지수법칙(1) 지수법칙

지수법칙

Laws of Indices

"지수기호를 쓰니까 큰 수의 표현과 계산이 너무 편리해요"

" exponents are very useful

to express and calculate large numbers "

지수법칙은 수나 식의 계산에서, 거듭제곱을 포함하는 곱셈과 나눗셈을 처리하는 데 기초가 되는 기본개념입니다.

중학수학의 표준교과에서는 지수가 자연수인 경우로 한정하고 있지만, 보다 다양한 응용력을 갖추기 위해서는 적어도 정수 범위까지는 알아 두기를 권하고 싶습니다.

만일, 심화과정이나 고등수학의 수준이라면 분수형태의 지수 즉, 유리수 범위까지는 정확히 이해해 두어야, 쉽게 응용력을 발휘할 수 있습니다.

이 단원은 고등수학에서 배우는 [지수와 로그], 만일 이과라면 [지수함수와 로그함수] 단원까지 연계되니까 기초적인 개념과 원리를 확실하게 다져 두기 바랍니다.

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예를 들어, 2 를 다섯 번 거듭해서 곱하는 경우를 표현한다고 할 때, 2×2×2×2×2 보다 간편한 표시 방법은 없을까요?

지수라는 기호를 사용하면, 2×2×2×2×2 를 2⁵ 이라고 표현하고 ‘2 의 다섯 제곱’ 또는 ‘2 의 오승’ 이라고 읽습니다.

이 때, 2 를 ‘밑’ 이라 하고, 위 첨자의 작은 숫자로 표시한 5 를 ‘지수’ 라고 합니다.

만일 문자를 써서 일반적인 표현으로 a^x 이라고 나타내면, a 를 x 번 거듭해서 곱하라는 표현이고, ‘a 의 x 제곱’ 또는 ‘a 의 x 승’ 이라고 읽습니다. 

이 때, a 가 ‘밑’이 되는 것이고 x 는 ‘지수’가 됩니다. 이 밑과 지수라는 용어는 고등수학의 [로그] 단원에서도 그대로 사용되니, 잘 기억해 두기 바랍니다.

그러면, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고, 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈이 지수로는 어떻게 표현되는 지를 알아 보도록 할까요?

(1) 5² x 5³ = 5^{2 + 3} = 5⁵

5² = 5 x 5

5³ = 5 x 5 x 5

∴  5² x 5³ = (5 x 5) x (5 x 5 x 5) = 5⁵

(2) (5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶

(5²)³ = (5²) x (5²) x (5²)

∴  (5²)³ = 5^{2 + 2 + 2} = 5^{2 x 3} = 5⁶

특히, 이 공식은 지수를 서로 교환하는 방법으로도 많이 쓰입니다.

(5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶ = 5^{3 x 2} = (5³)²

(3) (5 x 7)³ = 5³ x 7³

(5 x 7)³ = (5 x 7) x (5 x 7) x (5 x 7)

       = (5 x 5 x 5) x (7 x 7 x 7)

= 5³ x 7³        .

이 공식은 마치 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

이번에는, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고 거듭제곱의 나눗셈에 관하여 알아 보도록 할까요?

 (4) ( 2⁵ / 2³ ) = 2^{5 - 3} = 2²

( 2⁵ / 2³ ) = ( 2×2×2×2×2 ) / ( 2×2×2 )

∴  ( 2⁵ / 2³ ) = 2 x 2 = 2^{5 - 3} = 2²      .

(5) ( 2 / 5 )³ = 2³ / 5³

( 2 / 5 )³ = ( 2 / 5 ) x ( 2 / 5 ) x ( 2 / 5 )

= ( 2×2×2 ) / ( 5×5×5 )

= 2³ / 5³

이 공식도 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

참고로, 밑이 0 이 되는 경우는 논란이 있으므로 표준수학에서는 생각하지 않습니다.

(1) 0⁰ 은 어쨌든지 0 의 거듭제곱이니까 0 이 되어야 한다는 주장과

(2) 일반적으로 (실수)⁰ = 1 이라는 원칙을 지키자는 주장들이 있기 때문입니다.

그러면, 위에서 공부한 것을 문자로 일반화시켜서 [지수법칙] 을 정리해 보도록 할까요?

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자연수 m, n 과 0 이 아닌 실수 a, b 에 대하여,

(1)  a^m x aⁿ = a^m+n

(2)  (a^m)ⁿ = a^m x n = a^mn

(3)  (ab)^m  = a^mb^m

(4)  a^m / aⁿ = a^{m – n}

(5)  ( a / b )^m = a^m / b^m

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공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?

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3^n–1 = A 그리고 5^n–2 = B 라 정의할 때, 15ⁿ⁺¹ 을 A, B 및 숫자 만으로 나타내어라.

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(1) 우선, 구하려는 15ⁿ⁺¹ 의 밑인 15 가 합성수이니까, 소인수로 분해를 해 봐야 하겠지요?

15ⁿ⁺¹ = (3 x 5)ⁿ⁺¹

(2) 위에서 배웠던 지수법칙을 적용하고, 문제에서 정의된 A, B 의 형태로 지수를 변형시키면,

(3 x 5)ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ x 5ⁿ⁺¹

= 3² x (3^n-1) x 5³ x (5^n-2)

= 3² x A x 5³ x B

= 9 x 125 x AB

∴  15ⁿ⁺¹ = 1125AB

확인 문제를 하나 더 풀어 볼까요?

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아래 식의 값을 간단한 자연수로 나타내어라.

( 4^n-2 + 4^n–1 + 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹ ) / ( 2^2n–5 + 2^2n–3 + 2^2n–1+ 2²ⁿ⁺¹ )

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(1) 분모와 분자의 밑을 공통되는 기준값인 2 의 거듭제곱으로 표현하는 것이 좋겠지요? 따라서, 분자를 밑을 2 로 하는 지수형태로 바꾸면,

4^n–2 + 4^n–1 + 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹

= (2²)^n–2 + (2²)^n–1 + (2²)ⁿ + (2²)ⁿ⁺¹

= 2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

(2) 이제, 분배법칙을 이용해서 분자를 공통인수로 묶으면,

2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

= 2^2n–4 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(3) 같은 방법으로 분모도 공통인수로 묶으면,

2^2n–5 + 2^2n–3 + 2^2n–1+ 2²ⁿ⁺¹

= 2^2n–5 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(4) 따라서, 공통인수로 분자, 분모를 간단하게 약분만 하면 주어진 식의 값은,

{2^2n–4 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)} / {2^2n–5 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)}

= 2^2n–4 / 2^2n–5 

= 2^{(2n–4) – (2n–5)}

= 2¹

= 2 

효율적이고 영리한 계산에 관하여, 노파심에 다시 한번 강조하지만, 약분할 공통인수라고 판단된다면  미리 계산하지 않는 것이 당연히 좋은 방법입니다.

(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

= (1 + 4 + 16 + 64)

= 85 ???

(1) 숫자라 하더라도 문자로 간주하고, (2) 반드시 그대로 둔 상태에서 약분을 다 끝낸 후에야, 마지막으로 꼭 필요한 계산만 간단하게 하기 바랍니다.

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유리수(1) 분수와 유리수

분수와 유리수

fractions & rational numbers

"분수와 유리수는 같은 뜻인가요?"

" Is every rational number a fraction? "

분수(分數, fraction)는 그 표현의 모호성 때문에 정수, 유리수 또는 무리수와 같은 엄밀한 수학적 용어로 사용하기에는 조금 무리가 있습니다.

뿐만 아니라, 한국어권과 영미권 사이에서 분수(分數, fraction)의 뜻과 정의가 서로 다르게 사용되고 있기 때문에 그 차이를 정확하게 이해해 둘 필요가 있습니다.

분수(分數)와 소수(小數)는 유리수인지 혹은 아닌지를 혼동하는 학생들이 과거에 비해 의외로 많습니다.

이 내용과 관련된 진위의 판단을 어려워하는 것을 보면, 아마도 기본적인 집합과 명제의 개념을 배우지 못하는 개정표준교과의 영향인 것으로 보입니다.

표준교과 외의 내용이기는 하나, 기초적인 집합과 명제의 개념은 상위 수준의 수학을 공부하는데 반드시 필요한 기본 개념이니까, 정확한 기초 개념과 원리를 이해해 두기 바랍니다.

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분수(分數)는 '분수형태'라는 넓은 의미의 뜻으로도 사용이 될 수 있고, 영미권에서는 분수(fraction)란 0을 포함하되 두 자연수의 비(율)을 분자와 분모의 형식으로 표현한 수라는 좁은 뜻으로도 사용되기도 하므로 경우를 나누어 자세하게 알아둘 필요가 있습니다.

[ 1 ] 분수(分數)를 분자와 분모로 나타내는 '분수형태'라는 넓은 의미의 뜻으로 사용할 때,

무리수 단원에서는 '√3 / √2 의 분모를 유리화한다' 라는 표현을 자연스럽게 사용하고 있고, 무리수에서도 √2 / 3 또는 5 / √3 과 같이 분수형태로 사용하기도 합니다.

혹은 복소수(허수)와 같은 경우에도 ' 1 / (1 – i ) 의 분모를 실수화한다' 라고 표현하기도 하지요.

즉, '분수형태'라는 넓은 의미의 뜻으로 사용될 때는 유리수만이 아니라 무리수 혹은 허수를 포함하는 복소수를 지칭할 수도 있다는 점입니다.

[ 2 ] 두 번째는 영어권에서 사용하는 분수(fraction)의 뜻과 정의는 우리나라의 표준 교과과정에서 사용하는 분수(分數)의 정의와 다르다는 점입니다. 영어로 어떻게 설명하는지 한 번 보도록 할까요?

Fractions and rational numbers are not the same. Fractions are the ratio of two whole numbers whereas rational numbers are the ratio of two integers with a non-zero denominator. For example, 3/7 is a fraction whereas –2/11 is a rational number.

영미권에서 whole numbers 는 자연수에다 0 을 더한 수의 집합입니다. 따라서 영미권에서 말하는 분수(fraction)는 음의 정수를 제외한 분수표현, 즉, 결과적으로는 음의 분수를 제외시키고 있다는 점에 유의해야 합니다.

* 참고로, 영미권에서 말하는 분수(fraction)는 실생활과 밀착된 언어로 파생되었기 때문에, 4조각으로 등분한 피자 중에서 한 조각을 먹었다 또는 세 조각이 남았다와 같이 표현합니다.

* 실제 어떤 것을 (a) 몇 개의 조각들로 균등하게 나누었는지 그리고 (b) 그 중에 몇 개의 조각들을 가리키는 것인지의 양(+)의 표현을 쓰는 것이 일반적입니다.

3/4 = three (parts of) fourth (quarter, equal four parts make up a whole)

* 복잡한 분수의 경우는 우리나라 방식의 분수(分數) 표현인 분자와 분모로 나타내기도 하지요.

3/134 = three over one hundred thirty four(th)

[ 3 ] 위 [ 2 ]번에서 븕은색의 영어로 표현되어 있는 유리수(rational numbers)의 정의가 바로 우리나라의 중등교육 표준교과과정에서 정의하고 있는 분수(分數)입니다.

rational numbers are the ratio of two integers with a non-zero denominator.

유리수란 '두 정수의 비율 또는 분수의 형식으로 나타낼 수 있는 수'라고 정의합니다. 물론 분모가 0인 경우는 제외되구요.

우리나라의 중등교육 표준교과과정에서 수의 체계를 집합의 개념으로 설명할 때, 일반적으로 다음과 같이 분류하기도 합니다만,

{유리수} = {자연수} + {0} + {음의 정수} + {정수가 아닌 분수(유리수)}

자연수나 음의 정수를 분모를 1 로 하는 분수라고 일반화 한다면 '(정수의)분수 = 유리수' 라고 말해도 틀린 표현이 아닙니다. 

따라서, 정수단원의 공부를 마친 우리나라의 중학생들은 '(정수의)분수 = 유리수' 라고 말해도 될 뿐만 아니라, 무리수는 '(정수의)기약분수로 나타낼 수 없는 수' 라고 말할 수 있습니다.

위의 소제목에서 묻고 있는 '분수는 유리수인지' 여부를 정확하게 알아 보기 위해서는 먼저 '집합'을 알아 두어야 합니다. 우선 간단하게 기초적인 '집합'의 개념을 공부해 보도록 할까요?

가장 일반적이고 흔한 예인 ‘사람은 동물이다’ 라는 문장을 가지고 [명제] 와 [진리집합] 에 관하여 알아 보도록 합시다.

위의 예와 같이 참과 거짓을 객관적으로 판별할 수 있는 문장을 [명제] 라고 하고, 소문자를 써서 p → q 와 같이 화살표 기호로 표현합니다.

이 때, 위에서 예를 든 문장으로 본다면, p 에 해당하는 ‘사람은 (또는 사람이면)’ 부분을 [가정] 이라 하고, q 에 해당하는 ‘동물이다’ 부분을 [결론] 이라고 합니다.

또, [가정] 또는 [결론] 부분의 모든 원소의 집합을 [진리집합] 이라고 부르며, 각각 P, Q 의 대문자로 표현합니다.

참과 거짓을 판별한다면, 예로 든 명제, ‘사람은 동물이다’ 는 참이지요? 이 원리를 진리집합인 P = {x | x 는 사람} 과 Q = {y | y 는 동물} 간의 집합의 관계로 살펴 볼까요?

위의 벤다이어 그램에서 보는 것과 같이, 보라색 원의 모양인 집합 P = {x | x 는 사람} 가 분홍색과 보라색 전체인 타원 모양의 집합 Q = {y | y 는 동물} 의 내부에 포함되어 있는 진부분 집합이지요?

즉, P⊂Q 이니까, 집합P 의 원소가 되는 어떤 사람이라도, 집합 Q 의 원소인 동물이 된다는 것은 참이 됩니다.

그렇다면, 원래 명제의 가정과 결론을 바꾸어 놓은 [역] q → p 는 참이 될까요?

위의 벤다이어 그램에서 보면, P⊂Q 이고, 차집합 Q – P 부분인 분홍색 부분에 있는 동물은 [인간이 아닌 동물] 이니까, 참이 될 수 없다는 반례가 되는 것이지요. 따라서, [역] q → p 는 거짓이 됩니다.

이렇게, 벤다이어 그램에서 진리집합의 포함관계를 살펴보면, 판단하기가 어려운 명제의 참과 거짓을 쉽게 알아낼 수 있습니다.

이제 예를 들어, 영미권의 공부를 잘하는 학생들에게 “유리수는 분수와 같은 뜻이다” 라는 명제는 참인지 거짓인지를 물어 본다면 어떻게 대답할까요?

유리수(rational numbers)의 진리집합을 P = { ±1/2, ±2/7, ±5/11, ⋯ } 그리고 분수(fractions)의 진리집합을 Q = { 1/2,  2/7,  5/11, ⋯ } 이라 놓고,

집합의 포함관계를 보면, P⊃Q 이니까, 위의 명제는 거짓이라는 것을 알 수가 있습니다. 이 때, 차집합 P – Q 의 원소인 '  – 2/7 ' 등이 그 반례가 되는 것이지요.

이와 같이, 집합의 포함관계를 나타내는 벤다이어 그램을 활용해서, 진위문제 유형들을 아주 쉽고 편리하게 판별해낼 수가 있습니다.