에 수직인 직선을 그리면 되겠지요?
[ B ] 두 점을 지나는 직선
이제, 두 점 A = (–3, 2) 와 B = (6, 5) 을 지나는 직선의 방정식에 대해서 알아 볼까요?
(1) 기울기는 아래 그림에서 초록색 점선으로 표시된 것과 같이 [오른쪽으로 9칸] 갈 때, [위로
3칸] 갔으니까, (
(2) 원점을 지나고 기울기가 1/3 인 직선의 방정식은, 위 그림에서 검은색 직선인
y = (1/3)x 인데,
(3) 파란색 직선은 검은색선 위의 원점을 B = (6, 5) 까지 평행이동시킨 것과 같으니까,
x 대신에 x – 6을 대입하고, y 대신에 y – 5 를 대입하면,
y – 5 =
(x – 6)
정리하면 y = x + 3
위의 내용을 문자로 정리해 볼까요?
두 점 A = (x1, y1) 과 B = (x2, y2)를 지나는 직선의 방정식을 구하면,
(1) [오른쪽으로 | x2 – x1 | 칸] 갈 때, [위로 | y2 – y1 | 칸] 움직이니까,
기울기는 (y2 – y1) / (x2 – x1) 또는 (y2 – y1)(x2 – x1)
(2) 원점을 지나고 기울기가 같은 직선은, y = {(y2 – y1) / (x2 – x1)} x 인데,
(3) 이 직선 위의 원점을 A = (x1, y1) 까지 평행이동시킨 것과 같으니까
x 대신에 (x – x1)을 대입하고 y 대신에 (y – y1)을 대입하면,
(y – y1) = {(y2 – y1) / (x2 – x1)}(x – x1)
(4) 참고로, 원리가 같으니까, 정리해
보면 아래의 식들도 실제로 전부 똑같습니다.
계산하기 편한 대로 골라서 쓰면 됩니다.
(y – y1) = {(y2 – y1) / (x2 – x1)}(x – x1)
또는
(y – y2) = {(y2 – y1) / (x2 – x1)}(x – x2)
또는
(y – y1) = {(y1 – y2) / (x1 – x2)}(x – x1)
또는
(y – y2) = {(y1 – y2) / (x1 – x2)}(x – x2)
이 내용을 공식으로 정리할까요?
반드시 암기해 두기 바랍니다.
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두 점 A = (x1, y1) 과 B = (x2, y2)를 지나는 직선의 방정식은,
(y – y1) = {(y2 – y1) / (x2 – x1)}(x – x1)
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[ C ] 절편 표시 방법
또 하나의 직선 방정식은 x, y 절편을 이용하는 방법입니다. x 절편이 a 이고 y 절편이 b 일 때, x / a + y / b = 1 과 같은 형식으로 표현합니다.
위의 그림에서 파란색 직선과 같이, x 절편이 3 이고 y 절편이 2 일 때,
x / 3 + y / 2 = 1 로 표현할 수 있겠지요?
그럼, 위의
그림에서 빨간색 직선의 식은 어떻게 될까요?
절편을 이용한 식으로 세우면, x 절편이 – 2 이고 y 절편이 2 이니까,
x / (– 2) + y / 2 = 1 이 되겠지요?
그대로 두어도 되고, 다시 정리한다면
그대로 두어도 되고, 다시 정리한다면
x – y + 2 = 0 또는 y = x + 2 라고 표현해도 됩니다.
이 방법에 대한 자세한 원리는, 뒤의 [그래프의 확대와 축소] 편에서 자세하게 설명하도록 하지요. 지금은 하나의 공식으로 기억해 두기 바랍니다.
그러면 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?
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두 점 (–1, 1) 과 (2, 5) 를 지나는 직선과 평행하고
x 절편이 6 인 직선의 방정식을 구하여라.
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