판별식
discriminant
"판별식만 보면 이차방정식의 해를 알 수 있어요"
" discriminant tells us the nature of the roots
of a quadratic equation "
이차 방정식의 근의 공식에서 유도되는 판별식은, 이차 방정식의 실근의 개수를 판단하는 기본공식입니다.
실근의 개수는 그래프에서는 교점의 개수를 나타내므로, 원과 타원의 방정식을 포함하는 이차함수 또는 이차식의 그래프에서도 많이 응용됩니다.
또한, 이 판별식을 응용하면, 완전제곱 꼴의 이차식 뿐만 아니라, 심화 유형의 최대, 최소문제도 해결할 수 있습니다.
중3과 고1에 배우는 중,고등수학의 핵심이 되는 매우 중요한 개념의 하나이니까, 기초적인 개념을 확실하게 이해하고 응용력도 배양해 두기 바랍니다.
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[ A ] 판별식 D
앞에서 배운 [근의 공식]을 기억해 봅시다.
x = { – b ± √(b2 – 4ac)} / 2a
위의 공식에서, 루트 안의 b2 – 4ac 를 한 번 살펴 볼까요?
(1) 만일, b2 – 4ac > 0 이라면, ax² + bx +
c = 0 의 해는
x = { – b + √(b2 – 4ac)} / 2a 또는 { – b – √(b2 – 4ac)} / 2a
(2) 만일, b2 – 4ac = 0 이라면, ax² + bx +
c = 0 의 해는
x = { – b ± √(0)} / 2a = – b/2a
(3) 만일, b2 – 4ac < 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 어떻게 될까요?
√(b2 – 4ac)가 허수이니까, ± √(b2 – 4ac) 2개가 모두 허수가 되겠지요?
즉, x
는 서로 다른 2개의 허근을 갖습니다.
(4) 여기서, D = b2 – 4ac 라고 한다면, D의 부호에 따라서 이차방정식의 근의 성질을 알아낼 수 있으니까, D = b2 – 4ac 를 판별식이라 부릅니다.
이제, 배운 것을 정리해 볼까요?
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이차방정식
ax² + bx + c
= 0의 해는,
(1) 판별식 D = b2 – 4ac > 0일 때, 서로 다른 2개의 실근
(2) 판별식 D = b2 – 4ac = 0일 때, 1개의 실수인 중근
(3) 판별식 D = b2 – 4ac < 0일 때, 서로 다른 2개의 허근
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참고로, 판별식은 이차식에서만
활용할 수 있다는 점에 유의하기 바랍니다.
가끔 엉뚱하게도, 실근의 개수 문제만 나오면, 다른 형태의 식에서도 판별식을 고민하는
학생들이 있는데, 판별식은 이차 방정식의 근의 공식의 일부이니까, 당연히 2차식 부분에서만 사용할 수 밖에 없겠지요?
[ B ] 판별식 D/4
똑같은 원리를, 일차항의 계수가 짝수인 이차방정식
ax² + 2b'x + c = 0 에 대입해 볼까요?
x = [–2b' ± √{(2b')² – 4ac}]/2a
x = {–2b' ± √(4b'² – 4ac)}/2a
x = {–2b' ± 2√(b'² – ac)}/2a
x = {–b' ± √(b'² – ac)}/a
붉은 색으로 표시된 이 결과를 짝수공식이라 하고, 이번에는 루트 안의 b'² – ac 가 짝수공식의 판별식이 됩니다.
기호로는 짝수공식일 때의 판별식을 D/4 (= b'² – ac ) 라고
표현합니다.
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이차방정식
ax² + 2b'x + c = 0 의 해는,
(1) 판별식 D/4 = b'² – ac > 0 일 때, 서로 다른
2개의 실근
(2) 판별식 D/4 = b'² – ac = 0 일 때, 1개의 실수인 중근
(3) 판별식 D/4 = b'² – ac < 0 일 때, 서로 다른
2개의 허근
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[ C ] 판별식의 응용
우선, 문제부터 볼까요?
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이차식 ax² – 6ax + 3 이 완전제곱식이
되도록
상수 a 의 값을 정하여라.
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(1) 완전제곱 이차식이 된다는 것은, a(x – p)²의 꼴
즉, a(x – p)² = 0 의 해가 중근이 되는 것이므로,
위 문제에서 주어진 이차식의 판별식
D/4 = (–3a)2
– 3a = 0
(2) 따라서, 3a(3a – 1) = 0 이므로, a =
0 또는 1/3
(3) 그런데, 이차식이라 했으니까, a ≠ 0
따라서, 답은 a =
마지막으로, 심화유형의
응용문제를 살펴 볼까요?
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실수 x, y 가 방정식 2x²
+ y² – 6x + 2y + 3 = 0 를
만족할 때, x, y 의 최대값을
구하여라.
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(1) 실수 x, y 라고 했으니까, 뿐만 아니라 최대, 최소에 관한 문제는 당연하게 실수 범위에서 생각하는 것이니까, x, y 는 실수값을 가져야 합니다.
(2) x 의 최대, 최소값을 구하기 위하여는 꺼꾸로, x 의 반대가 되는
y 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.
y 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.
y² + 2y + 2x² – 6x + 3 = 0
(3) y 에 관한 이차식에서 y 가 실수값 즉, 실근을
가져야 하니까,
D/4(y)
= b'² – ac ≥ 0
12 – (2x² – 6x + 3) ≥ 0
(4) 정리해서 계산하면,
2x² – 6x + 3 – 1 ≤ 0
x² – 3x + 1 ≤ 0
{3 – √(3² – 4*1*1)}/2 ≤ x ≤ {3 + √(3² – 4*1*1)}/2
(3–√5)/2 ≤ x ≤ (3+√5)/2
따라서, x 의 최대값은 (3+√5)/2
(5) 이번에는, y 의 최대, 최소값을 구하는 것이니까, 꺼꾸로
y 의 반대가 되는 x 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.
y 의 반대가 되는 x 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.
2x² – 6x + y² + 2y + 3 = 0
(6) x 에 관한 이차식에서 x 가 실수값 즉, 실근을 가져야 하니까,
D/4(x) = b'² – ac ≥ 0
(–3)2 – 2(y² + 2y + 3) ≥ 0
(7) 정리해서 계산하면,
2y² + 4y + 6 – 9 ≤ 0
2y² + 4y – 3 ≤ 0
[ – 2 – √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2 ≤ y ≤ [ – 2 + √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2
(–2–√10)/2 ≤ y ≤ (–2+√10)/2
따라서, y 의 최대값은 (–2+√10)/2
