일차함수(1) 일차함수(y = k x)

일차함수(y = kx)

linear function : y = k x

"함수그래프는 상위수학으로의 관문"

" function graphs are the gateway

to higher level math "

일차함수의 그래프는, 일차 비례식을 좌표평면에 나타내는 가장 기초적인 내용부터, 중학과정에서는 포물선과 직선 그리고 고등과정에서는 다항함수의 곡선과 직선의 관계까지 다양하게 응용되는 단원입니다.

문과 고등학생 중에는 직선의 그래프도 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 모습을 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.

오늘은 간단한 비례식의 직선부터, 쉽고 빠르게 그래프를 그릴 수 있는 방법을 설명할 예정이니, 철저히 숙달시켜 두어야 합니다.

다시 강조하지만, 문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등 수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

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일반적으로 y 가 x 의 값에 정비례한다고 하면, y 는 x 의 실수배가 되니까, 식으로는 y = k x 라고 표현합니다.

그러면, k 가 1 일 때, 즉, y = x 의 그래프는 어떻게 그릴까요? x 값에 따라 정해지는, y 값들의 일부만 표로 나타내 볼까요?

x	–3	–2	–1	0	1	2	3
y	–3	–2	–1	0	1	2	3

이 표의 값들은 그래프로 나타낸다면, 좌표평면에 찍히는 점 (x, y) 의 좌표들이니까, … (–3, –3), (–2, –2), … , (3, 3) … 들을 포함하는 무수히 많은 빨간점들의 집합, 즉 아래 그림에서 파란색 직선이 되겠지요?

이 식에서 k 를 일반화해서 좌표평면에 나타내면, 어떻게 나타날까요?

k 가  1 일 때, 2 일 때, 3 일 때 … 등을 그래프로 그려 볼까요?

위 그림에서, k 가 1 일 때는 기울기가 45° 인 파란색 직선이고, k 값이 점점 커질 수록 y 축에 가까이 붙는 모양이지요? 따라서, 이 k 값을 기울기라고 합니다.

예컨데, k = 3 이라면, k = 3 = (+3) / (+1) 이라고, 분모를 자연수(+)로 하는 기약분수로 고친 다음, [(분모) 오른쪽으로 1칸] 움직일 때, [(분자) 위로 3칸] 간다고 해석합니다.

또, 기울기 k = 5/3 이라면, = (+5) / (+3) 이라고 해석한 다음, [오른쪽으로 3칸] 움직일 때, [위로 5칸] 간다고 하면 되겠지요?

만일, 음수(–) 인 k = – 2/3 이라면, 어떻게 해석해야 할까요?

k = (–2) / (+3) 이라고 바꾼 다음, 위 그림에서 초록색 점선으로 표시된 만큼인 [오른쪽으로 3칸] 움직일 때, [아래로 2칸] 이동한다고 나타내면 되겠지요?


분모를 자연수(+)로 하는 기약분수로 고치는 이유는, 왼쪽이 아니라 오른쪽을 표준으로 하기 위함입니다.

직선의 그래프에 완전히 익숙해 지기전까지는, 항상 [(분모) 오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [(분자) 위 또는 아래로 몇 칸] 간다고 해석해서 그리기를 강력하게 추천합니다.

만일, k = 0 이라면?

k = 0 = 0 / +(0이  아닌  숫자)라고 바꾸어서 해석하면, [오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [0 칸]이 되니까, 위 그림에서 빨간색 직선 즉,  x 축이 됩니다.

이제, 배운 것을 정리해 볼까요?

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정비례 일차식인 y = k x 는 원점을 지나는 직선이고,

(1)  k > 0 이면 오른쪽 위로 증가   

  

(2)  k < 0 이면 오른쪽 아래로 감소

    

 (3)  k = 0 이면 x 축을 나타낸다.     

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또, k 값이 음수(–) 이건, 양수(+) 이건 그 절대값이 크면 클수록  y 축에 가까이 달라 붙고, 그 값이 0 에 가까워지면 x 축에 점점 달라 붙는다.

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제곱근(1) 제곱근

제곱근

square roots

"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"

" square root is a gateway to

solving quadratic equations "

√3 과 같은 제곱근은 이차방정식의 해를 구하는 데 가장 기초적인 개념입니다.

제곱의 계산과 반대되는 역의 연산으로, 앞으로 고등과정에서 배우는 무리함수 또는 역함수나 지수 및 로그와도 관련되므로, 처음부터 기초개념을 확실하게 배워 두기 바랍니다.

중 3 에서는 실수 범위 내에서의 제곱근을 공부하고, 고 1 과정에서는 음수의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 확대됩니다.

특히, 문자로 표시되는 제곱근의 성질은, 심화 수준의 고등수학에서도 자주 등장하는 유형이므로, 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두어야 합니다.

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[ 1 ]  어떤 수 x 를 제곱하여 3 이 될 때 그 x 를 3 의 제곱근이라고 하고, 이 제곱근은 루트기호를 사용해서 √3 이라고 나타내고 ‘제곱근 3’ 또는 ‘루트 3’ 이라고 읽습니다.

그런데 음수(–) 를 제곱해도 양수(+) 가 되니까, 자신을 제곱해서 3 이 되는 수를 말하는 ‘3 의 제곱근’ 에는 √3 만이 아니라 – √3 도 있지요.

x² = 3

∴  x = √3  or  – √3

예를 들어, 5의 제곱근은 위에서 설명한 대로 제곱해서 5가 되는 수를 말하는 것이니까, 양수 √5 와 음수인 – √5 의 두 개가 있겠지요?

[ 2 ]  제곱수인 9 의 제곱근도 x² = 9 의 해가 되는 수이니까, 양수인 √9 (= 3) 뿐 만이 아니라, 음수인  – √9 (= – 3) 의 두 수   즉,  ± 3 을 9 의 제곱근이라 합니다.

⇦     제곱근 (square root)     ⇦

± 3                                                        9

⇨          제곱 (square)          ⇨

이 때 √9 와 같은 제곱수의 제곱근은, 실제 계산의 결과나 답으로 쓸 때에는 루트기호로는 나타내지 않는 것이 원칙입니다. 즉, √9 또는 √25 는 각각 루트기호를 쓰지 않고, 그냥 자연수 3 또는 5 라고 표현합니다.

√9 = √3² = 3

√25 = √5² = 5

* 참고로, 영어권 국가에서는 특별히, 루트기호를 없앨 수가 없는 (완전 제곱수가 아닌) 수들의 제곱근 즉, √2 나 √3 과 같은 수들을 따로 ‘surds’ 라고 부릅니다.

[ 3 ]  제곱근을 계산할 때는 루트기호 없이도 자연수로 나타낼 수 있는 (완전) 제곱수들을 기억해 두는 것이 제곱근 식을 계산하는 데 아주 편리합니다. 11의 제곱수부터 곱셈공식의 전개를 이용해서 구해 본 다음, 한 번 외워 보도록 할까요?

11² = (10+1)² = 10² + 2x10x1 + 1²= 121

12² = (10+2)² = 10² + 2x10x2 + 2²= 144

13² = (10+3)² = 10² + 2x10x3 + 3²= 169

14² = (10+4)² = 10² + 2x10x4 + 4²= 196

15² = (10+5)² = 10² + 2x10x5 + 5²= 225

16² = (10+6)² = 10² + 2x10x6 + 6²= 256

17² = (10+7)² = 10² + 2x10x7 + 7²= 289

︙

[ 4 ]  이번에는 제곱수가 자연수가 아니라, 분수나 특히 소수로 표현되는 경우를 살펴 보도록 할까요? 앞에서 살펴본 제곱수들을 기억해 두면 아주 편리하지요.

이런 유형의 문제를 만나면 당황하거나 실수하는 학생들이 꽤 많으니, 많은 연습을 통해 기초적인 계산실력을 단단하게 갖추어 두기 바랍니다.

√ 0.01  = √(0.1²) = 0.1

√ 1.69  = √(1.3²) = 1.3

√ 1.96  = √(1.4²) = 1.4

√ 2.89  = √(1.7²) = 1.7

︙

[ 5 ]  마지막으로 영어의 '루트'를 번역하는 과정에서 발생되는 독특한(?), 한국학생들이 당하는 진위유형의 함정 문제도 잘 알아 둘 필요가 있습니다.

첫째로 ‘제곱근 3’ 이라는 표현은 단순히 ‘루트 3’ 을 번역한 √3 을 말하는 것이고, 둘째로 ‘3의 제곱근’ 이라는 용어는 자신을 제곱해서 3 이 되는 값들인 √3 과  – √3 의 두 개를 모두 말하는 표현입니다.

제곱근 또는 거듭제곱근 진위문제에서 자주 등장하니까, 시험볼 때 실수하지 않도록 유의하기 바랍니다.^^

그러면, 제곱수와 관련된 약간은 어려운 응용 문제를 풀어 보도록 합시다.

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√ 300 – N  의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 N 의 개수를 구하여라.

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(1) 우선, 300 – N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 그런데, N 이 자연수이니까, 300 – N 의 값이 되는 범위를 살펴보면,

N ≥ 1

1 ≤ 300 – N ≤ 299

∴  1 ≤ √ 300 – N  ≤ √ 299 

(3) 여기서, 근사값을 계산해 보면, 300 – N 이 완전제곱수가 되는 경우는

√ 299  ≈ √ 300 

= √ 3  x 10

= 17.32⋯

∴  300 – N = 1², 2², ⋯ , 17²

* 참고로, 한국의 중고등 학생이라면 √2 = 1.414 그리고 √3 = 1.732 정도는 반드시 외워 두는 것이 좋습니다.^^



(4) 따라서, 답은 17 개이고, 참고로 자연수 N 의 값들을 살펴 보면,

N₁ = 300 – 1² = 299

N₂ = 300 – 2² = 296

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N₁₇ = 300 – 17² = 11

한 문제 더 풀어 보도록 할까요?

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√ 150 x N  의 값이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 N 의 값을 구하여라.

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(1) 150 x N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

(2) 150 을 소인수로 분해해 보면,

150 = 2 x 3 x 5²

(3) 따라서, 150 x N 을 (완전) 제곱수로 만들 수 있는 가장 작은 값 N 은,

∴  N = 2 x 3 = 6

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