제곱근(1) 제곱근

제곱근

square roots

"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"

" square root is a gateway to

solving quadratic equations "

√3 과 같은 제곱근은 이차방정식의 해를 구하는 데 가장 기초적인 개념입니다.

제곱의 계산과 반대되는 역의 연산으로, 앞으로 고등과정에서 배우는 무리함수 또는 역함수나 지수 및 로그와도 관련되므로, 처음부터 기초개념을 확실하게 배워 두기 바랍니다.

중 3 에서는 실수 범위 내에서의 제곱근을 공부하고, 고 1 과정에서는 음수의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 확대됩니다.

특히, 문자로 표시되는 제곱근의 성질은, 심화 수준의 고등수학에서도 자주 등장하는 유형이므로, 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두어야 합니다.

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[ 1 ]  어떤 수 x 를 제곱하여 3 이 될 때 그 x 를 3 의 제곱근이라고 하고, 이 제곱근은 루트기호를 사용해서 √3 이라고 나타내고 ‘제곱근 3’ 또는 ‘루트 3’ 이라고 읽습니다.

그런데 음수(–) 를 제곱해도 양수(+) 가 되니까, 자신을 제곱해서 3 이 되는 수를 말하는 ‘3 의 제곱근’ 에는 √3 만이 아니라 – √3 도 있지요.

x² = 3

∴  x = √3  or  – √3

예를 들어, 5의 제곱근은 위에서 설명한 대로 제곱해서 5가 되는 수를 말하는 것이니까, 양수 √5 와 음수인 – √5 의 두 개가 있겠지요?

[ 2 ]  제곱수인 9 의 제곱근도 x² = 9 의 해가 되는 수이니까, 양수인 √9 (= 3) 뿐 만이 아니라, 음수인  – √9 (= – 3) 의 두 수   즉,  ± 3 을 9 의 제곱근이라 합니다.

⇦     제곱근 (square root)     ⇦

± 3                                                        9

⇨          제곱 (square)          ⇨

이 때 √9 와 같은 제곱수의 제곱근은, 실제 계산의 결과나 답으로 쓸 때에는 루트기호로는 나타내지 않는 것이 원칙입니다. 즉, √9 또는 √25 는 각각 루트기호를 쓰지 않고, 그냥 자연수 3 또는 5 라고 표현합니다.

√9 = √3² = 3

√25 = √5² = 5

* 참고로, 영어권 국가에서는 특별히, 루트기호를 없앨 수가 없는 (완전 제곱수가 아닌) 수들의 제곱근 즉, √2 나 √3 과 같은 수들을 따로 ‘surds’ 라고 부릅니다.

[ 3 ]  제곱근을 계산할 때는 루트기호 없이도 자연수로 나타낼 수 있는 (완전) 제곱수들을 기억해 두는 것이 제곱근 식을 계산하는 데 아주 편리합니다. 11의 제곱수부터 곱셈공식의 전개를 이용해서 구해 본 다음, 한 번 외워 보도록 할까요?

11² = (10+1)² = 10² + 2x10x1 + 1²= 121

12² = (10+2)² = 10² + 2x10x2 + 2²= 144

13² = (10+3)² = 10² + 2x10x3 + 3²= 169

14² = (10+4)² = 10² + 2x10x4 + 4²= 196

15² = (10+5)² = 10² + 2x10x5 + 5²= 225

16² = (10+6)² = 10² + 2x10x6 + 6²= 256

17² = (10+7)² = 10² + 2x10x7 + 7²= 289

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[ 4 ]  이번에는 제곱수가 자연수가 아니라, 분수나 특히 소수로 표현되는 경우를 살펴 보도록 할까요? 앞에서 살펴본 제곱수들을 기억해 두면 아주 편리하지요.

이런 유형의 문제를 만나면 당황하거나 실수하는 학생들이 꽤 많으니, 많은 연습을 통해 기초적인 계산실력을 단단하게 갖추어 두기 바랍니다.

√ 0.01  = √(0.1²) = 0.1

√ 1.69  = √(1.3²) = 1.3

√ 1.96  = √(1.4²) = 1.4

√ 2.89  = √(1.7²) = 1.7

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[ 5 ]  마지막으로 영어의 '루트'를 번역하는 과정에서 발생되는 독특한(?), 한국학생들이 당하는 진위유형의 함정 문제도 잘 알아 둘 필요가 있습니다.

첫째로 ‘제곱근 3’ 이라는 표현은 단순히 ‘루트 3’ 을 번역한 √3 을 말하는 것이고, 둘째로 ‘3의 제곱근’ 이라는 용어는 자신을 제곱해서 3 이 되는 값들인 √3 과  – √3 의 두 개를 모두 말하는 표현입니다.

제곱근 또는 거듭제곱근 진위문제에서 자주 등장하니까, 시험볼 때 실수하지 않도록 유의하기 바랍니다.^^

그러면, 제곱수와 관련된 약간은 어려운 응용 문제를 풀어 보도록 합시다.

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√ 300 – N  의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 N 의 개수를 구하여라.

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(1) 우선, 300 – N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 그런데, N 이 자연수이니까, 300 – N 의 값이 되는 범위를 살펴보면,

N ≥ 1

1 ≤ 300 – N ≤ 299

∴  1 ≤ √ 300 – N  ≤ √ 299 

(3) 여기서, 근사값을 계산해 보면, 300 – N 이 완전제곱수가 되는 경우는

√ 299  ≈ √ 300 

= √ 3  x 10

= 17.32⋯

∴  300 – N = 1², 2², ⋯ , 17²

* 참고로, 한국의 중고등 학생이라면 √2 = 1.414 그리고 √3 = 1.732 정도는 반드시 외워 두는 것이 좋습니다.^^



(4) 따라서, 답은 17 개이고, 참고로 자연수 N 의 값들을 살펴 보면,

N₁ = 300 – 1² = 299

N₂ = 300 – 2² = 296

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N₁₇ = 300 – 17² = 11

한 문제 더 풀어 보도록 할까요?

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√ 150 x N  의 값이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 N 의 값을 구하여라.

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(1) 150 x N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 150 을 소인수로 분해해 보면,

150 = 2 x 3 x 5²

(3) 따라서, 150 x N 을 (완전) 제곱수로 만들 수 있는 가장 작은 값 N 은,

∴  N = 2 x 3 = 6

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영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

Please click the following link to read English translation.

http://jaymathbee.blogspot.kr

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곱셈공식(1) 곱셈공식

곱셈공식

expanding polynomials

"기본적인 곱셈공식은 외워두어야 해요"

" You should memorize basic polynomial expansions "

다항식의 전개는 다항식끼리의 곱셈을 주로 분배법칙을 이용하여 계산한 후, 한 문자에 관한 내림차순으로 정리하는 것입니다.

이 결과들을 곱셈공식이라 하고 다항식을 인수 분해하는 원리 및 그 과정과 역의 관계가 됩니다.

초등수준에서 구구단을 외워 두어야 산수계산을 잘 할 수 있는 것과 마찬가지로, 중고등수학에서 방정식 등을 해결하기 위하여는 반드시 기초적인 곱셈 공식들을 외워 두어야만 합니다.

상위수준의 어려운 심화수학도 기본적인 원리나 공식에 대한 암기에서 출발한다는 점을 명심하고, 철저히 복습하고 기억해 두기 바랍니다.

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[ 1 ] 기초 공식

지난 번에 배웠던 곱셈 공식을 복습해 볼까요?

(1) (a – b)² = (a – b) * (a – b)

= (a – b) * a – (a – b) * b

= a² – ba – ab + b²

= a² – 2ab + b²

이렇게 항이 2개인 다항식을 여러 번 거듭해서 곱하는 것을 특별히 [이항정리]라고 합니다. 이와 관련된 [파스칼의 삼각형]이나 [조합을 이용한 전개식] 등은 뒤에서 다루도록 합니다.

우선, 기초적인 곱셈 공식들을 보도록 할까요? 반드시 직접 식들을 전개하고 정리한 후, 그 결과를 공식으로 암기해 두기 바랍니다.

(2) (a + b) (a – b) = (a + b) * (a – b)

= (a + b) * a – (a + b) * b

= a² + ba – ab + b²

= a² – b²

위 식은 워낙 유명하고 자주 활용되어, [합차공식] 이라고도 불립니다.

(3) (x + a) (x + b) = (x + a) * (x + b)

= (x + a) * x + (x + a) * b

= x² + ax + xb + ab

= x² + (a + b)x + ab

이 식은 (x + a) 대신에 ( x – α ), 그리고 (x + b) 대신에 ( x – β ) 를 대입하면,

( x – α ) ( x – β ) = 0 이라는 형태가 되고, 이차방정식의 두 근 α, β 와 계수와의 관계의 단원에서 자주 나오는 중요한 공식입니다.

(4) (ax + b) (cx + d) = (ax + b) * (cx + d)

= (ax + b) * cx + (ax + b) * d

= acx² + bcx + adx + bd

= acx² + (ad + bc)x + bd

위 식은 일반적으로 이차항의 계수가 1이 아닌 이차방정식을 인수분해할 때 많이 쓰입니다.

(5) (a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c)

= (a + b + c) * a + (a + b + c) * b + (a + b + c) * c

= a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac+ bc+ c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

[ 2 ] 심화 공식

이제, 고등수학 수준에서 자주 등장하는 조금 더 심화된 공식들을 살펴 볼까요?

(6) (a + b)³ = (a + b)² * (a + b)

= (a + b)² * a + (a + b)² * b

여기서, 앞의 결과를 이용하면,

= (a² + 2ab + b²) * a + (a² + 2ab + b²) * b

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

참고로, 음수의 경우는 (a – b)³ = { a + (– b) }³라고 생각하는 것이 쉽고, 외우기도 아주 편리하지요.

(6-1)  (a – b)³ = { a + (– b) }³

= a³ + 3a²(– b) + 3a(– b)² + (– b)³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(7) (x + a) (x + b) (x + c) = (x + a) (x + b) * (x + c)

이것도 앞의 (3)의 결과를 이용하면,

= { x² + (a + b)x + ab } * (x + c)

= { x² + (a + b)x + ab } * x + { x² + (a + b)x + ab } * c

= x³ + (a + b)x² + abx + cx² + (a + b)cx + abc

= x³ + (a + b)x² + abx + cx² + acx + bcx + abc

= x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

이 경우도, ( x – α ) ( x – β ) ( x – γ ) = 0의 형태로 바꾸면, 삼차방정식의 세 근 α, β, γ 와 계수와의 관계 단원에서 나오는 중요한 공식이 됩니다.

(8) (a + b) (a² – ab + b²)

= a * (a² – ab + b²) + b * (a² – ab + b²)

= a³ – a²b + ab² + ba² – ab² + b³

= a³ + b³

음수의 경우는 위에서 설명한 것과 마찬가지로, (8)번 식에서 b 대신에 (– b)를 대입한다고 생각하면, 

(8-1) (a – b) (a² + ab + b²) = {a + (– b)}{a² – a * (– b) + (– b)²}

= a * (a² + ab + b²) – b * (a² + ab + b²)

= a³ + a²b + ab² – ba² – ab² – b³

= a³ – b³

이 식도 하나의 쌍으로 외우기도 아주 편리하지요. 자주 활용되는 중요한 공식이니, 원리와 함께 꼭 기억해 두기 바랍니다.

(9) (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

      = a * (a² + b² + c² – ab – bc – ca) + b * (a² + ⋯ ) + c * (a² + ⋯ )

= a³ + ab² + ac² – a²b – abc – ca² + ba² + ⋯

...

= a³ + b³ + c³ – 3abc

위 식은 고등수학의 심화문제에서 단골로 등장하는 매우 중요한 공식입니다. 전개 과정을 일부러 생략했으니, 스스로 전개해서 결과를 정리해 본 후, 반드시 외워서 활용할 수 있도록 공부해 두어야 합니다.

이 공식은 특히 다음과 같은 변형공식으로 훨씬 더 많이 활용됩니다. 원리를 이해한 후, 외워 두세요.

   a² + b² + c² – ab – bc – ca

= (1/2) * (2a² + 2b² + 2c² – 2ab –2bc – 2ca)

= (1/2) * (a² – 2ab + b² + b² –2bc + c² + c² – 2ca + a²)

= (1/2) * { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

따라서,

(a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

= (1/2) (a + b + c) { (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² }

매우 중요한 변형 공식이니까, 반드시 외워 두기 바랍니다.