곱셈공식(3) 파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형

Pascal’s Triangle

"이항 곱셈공식의 계수는 외울 필요가 없어요"

" you don’t have to memorize

the coefficients in binomial expansions "

오늘은 프랑스 철학자이자 수학자인 파스칼이 정리해 놓은 아주 유명하고 재미있는 파스칼의 삼각형을 소개합니다.

파스칼의 삼각형은 이항정리의 계수를 알아내거나 삼각수 (triangular number) 등 여러가지의 특이한 숫자들의 규칙을 찾아내는 데에 활용되고 있습니다.

중학수학에서도 두 가지의 경우를 선택하는 경우의 수를 구하거나, 세제곱 이상의 곱셈공식 전개식에서 계수를 알아내는 데에 아주 편리하고 재미있는 내용이므로 원리를 잘 이해해 두고 활용법을 기억해 두기 바랍니다.

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곱셈공식에서 배웠던 내용 중에서, 두 개의 항만으로 이루어진 이항의 거듭제곱을 복습삼아 전개해 보도록 할까요?

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

만일 4 차 이상의 이항식을 전개하면 그 계수는 어떻게 될까요?

이럴 때, 파스칼의 삼각형을 이용하면 아주 쉽게 그 계수들을 알아낼 수 있습니다.

아래 그림에서 보는 것과 같이 윗 줄의 좌우 두 숫자의 합을 적어 놓되, 숫자가 없을 때에는 0 이 있다고 가정하면 됩니다.

0   1   0

v    v

1    1

v    v    v

1    2    1

v    v    v    v

1    3    3    1

v    v    v    v    v

1    4    6    4    1

v    v     v     v     v    v

1    5   10   10    5    1

v    v     v     v     v     v    v

1    6    15   20   15    6    1

︙

파스칼의 삼각형에서 계수들이 좌우대칭의 모습을 보이고 있지요?


일반적으로 전개식을 나열하는 규칙은 다음과 같습니다.

(1) 삼각형에서 알아낸 계수를 앞에 쓰고, 

(2) 앞의 문자 a 는 차수를 하나씩 낮추고,

(3) 뒤의 문자 b 는 차수를 하나씩 올린다

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

︙

또한, 파스칼의 삼각형에서는 여러가지 특이한 숫자들의 규칙을 찾아낼 수 있습니다.


아래의 그림과 같이 정삼각형 도형을 만들기 위해 사용되는 물건의 총수를 나타내는 삼각수 (triangular numbers) 에 대해서 알아 보도록 할까요?

이 수들의 규칙은 뒤에서 배울 계차수열의 하나입니다.

                                                                       O
                                                 O                 O  O
                            O                O  O             O  O  O
             O          O  O           O  O  O         O  O  O  O       ...
    O    O  O     O  O  O      O  O  O  O     O  O  O  O  O

    a₁       a₂             a₃                  a₄                   a₅ 

그런데, 아래 그림의 파스칼 삼각형에서 사선의 빨간색으로 표시된 수열이 바로 삼각수 (triangular numbers) 가 되는 것을 발견할 수 있습니다.

0   1   0

v    v

1    1

v    v    v

1    2    1

v    v    v    v

1    3    3    1

v     v    v    v     v

1     4    6    4     1

v    v     v    v     v    v

1    5    10   10    5    1

v    v     v     v     v     v    v

1    6    15   20   15    6    1

︙

뿐만 아니라, 파스칼의 삼각형에서는 여러가지 특이한 숫자들의 규칙을 찾아낼 수 있습니다.

고등학생들도 조금 어려워하는 피보나치 (Fibonacci) 수열에 대해서 알아 보도록 할까요?

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1

                   (source : wikipedia – Pascal’s triangle)

위의 표로 나타낸 파스칼 숫자에서, 사선으로 보이는 같은 색의 셀들을 더해서 차례로 나열하면 피보나치 수열이 됩니다.

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = 1 + 1 = 2

a₄ = 2 + 1 = 3

a₅ = 1 + 3 + 1 = 5

a₆ = 3 + 4 + 1 = 8

a₇ = 1 + 6 + 5 + 1 = 13

︙

수열에서 이웃하는 항들 사이에 성립하는 일반적인 관계식을 점화식이라고 합니다. 이 관계식으로 관찰할 때, 피보나치 수열은 특이하게도, 제 3 항부터의 값이 직전에 있는 두 개의 항의 값을 합하여 결정되는 특징을 가지고 있습니다. 

점화식으로 나타낸 다음 실제로 맞는지 확인해 보도록 할까요?

------------------------

a_n = a_n-1 + a_n-2

------------------------

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = a₁ + a₂ = 1 + 1 = 2

a₄ = a₂ + a₃ = 1 + 2 = 3

a₅ = a₃ + a₄ = 2 + 3 = 5

a₆ = a₄ + a₅ = 3 + 5 = 8

a₇ = a₅ + a₆ = 5 + 8 = 13

︙

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영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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일차방정식(2) 절대값 일차방정식

절대값 일차방정식

linear absolute value equations

"절대값 방정식은 사고력을 키우는데 도움이 되요"

" absolute equations improve

critical thinking skills "

절대값이 포함된 방정식은 기본적으로, 반드시 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.

특히, 함수 그래프에서 많이 활용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.

절대값이 3 개 이상이거나, 절대값이 다중으로 들어가는 심화유형은, 반드시 함수의 그래프를 이용해서 푸는 것이 바람직 합니다. 이 유형들에 대한 설명은 차후에 심화 단계에서 다룰 예정입니다.

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지난 번에 공부한 내용 중에서, 공식으로 정리하고 외워 두기로 한 내용을 복습하도록 할까요?

[ 1 ] 절대값이 하나만 있는 경우

한 변에 절대값만 있는 식, 그리고 다른 한 변에는 숫자만 있는 기본형 절대값 일차방정식 | x | = a ( > 0) 는 간단하게 x = a 또는 – a 라고 풀면 된다고 했지요?

그러면, 이와 관련된 보기 문제를 풀어 보도록 하지요.

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아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.

| x – 5 | = 3 

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(1) 방정식 | x – 5 | = 3 을 풀 때에도 앞에서 배웠던 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙이지만,

(2) 절대값 하나와 숫자만 있는 경우에는, x – 5 = k 라고 치환한다면, | k | = 3 을 푸는 것이니까, 위에서 복습한 내용대로 풀면 아주 간단하고 쉽습니다.

| x – 5 | = | k | = 3

이 때, k = 3  or  – 3

즉, x – 5 = 3  or  – 3

∴  x = 8  or  2

[ 2 ] 절대값이 여러 개인 경우

그러나, 아래와 같이 ① 절대값이 여러 개이거나, ② 숫자 대신에 식이 있는 경우에는, 위에서 설명한 원칙대로 구간을 나누어 풀어야 합니다.

이와 관련된 예제들을 보도록 할까요?

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아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.

| x – 5 | – | x + 2 | = 3 

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(1) 절대값이 두 개인 식이니까, 원칙대로 세 구간으로 나누어 풀어야 하겠지요? 각각의 구간 내에서는 특정조건 아래에서 답을 구하는 것이니까, 서로 교집합 (∩) 이 되지만, 각각의 세 구간끼리는 서로 다른 경우이므로, 합집합 (∪) 이 된다는 점에 유의해야 합니다.

(2) 이해하기 쉽게 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?

      

i)  A 일 때	ii)  B 일 때	iii)  C 일 때
P	Q	R

따라서, 답은 구하는 논리식을 집합으로 나타내면,

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) ∪ (C ∩ R)

(3) 이제, 실제로 절대값 방정식을 풀어 볼까요?

     나란히 3 단으로 나열해서 푸는 것이 좋습니다.

(A) x < –2일 때	(B) –2≤ x < 5일 때	(C) x ≥ 5일 때
–x+5–(–x–2) = 3 7 = 3 ? 따라서, 모순(Ø)	–x+5–(x+2) = 3 –2x + 3 = 3 따라서, x = 0	x–5–(x+2) = 3 – 7 = 3 따라서,모순(Ø)

(A) 의 경우는 x < – 2 의 조건하에서 (A ∩ P), 모순( Ø ) 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø )

(B) 의 경우는 – 2 ≤ x < 5 의 조건하에서 (B ∩ Q), x = 0 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 x = 0.

(C) 의 경우는 x ≥ 5 의 조건하에서 (C ∩ R), 모순( Ø ) 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø )

(4) 따라서, [(A)의 경우] 또는 [(B)의 경우] 또는 [(C)의 경우] 를 합하면,

    진짜의 최종 답은 x = 0 이 됩니다.

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) ∪ (C ∩ R)

Ø ∪ { 0 } ∪ Ø

∴  x = 0

[ 3 ] 숫자 대신에 식이 있는 경우

이번에도 관련 예제를 풀어 볼까요?

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아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.

| x – 5 | = 3x + 1 

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(1) 이 문제는 절대값은 하나지만, 숫자가 아니라 식이 있는 경우이니까, 간편하게 절대값의 성질을 이용해서, x – 5 = 3x + 1  또는  x – 5 = – 3x – 1 로 풀어서는 안됩니다.

(2) 따라서, 원칙대로 구간을 나누어 풀어야 합니다. 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로 나누면,

(A) x < 5일 때	(B) 5 ≤ x 일 때
– x + 5 = 3 x + 1 4 x = 4 따라서,  x = 1	x – 5 = 3 x + 1 2 x = – 6   ∴ x = – 3 따라서, 해가 없다 ( Ø )

(A) 의 경우는 x < 5 의 조건하에서 (A ∩ P), x = 1 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 x = 1.

(B) 의 경우는 x ≥ 5 의 조건하에서 (B ∩ Q), x = – 3 이므로,

    이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø ).

(3) 따라서, [(A)의 경우] 또는 [(B)의 경우] 를 합하면, 진짜의 최종 답은 x = 1 이 됩니다.

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q)

{ 1 } ∪ Ø

∴  x = 1