이차함수(3) 포물선의 방정식

포물선의 방정식

various forms of a parabolic equation

"그래프를 보고 포물선의 방정식을 알아내 볼까요?"

" how to find the equation of the parabola

by looking at the graph? "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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이번에는 역으로 이차함수의 그래프를 보고 나서, 여러가지 포물선의 성질을 알아 내거나 그 포물선의 식을 알아내는 방법에 대하여 살펴보도록 하지요.

각각의 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지를 철저하게 이해하고, 잘 기억해 두는 것도 반드시 필요하지만,

가능한 한, 주어진 조건들 만으로 포물선의 그래프를 그려 보고, 아래에서 설명되는 기본적인 여러 가지 방법을 추가로 섞어 보면서 이차함수 식들을 세워보려는 노력의 과정이 더욱 중요합니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는 중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

[ A ]  꼭지점의 좌표가 주어진 경우

꼭지점의 좌표가 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 좋습니다.

이 경우, 꼭지점의 좌표인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 이고, 점 (1, 5) 를 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 꼭지점의 좌표가 주어졌으니까, 포물선의 식을

       y = a (x – α)² + β 의 꼴로 세워야 하겠지요?

(2) 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 으로 주어졌으니까,

       y = a (x – 2)² + 3

(3) 이제, 미지수가 a 하나이니까, 한 개의 추가 조건만 찾으면 되겠지요?

      그런데, 점 (1, 5) 를 지난다고 주어졌네요.

(4) 위의 식에 (1, 5) 를 대입하면,  5 = a (1 – 2)² + 3 에서, a = 2

      따라서, 답은  y = 2(x – 2)² + 3

[ B ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우

x 축과의 두 교점은 바로 이차방정식의 두 근이 되는 것이지요?

따라서, x 축과의 두 교점이 주어진 경우에는,  y = a (x – α )(x – β ) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 좋습니다.

이 경우, 두 근인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 이차항의 계수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

이번에도, 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 두 점 (2, 0) 과 (6, 0) 를 지나고, y 절편이 24 인

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 두 점의 y 좌표가 0 이라는 점에 착안해서, x 축과의 두 교점이

      2 또는 6 이라는 것을 알아내야 하겠지요?

(2) 이차방정식의 두 근이 2 또는 6 이라는 것을 알아낸 것이니까,

      y = a (x – 2)(x – 6)

(3) 이제, 미지수가 a 하나만 남았는데, y 절편이 24 라고 주어졌지요?

(4) 위의 식에 (0, 24) 를 대입하면, 24 = a (0 – 2)(0 – 6) 에서,

      a = 2   따라서, 답은  y = 2(x – 2)(x – 6)

[ C ]  세 점이 주어진 경우

꼭지점이나 포물선 축 또는 x, y 축과의 교점도 아닌, 일반적인 세 점이 주어진 경우에는, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의 꼴로 세우는 방법 밖에 없겠지요?

따라서, 미지수 3 개, 방정식 3 개인 삼원일차 연립방정식을 풀어야 합니다. 연립방정식은 항상 전략을 가지고 풀어 나가야 하고, 당연히 사소한 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.

예제를 하나 풀어 볼까요?

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 세 점 (–1, 4) , (1, 2)  와  (2, 7) 을 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 일반적인 세 점이 주어진 경우니까, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의

      꼴로 식을 세워야 하겠지요?

(2) 세 점을 각각 대입하여, 연립방정식을 세우면,

↱   a – b + c = 4       ⋯ ①

     a + b + c = 2       ⋯ ②

↳  4a + 2b + c = 7    ⋯ ③

(3) 식을 살펴보니까, b 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ① + ② :

a + c = 3  ⋯ ④

     [가감법] ① * 2 + ③ :

 2a + c = 5  ⋯ ⑤

(4) 이제는, c 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ⑤ – ④ :

        a = 2    

따라서,  b = – 1  이고  c = 1

(5) 따라서,  답은   y = 2x² – x + 1

[ D ]  기타의 경우

전략적인 풀이방법의 핵심을 요약하면,

(1) 문제 뜻에 맞는 가장 적절한 포물선 식을 세우고,

(2) 내가 세운 식에서 부족한 미지수의 개수만큼, 추가로 주어지거나

      또는 숨어 있는 조건들을 찾아낸 후,

(3) 대입해서, 실수 없이 계산하면, 반드시 정답이 나옵니다.

[ D - 1 ]  예를 들어, 포물선의 축이 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 일반적입니다.

이 경우는, 꼭지점의 x 좌표인 α 만이 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 와 β 를 구하기 위한  나머지 두 개의 조건이 추가로 되어야만, 함수식을 구할 수 있습니다.

[ D - 2 ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우는 바로 이차방정식의 두 근이 주어진 경우이니까, y = a (x – α)(x – β) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 일반적이지만,

이 경우에도, 두 근의 중점인  x = (α + β) / 2 를 포물선의 축이 지난다는 성질을 이용할 수도 있습니다.

앞에서도 설명했지만, 주어진 조건을 가지고 포물선의 그래프를 이리저리 그려 보고, 위에서 설명된 기본적인 식들을 여러 가지 방법으로 섞어 보면서, 풀어 보기 바랍니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는  중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

Geometry Quiz 2034

Geometry Quiz 2034

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Hint 1 " 회전시켜서 평행이 되도록 한 이유를 잘 생각해 보세요 "

Hint 2 " 평행선이 주어졌다면, 각의 크기들을 한번 알아볼까요?"

Hint 3 " 이등변삼각형은 어디에 숨어 있을까요? "

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Solution & Answer 2034

삼각형의 닮음(16) 삼각형 외각의 이등분선 정리

삼각형 외각의 이등분선 정리

exterior angle bisector theorem

"평행선과 닮음이 이렇게도 활용되네요!"

" we can apply parallel lines & similarity to prove this! "

삼각형 내각의 이등분선 그리고 외각의 이등분선 정리들과 그 증명 과정들은 중학과정의 도형기하 단원뿐만 아니라, 고등학교 및 대입수능 시험에서 복합유형의 응용문제 형태로 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.

단순히 그 결과를 기억해 두고 사용하는 것도 중요하지만, 평행선의 성질과 닮음을 활용하는 그 증명과정들도 매우 중요하니, 확실하게 공부해 두기 바랍니다.

내각의 이등분선과 외각의 이등분선 정리를 별도로 꼼꼼하고 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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아래 그림과 같이 삼각형의 외각의 하나인 꼭지각 ∠A 의 외각을 이등분한 선이 밑변 BC 의 연장선과 만난 교점을 D 라 할 때, 다음 변들의 길이의 비가 서로 같다는 정리입니다.

AB : AC = BD : DC

왜 그럴까요?

다음 그림과 같이, 점 C 를 지나 외각의 이등분선인 AD 와 평행한 직선을 그어, 변 AB 와 만나는 점을 F 라고 해 볼까요?

위 그림에 빨간색 점들로 표시된 것과 같이 여러 각들의 크기가 서로 같네요?

초록색으로 표시된 두 평행선의 동위각이니까,

∠EAD = ∠AFC

또, 초록색으로 표시된 두 평행선의 엇각이니까,

∠DAC = ∠ACF

이제, 숨어 있던 이등변삼각형이 잘 보이시나요?

바로 ΔACF 가, 변 AC = 변 AF 인 등변을 갖는 이등변삼각형이지요.

즉, 내각의 이등분선 정리의 좌변인 AB : AC = AB : AF 와 같은 비례값이라는 것이지요.

이번에는, 초록색 평행선으로 이루어진 서로 닮은 두 삼각형을 살펴 볼까요?

ΔBDA 와  ΔBCF 는 ∠B 는 공통이고, 평행선의 동위각으로 ∠BAD = ∠AFC 이니까, 두 삼각형은 서로 AA 닮음이 됩니다.

여기서, BA : BE = BD : BC = 1 : k  라 놓으면, 선분 AE  = BE  – BA  = (k – 1) * BA

그리고 선분 DC = BC – BD  = (k – 1) * BD  이므로

BA : AE = 1 : (k – 1) = BD : DC

그런데, 위에서 이등변삼각형의 등변 AC = AE 인 것을 찾아 냈었지요?

따라서, BA : AE = BA : AC = BD : DC

절대값 그래프(2) 절대값 일차함수의 그래프

절대값 일차함수

linear absolute value functions

"절대값 그래프부터 상위수학의 시작입니다"

" graphing absolute value functions will lead you to

the higher level mathematics "

함수의 그래프는 고등수학 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

이 중에서도, 절대값 함수의 그래프는 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.

중고등 과정의 중급 및 심화문제에서 자주 등장하는 매우 중요한 유형이고, 함수 그래프에서도 많이 응용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.

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함수 y = | x | 의 그래프는 어떻게 그려야 할까요?

절대값이 포함된 일차함수도, 앞에서 배웠던 절대값 방정식과 같이 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 음(–)의 값인지에 따라, 2 가지 경우로 나누어 그래프로 나타내는 것이 원칙입니다.

(A)  x < 0 일 때	(B)  x ≥ 0 일 때
y = – x	y = x

위 내용을 이해하기 쉽게, 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?

(A)  A 일 때	(B)  B 일 때
P	Q

따라서, 답은 (A∩P)∪(B∩Q) 가 되겠지요? 이제 이 내용을 그래프로 나타내도록 합니다.

(1) x < 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 음 (–) 이 되는, II 와 III 사분면을 나타내니까, 아래 그림에서, 빨간색으로 표시된 영역입니다.

(2) 이제, (A∩P) 이니까 이 빨간색 영역에서만 y = – x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 감소하는 파란 직선입니다.

  

(3) x ≥ 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 양 (+) 이 되는, I, IV 사분면과 y 축을 포함하는 영역으로, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역입니다.

(4) 이번에도 (B∩Q) 이니까, 이 파란색 영역에서만 y = x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 증가하는 파란 직선입니다.

  

(5) 마지막으로, (A∩P)∪(B∩Q) 이니까, 위의 (2)∪(4) 인 두 반직선 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 결과는 아래 그림에서 보듯이, 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?

   

이제, y = | x | 의 그래프 그리기가 충분히 이해되었다면, 별도로 구간을 나누어 생각하지 않더라도, 위의 그림이 머리 속에 그대로 떠올라야 합니다. 수학에서도 가장 기초적이고 기본적인 것은 확실하게 이해한 후 기억해 두어야, 한 계단씩 더 어려운 심화단계로 쉽게 나아갈 수 있습니다.

이제, 조금 더 복잡한 y = | x – 3 | – | x + 1 | 의 그래프를 그려볼까요?

이번에도, 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 또는 음(–)의 값인지에 따라, 각각 2 가지씩 이지만, – 1 ≤ x 와 x < 3 의 구간은 하나로 합쳐지니까, 총 세 구간으로 나누면 되겠지요?

y = | x – 3 | – | x + 1 |

(A) x < –1일 때	(B) –1≤ x < 3일 때	(C) x ≥ 3일 때
y = –x+3 – (–x–1) y = 4	y = –x + 3 – (x+1) y = – 2 x + 2	y = x – 3 – (x+1) y = – 4

이것도, 앞에서 설명한 (A∩P)∪(B∩Q)∪(C∩R) 의 개념을 적용하면 되겠지요?

(1)  x < – 1 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = 4 의 그래프를 그려 넣고,

(2)  – 1 ≤ x < 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래의 그림에서 노란색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – 2 x + 2 의 그래프를 그리면 되겠지요?

(3) 마지막으로,  x ≥ 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = – 4 의 그래프를 그리면 됩니다.

(4) 이제, 위의 [(1)∪(2)∪(3)] 이니까, 세 그래프의 합집합(∪)을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 아래 그림에서 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?